一元二次方程知识点及其应用.docx
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一元二次方程知识点及其应用
一元二次方程知识点及其应用
1、相关知识点
1.理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式;
2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
(1)明确只有当二次项系数时,整式方程才是一元二次方程。
(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
(3)熟练整理方程的过程
3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
4.列出实际问题的一元二次方程
二.解法
1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;
2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;
3.体会不同解法的相互的联系;
4.值得注意的几个问题:
(1)开平方法:
对于形如或的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.
形如的方程的解法:
当时,;
当时,;
当时,方程无实数根。
(2)配方法:
通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤:
①移项:
把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
②“系数化1”:
根据等式的性质把二次项的系数化为1;
③配方:
将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式;
④求解:
若时,方程的解为,若时,方程无实数解。
(3)公式法:
一元二次方程的根
当时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;
当时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为;
当时,方程无实数根.
公式法的一般步骤:
①把一元二次方程化为一般式;②确定的值;③代入中计算其值,判断方程是否有实数根;④若代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。
(因为这样可以减少计算量。
另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。
)
(4)因式分解法:
①因式分解法解一元二次方程的依据:
如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:
若,则;
②因式分解法的一般步骤:
若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
(5)选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。
(6)解含有字母系数的方程
(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;
(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
三、根的判别式
1.了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
(1)=
(2)根的判别式定理及其逆定理:
对于一元二次方程()
①当方程有实数根;
(当方程有两个不相等的实数根;当方程有两个相等的实数根;)
②当方程无实数根;
从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。
2.常见的问题类型
(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况
(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围
(3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况
①先计算出判别式(关键步骤);
②用配方法将判别式恒等变形;
③判断判别式的符号;
④总结出结论.
(4)分类讨论思想的应用:
如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧
(6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合
(7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
四、一元二次方程的应用
1.数字问题:
解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。
2.几何问题:
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。
3.增长率问题(下降率):
在此类问题中,一般有变化前的基数(),增长率(),变化的次数(),变化后的基数(),这四者之间的关系可以用公式表示。
4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。
五.实际应用
(1)有100米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于600平方米,在场地的北面有一堵50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库,但面积只有400平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?
(2)读诗词解题(列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄):
大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜(36岁)
(3)已知:
分别是的三边长,当时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根,求证:
是直角三角形。
(4)已知:
分别是的三边长,求证:
方程没有实数根。
(5)当是什么整数时,关于的一元二次方程与的根都是整数(
(6))
(6)已知关于的方程,其中为实数,
(1)当为何值时,方程没有实数根(
2)当为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?
求出这三个实数根。
答案:
(1)
(2).
(二)一元二次方程的解法
1.开平方法解下列方程:
(1)()
(2)()
(3)(原方程无实根)(4)()
2.配方法解方程:
(1)()
(2)()
3.公式法解下列方程:
(1)()
(2)()
4.因式分解法解下列方程:
(1)()
(2)()
(3)()(4)()
5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程):
(1)()
(2)()
6.解含有字母系数的方程(解关于x的方程):
(1)()
(2)()
(三)一元二次方程的根的判别式
1.不解方程判别方程根的情况:
(1)4(有两个不等的实数根)
(2)(无实数根)
2.为何值时,关于x的二次方程
(1)有两个不等的实数根()
(2)有两个相等的实数根()
(3)无实数根()
3.已知关于x的方程有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.
(或)
4.若方程有实数根,求:
正整数a.()
5.对任意实数m,求证:
关于x的方程无实数根.
6.为何值时,方程有实数根.
7.设为整数,且时,方程有两个相异整数根,求的值及方程的根。
(当=12时,方程的根为;当=24时,方程的根为)
3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
4.(20元)
5.
6.已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为每分钟1千米,乙的速度每分钟2千米,若正方形广场周长为40千米,问几分钟后,两人相距千米
7.(2分钟后)
8.
7.某科技公司研制一种新产品,决定向银行贷款200万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.(20%)
8.如图,东西和南北向两条街道交于O点,甲沿东西道由西向东走,
速度是每秒4米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒3米,当乙通
过O点又继续前进50米时,甲刚好通过O点,求这两人在相距85米
时,每个人的位置。
(甲离O84米,乙离O13米)
9.已知关于x的方程①有两个相等的实数根.
(1)求证:
关于y的方程②必有两个相等的实数根。
(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式的值。
(14)