第1章 数字电路基础1.docx
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第1章数字电路基础1
第一章数字电路基础
电子电路所处理的电信号可以分为两大类:
一类是在时间和数值上都是连续变化的信号称为模拟信号,例如电流、电压等;另一类是在时间和数值上都是离散的信号，为数字信号。
传送和处理数字信号的电路，称为数字电路。
1.1逻辑代数的基本运算
1.1.1基本概念
在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。
它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。
逻辑代数中的逻辑变量用字母A，B，C，…，X，Y，Z等来表示；变量取值只有0和1，而这里的0和1并不表示具体的数值大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
例如，
电灯的亮和灭、电动机的旋转与停止，把这种描述相互对立的逻辑关系且仅有两个取值的变量称为逻辑变量。
1.1.2三种基本运算
1.与运算
只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结果才会发生，这种逻辑关系称为与逻辑关系。
与逻辑模型电路如图1.1所示,A、Ｂ是两个串联开关，Ｙ是灯，用开关控制灯亮和灭的关系如表１.1所示。
如果用二值量中的1来表示灯亮和开关闭合，用0表示灯灭和开关断开，则可得到如表1.２所示的与逻辑真值表。
图1.1与逻辑电路图
表1.1与逻辑关系表
输入部分有N=2n项组合。
其中，n是输入变量的个数。
与运算也称“逻辑乘”。
与运算的逻辑表达式为:
Y=A·B或Y=AB（“·”号可省略）
与逻辑的运算规律为：
输入有０得０，全１得１。
与逻辑的逻辑符号如图1.２所示。
图1.2与逻辑符号图
与逻辑的波形图如图1.3所示。
该图直观地描述了任意时刻输入与输出之间的对应关系及变化的情况。
1.3与逻辑波形图
2.或运算
图1.4
当决定事物结果的几个条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，结果就会发生，这种逻辑关系称为或逻辑。
或逻辑模型电路如图1.4所示
或逻辑电路图
关系如表1.3所示
真值表如表1.4所示。
或运算也称“逻辑加”。
或运算的逻辑表达式为:
Y=A+B
或逻辑运算的规律为：
有１得１，全０得０。
或逻辑的逻辑符号如图1.5所示。
表1.5非逻辑的关系表
表1.6非逻辑的真值表
非运算也称“反运算”。
非运算的逻辑表达式为
Y=
运算的规律为：
０变１，１变０，即“始终相反”。
逻辑符号如图1.7所示。
图1.7非逻辑符号
1.1.3常见的几种复合逻辑关系
与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种运算，
几种常见的复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号及逻辑真值表如表1.7所示。
表1.7常见的几逻辑关系
1.1.4逻辑函数及其表示方法
1.逻辑函数
一般函数，当A,B,C,…的取值确定之后，Y的值也就惟一确定了。
Y称为A,B,C,…的函数。
一般表达式可以写为
Z=F（A,B,C,…）
与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三种基本的逻辑函数。
2逻辑函数的表示方法及转换
逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等方法来表示。
例１已知函数的逻辑表达式Ｙ＝Ｂ＋Ｃ。
要求:
列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。
（1）根据逻辑表达式，画出逻辑图如图1.8所示。
图1.8例1的逻辑图
（2）将A,B,C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表1.8所示。
（3）根据真值表，画出例1的输出波形，如图1.9所示。
图1.9例1的波形图
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
表
1.8例1的真值表
例2已知函数Y的逻辑图如图1.10所示，写出函数Y的逻辑表达式。
图1.10例2逻辑图
解：
据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下：
Y1=
Y2=
Y3=
最后得到函数Y的表达式为
通过真值表也可以直接写出逻辑表达式。
方法是将真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1用原变量表示，0用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式。
1-2逻辑代数的定律和运算规则
1.2.1基本定律
表1.9列出了逻辑代数的基本定律,这些定律可直接利用真值表证明,如果等式两边的真值表相同,则等式成立。
表1.9逻辑代数的基本定律
例3证明反演律
证列出及的真值表如表1.10所示。
2．2基本规则
1.代入规则
在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式依然成立。
这个规则称为代入规则。
例4已知等式＝
若用Ｙ＝ＢＣ代替等式中的Ｂ，即：
2.反演规则
若求一个逻辑函数Ｙ的反函数时，只要将函数中所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“０”换成“１”，“１”换成“０”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则所得到的逻辑函数式就是逻辑函数Ｙ的反函数。
运用规则必须注意运算符号的先后顺序,必须按照先括号，然后按再与、后或的顺序变换，而且应保持两个及两个以上变量的非号不变。
例5求Ｙ＝的反函数。
解
３.对偶规则
Ｙ是一个逻辑表达式，如果将Ｙ中的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“０”换成“１”，“１”换成“０”，所得到新的逻辑函数式Y′，就是Ｙ的对偶函数。
对于两个函数,如果原函数相等,那么其对偶函数、反函数也相等。
例6求Ｙ＝Ａ＋ＢＣ的对偶式Y′。
解Ｙ′＝Ａ·（Ｂ＋Ｃ）
【思考题】
1.写出四变量的摩根定律表达式。
2.反演规则和对偶规则有什么不同？
1-3逻辑函数的代数化简法
根据逻辑定律和规则，一个逻辑函数可以有多种表达式。
例如：
与-或表达式
与非-与非表达式（摩根定律）
或非表达式（利用反演规则）
或与表达式（将与或非式用摩根定律）
或非或非表达式（将或与用摩根定律）
因为与或表达式比较常见且容易同其他形式的表达式相互转换，所以化简时一般要求化为最简与或表达式。
逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法。
代数法它可是直接运用基本定律及规则化简逻辑函数。
方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。
1.并项法
利用Ａ＋＝１的公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。
例7
2.吸收法
利用A+AB=A的公式消去多余的乘积项。
例8
3.消去法
利用消去多余的因子。
例9
4.配项法
利用,增加必要的乘积项，然后再用公式进行化简。
例10
实际解题时，往往需要综合运用上述几种方法进行化简，才能得到最简结果。
例11化简函数
（摩根定律）
（合并法）
（吸收法）
【思考题】
1.代数化简的难点是什么?
2.最简与或表达式的标准是什么？
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