三年级奥数.docx

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三年级奥数

小学三年级奥数下册教案：

最短路线问题

小学三年级奥数下册教案：

最短路线问题

在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？

　　分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？

从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

　　有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：

　　A→C→D→G→BA→C→F→G→B

　　A→C→F→I→BA→E→F→G→B

　　A→E→F→I→BA→E→H→I→B

　　通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。

　　现在观察这种题是否有规律可循。

　　1.看C点：

由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。

　　同样道理：

从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

　　我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

　　2.看F点：

从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。

　　3.看G点：

从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G 

　　我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。

　　4.看I点：

从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点

　　在I点标上“3”.3=2+1.“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法。

　　5.看B点：

从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：

　　共有六种走法.6=3＋3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法.在B点标上“6”。

　　我们观察图4—2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。

　　解：

由上面的分析可以得到如下的规律：

每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。

　　根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4—3）。

答：

从A到B共有6条不同的最短路线。

例2图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？

　　分析因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线。

解：

如图4—5所示。

　　答：

从A到B共有70种不同的走法。

例3如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条？

　　分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条.把各交叉点标上字母，如图4—7.这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的。

　　①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1＋1＝2（种）走法。

　　②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1＝2（种）走法.

　　③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3（种）走法。

　　④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2＋1=3（种）走法。

 ⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2＋2=4（种）走法。

　　⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3＋4=7（种）走法。

　　⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法。

　　解：

在图4—7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路。

例4某城市的街道非常整齐，如图4—8所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）.问共有多少种不同的走法？

　　分析因为B点在A点的东北角，所以只能向东和向北走.为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4—9. 

　　①从A→A1有1种走法，A→A11有1种走法，那么可以确定从A→A10共有1＋1=2（种）走法。

　　②从A→A2有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→A9共有1+2=3（种）走法。

　　③从A→A3有1种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定从A→A8共有1+3=4（种）走法.

　　④从A→A4有1种走法，A→A8有4种走法，那么可以确定A→A7，共有1+4=5（种）走法。

　　⑤从A→A5有1种走法，A→A7有5种走法，那么可以确定A→A6共有1＋5＝6（种）走法。

　　⑥从A→C1有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→C2共有1+2=3（种）走法。

　⑦从A→C2有3种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定A→C3共有3+3=6（种）走法。

　　⑧从A→C4可以是A→C→C4，也可以是A→A7→C4，因为C处正在修路，所以A→C→C4行不通，只能由A7→C4，由于A→A7有5种走法，所以A→C4也有5种走法，从A→A6有6种走法，所以从A→C5共有5+6＝11（种）走法。

　　⑨从A→B6有1种走法，A→C2有3种走法，那么可以确定从A→B7共有1＋3=4（种）走法。

　　⑩从A→B7有4种走法，A→C3有6种走法，那么可以确定从A→B8共有4＋6=10（种）走法。

　　⑾从A→B9可以是A→B8→B9，也可以是A→C→B9，因为C处正在修路，所以A→C→B9行不通，只能由B8→B9，由于A→B8有10种走法，所以A→B9。

也有10种走法.从A→C4有5种走法，所以从A→B10共有10+5=15（种）走法。

　　⑿从A→C5有11种走法，A→B10有15种走法，那么从A→B11共有15+11=26（种）走法。

　　⒀从A→B5有1种走法，A→B7有4种走法，那么可以确定从A→B4共有1+4=5（种）走法。

　　⒁从A→B4有5种走法，A→B8有10种走法，那么可以确定从A→B3共有5+10=15（种）走法.

　　（15）从A→B3有15种走法，A→B9有10种走法，那么可以确定从A→B2共有15＋10=25（种）走法。

　　（16）从A→B2有25种走法，A→B10有15种走法，那么可以确定从A→B1共有25+15=40（种）走法。

　　（17）从A→B1有40种走法，A→B11有26种走法，那么可以确定从A→B共有40+26=66（种）走法。

　　解：

如图4-10所示。

　　答：

从A到B共有66种不同的走法. 

年

小学三年级奥数下册教案：

盈亏问题

解盈亏问题，常常用到比较法。

　　例1三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？

要搬的砖共有多少块？

　　分析比较两种搬砖法中各个量之间的关系：

　　每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。

　　第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：

7+2=9（块）

　　每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。

　　共有砖：

4×9＋7＝43（块）。

　　解：

（7+2）÷（5-4）=9（人）

　　4×9+7=43（块）或5×9-2=43（块）

　　答：

共有少先队员9人，砖的总数是43块。

　　如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？

　　由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.

　　例2妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？

计划吃多少天？

　　分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。

　　解：

（48+8）÷（6-4）

　　=56÷2

　　=28（天）

　　6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个） 

　答：

妈妈买回苹果160个，计划吃28天。

　　如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？

　　分析改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：

48-8=40（个）

　　解：

（48-8）÷（6-4）

　　=40÷2

　　＝20（天）

　　4×20＋48=128（个）或6×20＋8=128（个）

　　答：

有苹果128个，计划吃20天.

　　例3学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？

由家到学校的路程是多少？

　　分析小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

　　解：

①10分种走多少米？

60×10＝600（米）

　　②8分种走多少米？

50×8＝400（米）

　　③需要多长时间？

　　（600+400）÷（60-50）=20（分钟）

　　④由家到校的路程：

　　60×（20-10）=600（米） 

　或：

50×（20-8）=600（米）

　　答：

小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。

　　例4学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？

新生有多少人？

　　分析每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：

　　38÷2=19（间），学生总数是：

3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。

　　解：

（23+5×3）÷（5-3）

　　＝（23＋15）÷2

　　＝38÷2

　　＝19（间）

　　3×19+23=80（人）或5×19-5×3＝80（人）。

　　答：

有19间宿舍，新生有80人。

　　例5少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

　　分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：

如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。

如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：

如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？

　　解：

[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）

　　5×7+3＝38（棵）

　　或6×7-4＝38（棵）

　　答：

有7个少先队员，一共种38棵树。

　　例6红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

　　分析每车多坐5人，实际是每车可坐5+65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人.因而原问题转化为：

如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？

　　解：

（5+5+65）÷5=15（辆）

　　65×15＋5=980（人）

　　或（5＋65）×（15-1）=980（人）

　　答：

一共有15辆汽车，980名学生。

小学三年级奥数教材：

上楼梯问题

  有这样一道题目：

如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？

如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。

　　为什么是3分钟而不是4分钟呢？

原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。

　　下面我们来看几个类似的问题。

　　例1裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？

　　分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……

　　我们可以从中发现规律：

所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。

　　解：

16米中包含2米的个数：

16÷2=8（个）

　　剪去最后一段所用的天数：

8-1=7（天）

　　答：

第七天就可以剪去最后一段。

　　例2一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？

可以从中发现规律：

切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。

　　解：

切一次所用的时间：

24÷（4-1）=8（秒）

　　切5段所用的时间：

8×（5-1）=32（秒）

　　答：

用同样的速度切成5段，要用32秒。

　　例3三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？

　　解：

因为每4人一排，所以共有：

120÷4=30（排）

　　30排中间共有29个间隔，所以队伍长：

1×29=29（米）

　　答：

这支队伍长29米。

　　例4时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

　　分析如果盲目地计算：

12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：

时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：

12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：

　　4×5=20（秒）。

　　解：

每次间隔时间为：

12÷（4-1）=4（秒）

　　敲6下共用的时间为：

4×（6-1）＝20（秒）

　　答：

时钟敲6下共用20秒。

　　例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

　　分析要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：

48÷（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。

到这里问题就可以解决了。

　　解：

上一层楼梯需要：

48÷（4-1）=16（秒）

　　从4楼走到8楼共走：

8-4=4（层）楼梯

　　还需要的时间：

16×4=64（秒）

　　答：

还需要64秒才能到达8层。

　　例6晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？

　　分析要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。

　　从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有36÷2=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。

　　解：

每一层楼梯有：

36÷（3-1）＝18（级台阶）

　　晶晶从1层走到6层需要走：

18×（6-1）=90（级）台阶。

　　答：

晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。

　　注：

例1～例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：

所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×（所到达的层数减起点的层数）。

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷（81×81）

　　解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）

　　=1320×2＝2640

　　②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）

　　＝4000÷1000＝4

　　③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

　　=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷（162÷54）

　　＝372÷3＝124

　　⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

　　＝333

三年级第二学期数学竞赛题

（2）

1、熊猫玩具车间每个工人要生产46个玩具，全车间128个工人，一共要生产多少个玩具？

2、商店两天各卖出30盒铅笔，每盒12支，每支2角钱，每天卖多少元钱铅笔？

3、王师傅每小时生产20个零件，他的徒弟小李8小时生产了96个零件，王师傅每小时比小李多生产多少个零件？

4、学校有学生1328人，清明节这天准备去扫墓，每辆客车可载40人，至少需多少辆客车？

5、粮站有2800千克大米和1200千克面粉，又运来80袋大米，每袋50千克，现在一共有大米多少千克？

6、如果公园的门票是每张8元，某校组织97名同学去公园春游，带800元线够不够？

（只答不给分）

7、学校组织学生于3月12日这天沿龙溪港西岸植树，从北到南每隔18米栽一棵，如果两合栽一棵，共需312人，龙溪港长多少米？

8、三只猴子轮流去抬水，抬一桶水需20分钟，从上午7时到11时，平均每只猴子抬了几次水？

9、27人乘车去某地，可供租的车辆有两种：

甲种车可乘8人，乙种车可乘4人。

（1）请写出3种以上的租车方案。

（2）甲种车的租金是每天300元，乙种车的租金是每天200元，怎样租车费用最少？

10、有一架天平，只有5克和30克两个砝码，要把300克盐分成三等份，最少要称几次？

写出你的称法。

（分步写）

三年级第二学期数学竞赛题

（1）

1、父亲今年32岁，是儿子年龄的8倍，再过（  ）年父亲的年龄是儿子的5倍。

2、一桶油连桶重90千克，用去一半油后，连桶称还重50  千克。

原来桶里装有多少千克的油？

空桶重多少千克？

3、一座楼房，每上一层要走24级楼梯，小华要到五楼去，共要走多少级楼梯？

4、有甲、乙、丙三个水果箱共装60只苹果，如果从甲箱中取出6只苹果放入乙箱中，再从丙箱中取出3只苹果放入甲箱中，则三箱中苹果只数相等。

原来三箱中各有苹果多少只？

5、小明买了一本书和一只书包。

买书用去5元8角，买书包用的钱是买书所用钱的5倍。

他带去50元钱，还剩多少元？

6、如果：

甲÷５＝１２……乙，则乙最大是（　　　），甲最大是（　　　）。

７、今天（２００３年１２月１３日）是星期六，２００４年元旦（１月１日）是星期几？

８、甲、乙、丙三人的数学期中成绩总和是２８９分，已知甲比乙多８分，乙比丙少８分。

甲、乙、丙三人各得多少分？

９、小红和爷爷今年年龄的和是７０岁，５年后小红比爷爷小５０岁，小红和爷爷今年各多少岁？

１０、甲仓库存粮５４吨，乙仓库存粮７０吨，要使甲仓库的存粮数是乙仓库的３倍。

那么必须从乙仓库内运送多少吨到甲仓库？

１１、父亲今年５０岁，儿子今年１４岁，几年后父亲的年龄是儿子的３倍？

１２、想想填填：

（１）１、２、３、４；２、３、４、５；３、４、（　）、６；（　）、（　）、（　）、７

（２）（请按排列规律续画５个图形。

）▲▽▲△▲▽▲▽▲△△▲▽▲▽▲▽▲△△△▲▽▲▽▲▽▲▽▲　　　　　　　　　　　　　。

１３、用６、３、５、８算２４点，列出一至二道算式：

，

１４、想想算算：

（１）１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＋２３＋２５

＝

＝

（２）（２＋３＋……＋２００２＋２００３）－（２＋３……＋２００１＋２００２