等腰三角形知识点.docx

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等腰三角形知识点

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等腰三角形知识点（共11页）

等腰三角形知识

学习要点：

掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。

结合实例体会反证法的含义。

中考热点：

全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。

知识点：

1、全等三角形的判定及性质

一般三角形

直角三角形

判定

边角边（SAS）、角边角（ASA）

角角边（AAS）、边边边（SSS）

具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（HL）

性质

对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

注：

①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．

证题思路：

2例1、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）

个个个个

2、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：

①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。

其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）

个个个个

3、如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．

4、（2016泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（　　）

A．44°B．66°C．88°D．92°

（（2016莱芜）已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（　　）

A．3条B．5条C．7条D．8条

【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得7条．

5、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=

，AD⊥BC，且AD=AB.

（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：

AE+AF=AD

（2）如图2,如果∠EDF=

，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系并给出证明。

分析：

（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．

6、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇

等腰三角形的性质及判定

1、等腰三角形的性质

等腰三角形定义：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一）。

推论2：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

注：

①等腰三角形两底角的平分线（两底角的三分线）相等，等腰三角形两腰上的高线相等，等腰三角形两腰上的中线相等。

2、等腰三角形的判定

定理：

 有两个角相等的三角形是等腰三角形。

推论1：

 三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2 ：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等于斜边的一半。

注：

逆用等腰三角形三线合一的性质判定三角形是等腰三角形。

3、反证法：

定义：

反证法是一种论证方式，先假设命题的结论不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的使用：

当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。

即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。

注：

证明的方法和规律

1、证明一个三角形是等腰三角形的方法

（1）利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形。

（2）等腰三角形的判定定理：

等角对等边。

⑶逆用等腰三角形三线合一的性质判定三角形是等腰三角形。

2、等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用是本节的重点，等腰三角形中主要抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般等腰三角形的顶点作底边上的高。

注：

已知等腰三角形的两边长或一个角的度数，求周长、另外一边长或求其它角的度数时要分类讨论：

把其中一边长作为腰，再根据三角形三边关系确定周长或边长；把已知角作为底角或顶角，再确定其它角的度数。

3、证明一个三角形是等边三角形的方法

（1）利用定义，证明三条边相等。

（2）证明三角形三个角相等。

（3）证明它是等腰三角形并且有一个角是60°。

4、例1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）

2、用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”，假设为_____．

用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是假设为_____

 阅读下列文字，回答问题．

题目：

在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．

证明：

假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．

所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．

上面的证明有没有错误若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．

分析：

有错误．改正：

假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，

所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC=BC不成立，所以AC≠BC．

3、如图∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C，PD⊥OA垂足为D，若PC=4,则PD=（）

4、如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为______（度）.

5、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（）

A．∠AED>∠AGFB．∠AED＝∠AGFC．∠AED<∠AGFD．不能确定

∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，∵∠EDF=90°，∴∠DEF=45°=∠EFD，

∵∠AED=45°+∠AEG=∠AGF

6、如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是

7、（2012丽水）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是

8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，

，

，N点是AB上的一动点，M是AD上一动点，则MB+MN最小的最小值是。

如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则

=___.

考点：

[等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形]

9、如图,有一直角三角形ABC,∠C=90∘，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等。

10、如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；

④

，其中结论正确的是________．

11、如图，在等腰△ABC中，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB与D,PE⊥AC与E,求证：

PD+PE为定值

12、已知：

如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC，且∠1=∠2.

求证：

AB=AC。

（若改为AD∥BC，且AB=AC。

求证：

∠1=∠2）

13、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，

求证：

AE=BE．

14、如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。

求证：

CEF是等边三角形。

15、（2014年山东泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：

∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗并说明理由．

16、（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：

BD=CE．

17、

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:

DE=BD+CE.

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=

其中

为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：

如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

18、（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE________DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例启发，解答题目解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AE________DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：

如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．

1

② 

19、如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=30∘，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF.

（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；

（2）如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,

（1）结论是否成立请说明理由。

（3）如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=m∘,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使

（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件为什么

20、在⊿ABC中，∠ACB=2∠ABC,若∠C=

∠A的平分线交BC与D,不难证明AB=AC+CD，如图1所示。

当∠C≠

时，由图2直接写出AB、AC、CD的关系，不需要证明。

当AD是∠BAC外角的平分线时，请你猜想AB、AC、CD三者之间的关系，并证明你猜想的关系

21、如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

分析：

（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．

22、（2016菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：

AD=BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：

AE=2

CM+

BN．