新课标202x高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 题组层级快练55 圆的方程及直线与圆的位置关.docx

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新课标202x高考数学大一轮复习第九章解析几何题组层级快练55圆的方程及直线与圆的位置关

题组层级快练（五十五）

1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（　　）

A．（－1，1）　　　　　　　B．（1，－1）

C．（－1，0）D．（0，－1）

答案　D

解析　r＝

＝

，

当k＝0时，r最大．

2．（2019·贵州贵阳一模）圆C与x轴相切于T（1，0），与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为（　　）

A．（x－1）2＋（y－

）2＝2B．（x－1）2＋（y－2）2＝2

C．（x＋1）2＋（y＋

）2＝4D．（x－1）2＋（y－

）2＝4

答案　A

解析　由题意得，圆C的半径为

＝

，圆心坐标为（1，

），∴圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－

）2＝2，故选A.

3．已知圆C：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上（设坐标为（a，0）），且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为（－

，0），半径为|

|，圆C与y轴相切于原点；圆（x＋1）2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.

4．（2019·重庆一中一模）直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．无法确定

答案　A

解析　方法一：

圆x2＋y2＝9的圆心为（0，0），半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A（0，2），而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.

方法二：

求圆心到直线的距离，从而判定．

5．（2015·山东）一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切

，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．－

或－

B．－

或－

C．－

或－

D．－

或－

答案　D

解析　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点（2，－3），设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2）即kx－y－2k－3＝0，又因为反射光线与圆相切，

所以

＝1⇒12k2＋25k＋12＝0⇒k＝－

，或k＝－

，故选D项．

6．已知圆C关于x轴对称，经过点（0，1），且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为（　　）

A．x2＋（y±

）2＝

B．x2＋（y±

）2＝

C．（x±

）2＋y2＝

D．（x±

）2＋y2＝

答案　C

解析　方法一：

（排除法）由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过（0，1）点，故圆的半径大于1，排除D，选C.

方法二：

（待定系数法）设圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，圆C与y轴交于A（0，1），B（0，－1），由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝

∠ACB＝

×120°＝60°，则tan60°＝

＝

，所以a＝|OC|＝

，即圆心坐标为（±

，0），r2＝|AC|2＝12＋（

）2＝

.所以圆的方程为（x±

）2＋y2＝

，选C.

7．（2019·保定模拟）过点P（－1，0）作圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝1的两条切线，设两切点分别为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是（　　）

A．x2＋（y－1）2＝2B．x2＋（y－1）2＝1

C．（x－1）2＋y2＝4D．（x－1）2＋y2＝1

答案　A

解析　P，A，B，C四点共圆，圆心为PC的中点（0，1），半径为

|PC|＝

＝

，则过点A，B，C的圆的方程是x2＋（y－1）2＝2.

8．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆（x－1）2＋y2＝4的位置关系是（　　）

A．相离B．相切

C．相交D．以上都有可能

答案　B

解析　圆心到直线的距离d＝

＝2.

所以直线与圆相切．

9．（2013·山东，理）过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0

答案　A

解析　如图，圆心坐标为C（1，0），易知A（1，1）．又kAB·kPC＝－1，且kPC＝

＝

，∴kAB＝－2.

故直线AB的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，故选A.

另解：

易知P，A，C，B四点共圆，其方程为（x－1）（x－3）＋（y－0）（y－1）＝0，即x2＋y2－4x－y＋3＝0.

又已知圆为x2＋y2－2x＝0，

∴切点弦方程为2x＋y－3＝0，选A.

10．（2019·湖南师大附中月考）已知圆x2＋（y－1）2＝2上任一点P（x，y），其坐标均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3]

答案　A

解析　如图，圆应在直线x＋y＋m＝0的右上方，圆心C（0，1）到l的距离为

，切线l1应满足

＝

，∴|1＋m|＝2，m＝1或m＝－3（舍去）．从而－m≤－1，∴m≥1.

11．（2019·福建福州质检）若直线x－y＋2＝0与圆C：

（x－3）2＋（y－3）2＝4相交于A，B两点，则

·

的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．6

答案　B

解析　联立

消去y，

得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3.

∴A（1，3），B（3，5）．

又C（3，3），∴

＝（－2，0），

＝（0，2）．

∴

·

＝－2×0＋0×2＝0.

12．由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　）

A．1B．2

C.

D．3

答案　C

解析　设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，

则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，

|PQ|＝

＝

，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝

＝2

，

∴|PM|最小值为2

，|PQ|＝

＝

＝

，选C.

13．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．

答案　（x＋2）2＋（y－

）2＝

解析　对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点（0，3），（－4，0）为端点的线段为直径，则r＝

＝

，圆心为（－

，

），即（－2，

）．

∴圆的方程为（x＋2）2＋（y－

）2＝

.

14．从原点O向圆C：

x2＋y2－6x＋

＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．

答案　π

解析　如图，圆C：

（x－3）2＋y2＝

，

所以圆心C（3，0），半径r＝

.

在Rt△POC中，∠POC＝

.

则劣弧PQ所对圆心角为

.

弧长为

π×

＝π.

15．若直线l：

4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．

答案　（x－1）2＋（y＋1）2＝1

解析　由题意知，A（3，0），B（0，－4），则|AB|＝5.

∴△AOB的内切圆半径r＝

＝1，内切圆的圆心坐标为（1，－1）．

∴内切圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1.

16．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2

，求此圆的方程．

答案　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0

解析　方法一：

∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，

∴设所求圆的圆心为C（3a，a），半径为r＝3|a|.

又圆在直线y＝x上截得的弦长为2

，

圆心C（3a，a）到直线y＝x的距离为d＝

.

∴有d2＋（

）2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.

故所求圆的方程为

（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9.

方法二：

设所求的圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

则圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离为

.

∴r2＝（

）2＋（

）2.

即2r2＝（a－b）2＋14.①

由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.②

又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，

∴a－3b＝0.③

联立①②③，解得

a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.

故所求的圆的方程是

（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9.

方法三：

设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

圆心为（－

，－

），半径为

.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.

由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④

又圆心（－

，－

）到直线x－y＝0的距离为

，

由已知，得

＋（

）2＝r2，

即（D－E）2＋56＝2（D2＋E2－4F）．⑤

又圆心（－

，－

）在直线x－3y＝0上，

∴D－3E＝0.⑥

联立④⑤⑥，解得

D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.

故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0

或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.

17．（2019·杭州学军中学月考）已知圆C：

x2＋y2＋2x＋a＝0上存在两点关于直线l：

mx＋y＋1＝0对称．

（1）求实数m的值；

（2）若直线l与圆C交于A，B两点，

·

＝－3（O为坐标原点），求圆C的方程．

答案　

（1）m＝1　

（2）x2＋y2＋2x－3＝0

解析　

（1）圆C的方程为（x＋1）2＋y2＝1－a，圆心C（－1，0）．

∵圆C上存在两点关于直线l：

mx＋y＋1＝0对称，

∴直线l：

mx＋y＋1＝0过圆心C.

∴－m＋1＝0，解得m＝1.

（2）联立

消去y，得

2x2＋4x＋a＋1＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

Δ＝16－8（a＋1）>0，∴a<1.

由x1＋x2＝－2，x1x2＝

，得

y1y2＝（－x1－1）（－x2－1）＝

－1.

∴

·

＝x1x2＋y1y2＝a＋1－1＝a＝－3.

∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－3＝0.

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