北师大版数学 数学选修11教师用书 12充分条件与必要条件.docx
《北师大版数学 数学选修11教师用书 12充分条件与必要条件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学 数学选修11教师用书 12充分条件与必要条件.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北师大版数学数学选修11教师用书12充分条件与必要条件
【课堂新坐标】数学选修1-1教师用书：
1.2充分条件与必要条件
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．
2．过程与方法
（1）培养学生的观察与类比能力：
“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
（2）培养学生的归纳能力：
“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；
（3）培养学生的建构能力：
“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
（1）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；
（2）通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；
（3）通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．
●重点、难点
重点：
充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：
必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：
找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．
（教师用书独具）
●教学建议
基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：
（1）创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理；
（2）教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果；
（3）注重渗透数学思考方法（联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法），让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质；（4）注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．
指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神．
●教学流程
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
（对应学生用书第7页）
课标解读
1.结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念．（重点）
2．结合具体实例理解充要条件的概念．（重点）
3．会求或证明命题的充要条件．（难点，易错点）
充分条件与必要条件
【问题导思】
给出下列命题．
（1）若x＞a2＋b2，则x＞2ab.
（2）若ab＝0，则a＝0.
（3）若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．
1．你能判断这三个命题的真假吗？
【提示】
（1）真命题
（2）假命题 （3）真命题
2．命题
（1）中条件和结论有什么关系？
命题
（2）中呢？
【提示】 命题
（1）中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab；命题
（2）中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇒/q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
充要条件
【问题导思】
1．命题（3）中条件和结论有什么关系？
它的逆命题成立吗？
【提示】 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
2．若设p：
整数a是6的倍数，q：
整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？
q是p的什么条件？
【提示】 因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
【问题导思】
对于命题“若p，则q”，如果p⇒q，但q
p，那么p是q的什么条件？
如果q⇒p，但p
q呢？
如果p
q，q
p呢？
【提示】 充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件.
（对应学生用书第8页）
充分条件、必要条件、充要条件的判断
已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列结论正确的是（ ）
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④ B．②③
C．①②③D．①②④
【思路探究】
（1）当Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0时，一元二次方程的根的情况是怎样的？
（2）如何判断充分条件，必要条件和充要条件？
【自主解答】 ①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根
Δ＞0；
④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.
【答案】 D
充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：
（1）定义法：
①若p⇒q，但q
p，则p是q的充分不必要条件；
②若q⇒p，但p
q，则p是q的必要不充分条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；
④若p
q，且q
p，则p是q的既不充分也不必要条件．
（2）集合法：
如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若
，且
，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．
（3）等价法：
当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．
（2012·山东高考）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当f（x）＝ax为R上的减函数时，0＜a＜1,2－a＞0，此时g（x）＝（2－a）x3在R上为增函数成立；当g（x）＝（2－a）x3为增函数时，2－a＞0即a＜2，但1＜a＜2时，f（x）＝ax为R上的减函数不成立，故选A.
【答案】 A
充分条件、必要条件、充要条件的应用
若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？
【思路探究】
（1）本例中谁是条件，谁是结论？
（2）“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件的含义是什么？
【自主解答】 ∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.
又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．
∴x＜a⇒x2＞1但x2＞1
x＜a.
∴a≤－1，
∴a的最大值为－1.
1．若条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来；若条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立起逻辑关系解决问题．
2．本类题目常与集合知识联系，解题时要把满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合建立起包含关系，并借助数轴的直观性来处理，但要特别注意端点值的取舍．
本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则a的最小值为多少？
【解】 ∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1，
∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件，
∴x＞a⇒x2＞1，但x2＞1
x＞a.
如图示：
∴a≥1，
∴a的最小值为1.
充要条件的证明
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0且p≠1）．
求证：
{an}为等比数列的充要条件是q＝－1.
【思路探究】
→
→
→
【自主解答】 充分性：
当q＝－1时，Sn＝pn－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1），
当n＝1时，也成立，
∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1（p－1）．
又∵p≠0且p≠1，
∴
＝
＝p，
∴数列{an}为等比数列．
必要性：
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）．
∵p≠0且p≠1，
∴
＝
＝p.
又∵{an}为等比数列，∴
＝
＝p，
∴
＝p，∴q＝－1.
综上可知，{an}是等比数列的充要条件是q＝－1.
1．在本题中，充分性是指：
由q＝－1推出{an}为等比数列，必要性是指由{an}为等比数列推出q＝－1.
2．有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：
一是证充分性；二是证必要性．
求证：
关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4.
【证明】 ①必要性：
若ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立，
由二次函数性质有
即
∴0＜a＜4.
②充分性：
∵0＜a＜4，
∴0＜
＜1，即0＜1－
＜1，
∴ax2－ax＋1＝a（x－
）2＋1－
＞0，
∴若0＜a＜4，则ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立．
由①②知，命题得证.
（对应学生用书第9页）
忽略隐含条件致误
已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
【错解】 由方程x2－mx＋2m－3＝0的根都大于1，可设方程的两根分别为x1，x2，
故有
即
解得m＞2，
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m＞2.
【错因分析】 忽略了条件Δ≥0，将两实根大于1的充要条件误认为是
【防范措施】 一元二次方程根的情况和充要条件合到一起的题目常常有隐含条件（二次项系数不为0）考虑，方程的根的情况又必须考虑根的判别式Δ，解题时一定要注意．
【正解】 设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1、x2.
由题意知
⇔
⇔
⇔
⇔m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.
1．对充分条件、必要条件、充要条件的判断最常用的方法是定义法，这种方法判断直观、简捷、出错率低．
2．利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
3．证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面．即若证p是q的充要条件需证p⇒q和q⇒p两个方面，同时注意条件的充分性和必要性不要混淆.
（对应学生用书第9页）
1．（2013·成都高二检测）“x＝3”是“x2＝9”的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 当x＝3时，x2＝9；
但x2＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．“x＞－2”是“x＞3”的必要条件中，条件是_____，结论是________．
【答案】 x＞－2 x＞3
3．“x＝1”是“方程x2－3x＋2＝0的根”的________条件（填“充分”“必要”）．
【解析】 x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根，但方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2.
【答案】 充分
4．判断下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：
tanx＝1，q：
x＝2kπ＋
（k∈Z）；
（2）（2011·湖南高考改编）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}．p：
a＝1，q：
N⊆M.
【解】
（1）当x＝2kπ＋
（k∈Z）时，tanx＝tan
＝1，
∴q⇒p.
但tanx＝1，有x＝kπ＋
（k∈Z），p
q.
因此p是q的必要不充分条件．
（2）当a＝1时，N＝{1}，N⊆M.
但N⊆M时，有a2＝1或a2＝2，不一定有a＝1.
因此p⇒q，q
p，
所以p是q的充分不必要条件．
一、选择题
1．（2012·浙江高考）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 若直线l1与l2平行，
则a（a＋1）－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 原命题的逆命题：
“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．
【答案】 B
3．（2013·郑州高二检测）函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件的（ ）
A．m＝－2B．m＝2
C．m＝－1D．m＝1
【解析】 由f（x）＝x2＋mx＋1＝（x＋
）2＋1－
，
∴f（x）的图象的对称轴为x＝－
，由题意：
－
＝1，
∴m＝－2.
【答案】 A
4．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵M⊇N，∴a∈N⇒a∈M，而a∈M⇒/a∈N.
故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
【答案】 B
5．有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是
＜
的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．
其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【解析】 a＞b＞0⇒a2＞b2，
a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒/a＞b＞0，故①错．
a＞b＞0⇒
＜
，但
＜
⇒/a＞b＞0，故②错．
a＞b＞0⇒a3＞b3，但a3＞b3⇒/a＞b＞0，故③错．
【答案】 A
二、填空题
6．条件p：
1－x＜0，条件q：
x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 p：
x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/p，即p对应集合是q对应集合的子集，故a＜1.
【答案】 （－∞，1）
7．如图1－1－1所示的四个电路图，条件A：
“开关S1闭合”，条件B：
“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．
图1－1－1
【答案】 乙
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0.故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，两直线平行，
＝
，∴a＝2，
因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lgx＋lgy＝lg（xy）＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lgx＋lgy＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要而不充分条件．
综上可知，真命题是④.
【答案】 ④
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
（从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择一个）
（1）p：
|a|≥2，a∈R，q：
方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；
（2）p：
a2＋b2＝0，q：
a＋b＝0；
（3）p：
x＝1或x＝2，q：
x－1＝
.
【解】
（1）当|a|≥2，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4（a＋3）≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，q⇒p，p⇒/q.所以p是q的必要不充分条件．
（2）由a2＋b2＝0，可得a＝0且b＝0，故a＋b＝0，
而由a＋b＝0，可得a＝－b，当a＝1，b＝－1时，推出a2＋b2＝0，
从以p是q的充分不必要条件．
（3）由x－1＝
可得x＝1或x＝2，
故p是q的充要条件．
10．求证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两异号实根的充要条件是ac＜0.
【证明】 ①必要性：
由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝
＜0（x1，x2为方程的两根），所以ac＜0.
②充分性：
由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝
＜0（x1，x2为方程的两根）．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
11．（2013·徐州高二检测）已知p：
－2≤1－
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由－2≤1－
≤2，得－2≤x≤10.
∴p：
－2≤x≤10.
又x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），
∴q：
1－m≤x≤1＋m（m＞0）．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
故有
或
，解之得m≥9.
因此实数m的取值范围是[9，＋∞）.
（教师用书独具）
对于非零实数x，y有x＞y，试探求
＜
的充要条件，并加以证明．
【解】 由
＜
知，
＞0，
又x＞y，则x－y＞0，
因此xy＞0，
即x＞y，且
＜
xy＞0.
反过来，因为x＞y，所以y－x＜0.
因为xy＞0，所以
＞0.
所以
＜0，即
＜
.
综上，x＞y时，
＜
的充要条件是xy＞0.
探求一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件．
【解】
（1）∵f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），即－kx＋b＝－（kx＋b），
∴b＝0，因此b＝0是f（x）为奇函数的必要条件．
（2）如果b＝0，那么f（x）＝kx（k≠0），此时f（x）＝kx（k≠0）为奇函数．
结合
（1）、
（2）知f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
升级会员 