高中数学立体几何知识点知识清单.docx
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高中数学立体几何知识点知识清单
高中数学立体几何知识点知识清单．
高中课程复习专题
高中课程复习专题——数学立体几何
一空间几何体
㈠空间几何体的类型
1多面体：
由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2旋转体：
把一个平面图形绕它所在的平面内
的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
几种空间几何体的结构特㈡
征棱柱的结构特征1
棱柱的定义：
有两个面互相平行，其余各1.1
并且每相邻两个四边形的公共边面都是四边形，都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
柱棱1.2
的分类
２．
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棱柱的性质1.3
侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑴
两个底面与平行于底面的截面是全等的多⑵边形；过不相邻的两条侧棱的⑶
截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相⑷
等，侧面的对角面是矩形。
1.4长方体的性质长方体的一条对角线的长的平方等于一个⑴
222条棱的平方和：
AC+AC=AB顶点上三1图长方体1-2
2+AA1的三与过定点A⑵长方体的一条对角线AC1条棱所成，那么：
β、γ、的角分别是α22222βsinα+sinα+cosβ+cosγ=1cos22
γ=+sin的相与过定点A长方体的一条对角线⑶AC1，则：
、、邻三个面所组成的角分别为αβγ３．
高中课程复习专题22222βsinβ+cosα+sinγ=2α+coscos21
γ=+sin棱柱的侧面展开棱柱的侧面展开图：
正n1.5
个全等矩形组成的以底面周长和侧棱图是由n为邻边的矩形。
棱柱的面积和体积公式1.6
为棱柱h（c为底面周长，S=c·h直棱柱侧面）
的高
h+2S=c·S直棱柱全底h
·V=S底棱柱圆柱的结构特征2
圆柱的定义：
以矩形的一边所在的直线为2-1
其余各边旋转而形成的曲面所围成的几旋转轴，何体叫圆柱。
圆柱1-3图2-2圆柱的性质上、下底及平行于底面的截面都是等圆；⑴
）是全等的矩形。
（⑵过轴的截面轴截面圆柱的侧面展开图：
圆柱的侧面展开图是2-3
以底面周长和母线长为邻边的矩形。
2-4圆柱的面积和体积公式为··=S2πrh为底面半径，（rh圆柱侧面４．
高中课程复习专题）
圆柱的高2rh+2πrS=2π圆柱全
=ShV=
底圆柱2πrh
3棱锥的结构特征
棱锥的定义3-1
其余各面是有一棱锥：
⑴有一个面是多边形，由这些面所围成的几何体个公共顶点的三角形，叫做棱锥。
正棱锥：
如果有一个棱锥的底面是正多边⑵图棱锥1-4
形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，
这样的棱锥叫做正棱锥。
3-2正棱锥的结构特征
⑴平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
⑵正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
⑶正棱锥中的六个元素，即侧棱（SB）、高（SO）、斜高（SH）、侧棱在底面上的射影（OB）、斜高在底面上的射影（OH）、底面边长的一半（BH），构成四个直角三角形（三角形SOB、SOH、SBH、OBH５．
高中课程复习专题）。
均为直角三角形棱锥的侧面展正棱锥的侧面展开图：
正n3-3
n个全等的等腰三角形组成。
开图是由3-4正棱锥的面积和体积公式
为侧'（c为底面周长，hS=0.5ch'正棱锥侧）
面斜高+S=0.5ch'S底面正棱锥全）为棱锥的高（hV=1/3S·h底面棱锥圆锥的结构特征4
圆锥的定义：
以直角三角4-1
形的一直角边所在的直线为旋其余各边旋转而形成的曲转轴，面所围成的几何体叫做圆锥。
圆锥的结构特征4-2
截面直径与底面⑴平行于底面的截面都是圆，直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；⑵轴截面是等腰三角形；1-5圆锥图母线的平方等于底面半径与高的平方和：
⑶
222l=r+h
圆锥的侧面展开图：
圆锥的侧面展开图是4-3
以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
６．
高中课程复习专题4-4圆锥的面积和体积的公式
为母线为底面半径，l·l（r=Sπr圆锥侧）
长（r+l）·S=πr圆锥全
2（h·h=V1/3πr圆锥）
为圆锥高5棱台的结构特征棱台的定义：
用一个平5.1
我们把截面和底面之行于底面的平面去截棱锥，间的部分称为棱台。
图1-6棱台正棱台的结构特征5.2
⑴各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
正棱台的两个底面和平行于底面的截面都⑵
是正多边形；正棱台的对角面也是等腰梯形；⑶然后利用形似三角形棱台经常被补成棱锥，⑷
进行研究。
5-3正棱台的面积和体积公式b为上底边长，'（a·S=n/2（a+b）h棱台侧）为棱台的斜高，n为边数为下底边长，h'S=S+S+S
侧棱台全上底下底
=V棱台７．
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6圆台的结构特征圆台的定义：
用一个平行于底面的平面去6-1
截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6-2圆台的结构特征圆台的上下底面和平行于底面的截面都是⑴
圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；
然后利用相似三角形进圆台经常补成圆锥，⑶圆台图1-7
行研究。
6-3圆台的面积和体积公式
S=π·（R+r）·l（r、R为上下底面圆台侧半径）
22+π·（R+r）··r·+πRlS=π圆台全22+π=1/3（πrRV圆台
+πrR）h（h为圆台的高）
7球的结构特征
7-1球的定义：
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集图1-8球
８．
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合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离222–=Rd的平方差：
r★7-3球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷注意圆与正方体的两个关系：
球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4球的面积和体积公式
2（R为球半径S=4πR）球面3=4/3πRV球
９．
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㈢空间几何体的视图
1三视图：
观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
正视图：
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：
光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：
光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
注意：
⑴俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。
（正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽）
⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。
2直观图
2-1直观图的定义：
是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
2-2斜二测法做空间几何体的直观图
⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy=90°；
１０．
高中课程复习专题，O'y画直观图时，把它画成对应的轴O'x'、⑵
它们确定的平面135°，O'y'=45°或'取∠x表示水平平面；中画直观图时，已知图形中在坐标系x'o'y'⑶
行性不变；平行于数轴的线段保持平平轴y轴的线段保持长度不变；平行于x行于的线段长度减半。
结论：
采用斜二测法作出的直观图的面积是原
平面图形的解决关于直观图问题的注意事项2-3
一般先考虑由几何体的三视图画直观图时，⑴
“俯视图”；能看见的轮由几何体的直观图画三视图时，⑵
廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
点、直线、平面之间的关系二
㈠平面的基本性质立体几何中图形语言、文字语言和符号语言1
的转化图形语言文字语言符号语言aA∈上在直线点Aa
外a在直线点Ba
B
１１．
高中课程复习专题在平面α内A∈α点A外点B在平面ααB
α直线a在平面内αa外b直线在平面αb
与平a∩α=相交于A
直线
b=A
∩相交于点直线a与直线bA
a
交于直线βa
α∩β=a与平面平面α
平面的基本性质★2
如果一条直线上有两点在一个平面内，公理一：
那么直线在平面内。
公理二：
不共线的三点确定一个平面。
推论一：
直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：
两条相交直线确定一个平面。
推论三：
两条平行直线确定一个平面。
公理三：
如果两个平面有一个公共点，那么它
们还有公共点，这些公共点的集合是一条直１２．
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线（两个平面的交线）。
㈡空间图形的位置关系
1空间直线的位置关系（相交、平行、异面）
1.1平行线的传递公理：
平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：
a∥b，b∥ca∥c
1.2等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线
⑴定义：
不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵判定定
平连理：
点内的一面一面外与平点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
即：
１３．
高中课程复习专题1.4异面直线所成的角异面直线图2-1
].90°⑴异面直线成角的范围：
（0°，
作异面直线成角的方法：
平移法。
⑵
经常把一条异找异面直线所成角时，注意：
如中（面直线平移到另一条异面直线的特殊点，形成异面直线所成的角。
点、端点等）线2直
平与的面置位）关系（直线在平面内、相交、平行
直线与平面的位置关系2-2图
）3平面与平面的位置关系平行、斜交、垂直（
）平行关系㈢（包括线面平行和面面平行1线面平行
线面平行的定义：
平面外的直线与平面无1.1
１４．
高中课程复习专题公共点，则称为直线和平面平行。
定理：
1.2判定
质定理：
1.3性
1.4判断或证明线面平行的方法用于α（）⑴利用定义（反证法：
l∩α=ф，l∥；判断）用于利用判定定理：
线线平行⑵线面平行（
证明）；用（利用平面的平行：
面面平行⑶线面平行
；于证明）利用垂直于同一条直线的⑷
。
）直线和平面平行（用于判断=A线面斜交和线面角：
2l∩α简称（2.1直线与平面所成的角：
若直线与平面斜交，则平面的斜线与）线面角该斜线在平面内射影的夹角θ。
线面角2-3图]
∈θ2.2线面角的范围：
90°[0°，１５．
高中课程复习专题注意：
当直线在平面内或者直线平行于平面
时，θ=0°；θ=90°当直线垂直于平面时，
面面平行3
面面平行的定义：
空间两3.1
则称为两平个平面没有公共点，面平行。
3.2面面平行的判定定理：
：
如果一个平面内的两条相交直⑴判定定理1面面平行2-4图线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。
即：
一个平面内的两条相交推论：
直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。
即：
判定图2-51推论：
垂直于同一条直线的两平面互判定定理2⑵相平行。
即：
１６．
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3.3面面平行的性质定理
⑴2-6判定2
图（面面平行线面平行）
⑵
⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。
）（包括线面垂直和面面垂直垂直关系㈣
1线面垂直线面垂直的定义：
若一条直线垂直于平面1.1
内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
判的1.2线面垂直
定定理：
1.3线面垂直的性质定理：
则它垂直于平面内任意⑴若直线垂直于平面，１７．
高中课程复习专题一条直线。
即：
垂直于同一平面的两直线平行。
⑵
即：
1.4常用的判定或证明线面垂直的依据利用定义，用反证法证明。
⑴
利用判定定理证明。
⑵
一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，⑶
则另一条直线也垂直与平面。
则也一条直线垂直于两平行平面中的一个，⑷
垂直于另一个。
在一平面内有一直线垂直⑸如果两平面垂直，于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★1.5三垂线定理及其逆定理
从平面外一点向这个斜线定理：
⑴斜线相等则平面所引的所有线段中，垂射影相等，斜线越长则射影越长，图2-7斜线定理线段最短。
图：
如
１８．
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三垂线定理及其逆定理⑵内的射影为在平面α⊥α，斜线PA已知POa是平面OA，
内的一条直线。
α，则a三垂线定理：
若⊥OA①a⊥PA。
即垂直射影则垂直斜线。
。
a⊥OAa三垂线定理逆定理：
若⊥PA，则②即垂直斜线则垂直射影。
三垂线定理及其逆定理的主要应用⑶2-8图三垂线定理①证明异面直线垂直；
②作出和证明二面角的平面角；
③作点到线的垂线段。
2面面斜交和二面角
2.1二面角的定义：
两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
2.2二面角的范围：
∠α-l-β∈[0°,180°]
2.3二面角平面角的作法：
１９．
高中课程复习专题⑴定义法：
证明起来很麻烦，一般不用；⑵三垂线法：
常用方法；⑶垂面法：
常用于空间几何体中的二面角。
面面垂直3
-l-α面面垂直的定义：
若二面角的平面角β3.12-9图面面垂直为90°，则两平面α⊥β。
3.2判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：
3.3面面垂直的性质定理
则这两个平面若两面垂直，⑴
二面角的的平面角90°；为
⑵
2
图2-10面面垂直性质
⑶
２０．
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图2-11面面垂直性质3
⑷
立体几何主要难点三三种角的对比1
角的类型范围解题步骤找：
利用平移法找出异面直线所成角；异面直线1°0°～90固定一条直线，平移另一条直线，所成角⑴
将两条直线都平移至一特殊位置。
⑵2证：
证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；计算：
通过解三角形，算出异面直线角的角度。
390°1找：
作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；°～直线与平面0所成角证：
证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；23计算：
通过解三角形，求出线面角的角度。
～二面角的0π1作：
根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；平面角2证：
证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；计算：
通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
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