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第二章线性模型及自相关与偏相关函数

§1.随机线性模型

对于随机差分方程：

兀一0兀一I（Ppxt-p=a厂eg恥小/二・・・，一1,0,1•…（I）

0（w）,0（w）系数及两个多项式满足一定约束且q是一口噪声，Ea；=云,当时，Extas=0,则称兀是（I）之一个平稳解，我们将给予上述线性模型进行详细讨论.

首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系.

例1在某一专用计算机的固定程序中，包括如下的简单迭代计算

x〔=（pg（II）

其中0为固定常数（I%IV1）

由于计算机的字长有限，每次计算上式吋都会有舍入误差.若以f和兀分別表示计算机的计算值和真实值，则二者之差©=€-兀便是一个谋差序列，我们现在來分析它的内在变化规律.设在计算f时产住的舍入误差为％,于是计算值f为

才=5圮1+少

（2）

n©+為=5（©_]+舛_]）+4=>©+兀二卩“…+卩兀口+勺

n（3）

经验表明，舍入误差终近似为均匀分布的白噪声，其方差依计算机的字长而定.于是（3）式就是计算

（1）式吋，计算误差序列的所满足的随机模型

X]一Mi（Pp\-p=%_恥小f=…，_1,0,1,…

的特殊情况.以后我们将主要讨论勺为正态分布的情况.（3）和普通差分方程，由于q是随机序列,也是随机序列.勺随着初值X。

不同而不同，于是0序列也各次取不同值,但是它与相应的坷都满足（3）式.若用B表示一步延迟算子，即

Ba）J=%（4）

（3）Z系统示意框图

©为输入①为输出，一级反馈系（数）统.

例2空间飞行目标（如飞机、导弹或卫星）.在一空域飞行时，其加速度常常被视为随机过程，在离散采样时，就是随机序列•比如在绪论的例2中我们曾把的三丸-注、看

作满足第一章差分方程的平稳序列，并希望用时序分析方法估计均的模型参数.但不能象例1那样用简单推导列出均的模型.

随机序列与随机模型的关系：

1与例1类似，从实际背景出发，能够准确导出误差序列所满足的随机模型，即称Z为能用物理方法列出的随机模型.

2与例2类似，对于物理过程码，并无物理方法能准确列出它的模型.事实上，我们说馮具冇差分方程的模型，这只是一种近似地描述随机序列的手段，即用具冇冇理谱的平稳序列来近似描述色.这时我们用均的样本序列来估计模型（差分方程），这就要用到时序分析方法.（绪论中例1〜例4,大量事例）

冇理谱与随机模型（差分方程）关系一般归纳为三：

具冇冇理谱g“）=云IY.JI2的平稳序列必满足随机模型.

二、制设计.

三、

（p｛e）

随机模型（差分方程）的平稳解便于在最小（均方）差意义下进行最住预报和控有理谱能较好地逼近各种连续谱密度.

差分方程（随机线性模型）：

（I）

（II）

◎一（pg_\（Pf）cot_p=at-0（jat_q

用刃表示「步线性推移算了，即

Bkxt=xt_k,Bkat=a（_k,Bkc=c,c为常数

并令

（p（B）=\-（p{B-（p2B2（pf）Bp

0（b）=\-exB-62B-OqBq

于是（I）又可简写为：

（III）

0（B）兀=&（3）q

把0（B）,0（3）作为算子B的多项式，通常假定它们之间无公共因子.为方便计：

参量常用向量农示

ZKZX

（IV）

輕,…，爲T卩…，0/

0WTQ=0,cr；）『

于是模型（I）和（III）中，用线性差分方程描述了｛兀｝和｛©｝这两个序列不同时刻Z间

的线性关系，因而是一种线性时序模型.

但以后，我们总假定（I）式中终为正态平稳白噪声，其方差EaU，且假定Eco1as=0（r<5）（s时刻的白噪声乞与f时刻的舛不相关），0（B）与0（3）无公共因子.常假定£©=0!

另外，（I）与（III）两种特殊情况：

禺©一〃=%or0（B）©=旳（V）0qat_qorcot-0（B）at（VI）

（若乙=©+“，即E乙=p,而且©满足⑴式，则有

0（B）（z厂“）=0（B）z『=c+0（BM，这就是随机序列召的均值不为零时的模型,它不是我们讨论的主要对象••・•乙相关函数与©的完全相同，.•.只要讨论（I）模型就够了•）

随机线性模型分类：

（1）MovingAverageModels：

若（VI）式中的系数多项式0{co）=0（可逆滑动平均模型）的根全在单位圆外，即其根的模都大于1,我们称（VI）为〜.其解©叫做可逆滑动平均序列.简称为MA模型和MA序列.g-滑动平均阶数，$,•••,0和称为它们的参数.简记M（0,g）模型（序列），表示g阶纯滑动平均的.

（2）AutoregressiveModels：

若（V）式的系数多项式（p（co）=0的根全在单位圆外，即其根的模都大于1.我们称（V）式为平稳口冋归模型，其平稳解卩叫做平稳口回归序列，分别简称为4/?

模型和4/?

序列•“-白回归阶数（P\,・・・，（Pp和称为它们的参数.记号AR（p,0）模型（或序列），表示模型是〃阶纯自回归的.

（3）ARMA模型（或ARMA序列）（平稳自回归-可逆滑动平均混和模型）若模型（I）或（III）式中的系数多项式仔（0）和&（劲无公共因子，而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件，我们就称这一模型为〜.其平稳解叫做自回归-可逆滑动平均混和序列，简称ARMA模型和ARMA序列.用（°,q）表示其阶数，前者表示自回归的阶数，后者表示

.的（P）

滑动平均的阶数，00和圧为其参数，参数表示：

0=:

Q三7记号

9丿匕丿ARMA（p,q）模型（或序列）.

ARMA（p.Q）三AR（p,0）,ARMA（0,q）三MA（0,g）

由上述知识知道：

随机模型平稳性和可逆性的定义为

若给了一个随机模型⑴或（or（III））,®我们可以求出相应方程0（劲=0和0（e）=0的根，检验这些根是否全在单位圆外，以此來判定模型是否为平稳的和可逆的.②另外，亦可根据代数方程根和系数的关系，把平稳性和可逆性条件转化成关于参数00的约束条件，这样便利，从而引出平稳域和可逆域两个概念：

1.平稳域：

设模型（I）式的自回归阶数是〃，凡是使0（劲=0的根全在单位圆外的

/、

系数向量0=:

，构成一个〃维实向量空间的子集，记做①3）,

0）（"）={0：

0「外）0（。

）=0的根全在单位圆外},①3）称为模型的平稳域.模

型⑴为平稳O0W①（"）.

2.可逆域：

设模型（I）式滑动平均阶数为q,凡是使&（劲二0的根全在单位圆外的系数向量&，构成一个g维实向量空间的子集，记做

0⑷={0：

歹=©,&2,…,0）,0（e）=0的根全在单位圆外},

0®称为模型的可逆域，模型（I）式是可逆的o&wO®.

儿个例子

例1A/?

（l,0）和A/?

MA（l,q）的模型的平稳域

模型形式为◎一（pg_\=0（B）q.

0（B）相应的代数方程为卩@）=1_00=0,其根为©=丄,为使匕|1=1—1>1,必须

且只须I®lv1・・・・①⑴={©:

_1v%v1}・①⑴为A/?

（l,0）或A/?

MA（l,g）模型的平稳域.

例2A/?

（2,0）和A/?

M4（2,g）模型的平稳域

模型形式为CD,-0|°_1-020-2=&（3）勺.

0（B）相应的代数方程为（p{co）=\-（pxco-（p2co2=0,此方程冇两根

且由二次方程的根与系数关系得：

®=—対-,©CO?

=凶1伯右

0202

©±0严-一土（丄+丄）=!

-（!

+丄）（1年丄

注意①为复数时，由于0,02是实数，®必为®的共辄复数；当©为实数时，®也必为实数，于是若10•卜1（,=1,2）,那么\（p21<1,而且无论0•为实数还是复数，都有

輕土心"訂（1壮y

反之,若l®lv1且02±®<1（即（1+—）（1+—）>0）.

①gi（i=i,2）>i时,显然有:

（1+—）（i+—）>o；

②®,力2均为复数时O=%，只须证（1±—）（!

+—）>0即可

11Q】+1Qi+11+I©l~+（©+Qi）

（i+—）（i+—）==—=—4~—£>o

若令69）=a+bi,则Il2=a24-/?

2.-.1+1©卩干（®+/）=]+/+，¥（2°）（l+rz）>0

=（l+tz）2+&2>0（bHO）

从血总冇（1土—）（1土—）>0,于是1—（1土—）（1土—）<1•

Q]CDX©®

那么从前者推出1©丨（心1,2）中至少有一个大于1（•・・-—=^2）不妨设⑷卜1.02

当®为复数时，必冇®=矗1，这时1©曰卩卜1；当e，®都为实数时，由于⑷卜1,意味着1h—〉o.

.•.从（1干丄）（1刁丄）〉0推得1干丄〉0.即一1<丄<1或lg卜1这就证明了无论

0]a）?

0•为实数或复数，都有1©1>1.

①⑵={|©：

1%=

综上所述：

丨©I〉1（/=1,2）o（0,心）e①⑵,

一1<02<1，02+0<1，02一®<1}

低阶模型的T：

稳域少可逆域

高阶模型参数的平稳域与可逆检验：

当〃,q超过2吋，模型的平稳可逆域就变得比较复朵，不可能用简单关系式表示.但冇办法检验它们的参数是否属于平稳可逆域.一种是直接办法：

求解代数方程，检查它的根是否在单位圆外，此法计算虽较大，况n冇时并不需要了解特征方程根的具体数值；另一种方法：

运用Schur-Cohn准则和Jury准则来判定.

1.Schur-Cohn准则：

匕〉0的根在复平而的单位圆内.

定义：

系统特征多项式F（z）称为稳定的当且仅当系统特征多项式F（z）=anz+q“_iZ‘z+・・・+0忆+0（）,

令F（z）的s—c•行列式为

d（）

2kx2k

an-l

G+1

△2=

CIO

勿为务的共轨复数，且令绻二一1・

系统特征多项式F（z）稳定o它的s-c行列式满足0

v（U为奇数>0,R为偶数.

若上述条件满足，则F（z.）=0的所有的根均在单位圆内，否则至少有一个根不在单位

圆内.但不能判断究竟有几个，也不能判断这些根是在圆外还是在圆上.

A0=-lA.=--=1如2_|叩2

Cl\do

Schur-Cohn准则详释：

要检验0（B）=\-（pxB-（p2B2（ppBp

或0（3）=]_q〃_如enq

根是否全在单位圆外，可通过反演变换Z二B",山0（B）或&（〃）得到对应特征多项式:

F⑺=_（p矿'——冷F（Z）=Z

易知少⑻,&（3）根全在单位圆外oF（Z）根全在单位圆内.对应F（z）=anzn+%_]Z"7+・••+%+a。

an>0

系数序列（d（）,Q|,…卫“）为（一冷，一0p_],…，一0,1）（一©，一0_i，…，一&J）

F⑵的s-c行列式为:

A,=

an-\

d"-l

aoa\

2kx2k

2.Jury准则:

Jury准则來源于E.I.Jury,TheoryandApplicationoftheZ-TransformMethod（NewYork,

Wiley,1964）

Jury准则有一个相当适用方便的结果（参数估计时将用之）.

Theorem：

多项式F（z）的根全部在单位鬪内的一个充分条件是：

色>色_1〉％_2>・_>4）>°

（1）

即当

（1）成立时，多项式F（z）的根全都在单位圆内.

Proof：

问题等价于当

（1）成立时，Jury准则检验能通过，显然F（l）〉0且刃为奇数时

F（_1）=_（Q”一％）_（%-2_°“_3）（d[-&））<0

当斤为偶数时

F（-1）=（绻-4_]）+（绻_2-%3）+…+@2_4）+4）〉0

剩下需检验1个不等式成立，0（）=1«（）|<|d”1=4显然成立.由

bk=

可得％

c（）vqV…VC,-<°

do…vd“_3vO

因此证得F⑵=0在单位圆内充要条件满足％v切<色v°•

将此结果应用到ARMA模型，可以得到相应结果，即当-1V%<径<・・・<為<0或-1

Remark：

Jury准则当条件不全成立时F（z）至少冇一个根不在单位圆内.

Jury检验准则依赖于以卞的农格:

行

n-kz

72-1

…z

an-k

…色一】

陽

an-2

…Q]

d（）

^n-\-k

…齢

bn-l

bn-2

bn-3

仇

…％

c（）

…S_2

C“_2

C-3

Cn-4

•••

…5

2/?

-5

“3

2n-4

“3

A）

2n-

-3

q。

q、

PqP3

PoPl

，4=

，%=

P3Po

P3Pl

>0,n为偶数<0,n为奇数lq1<1an1,1/?

01,1c0l>lc„_21>1^21

F⑵=0在单位圆外和圆上无根oF（l）>0,F（-l）

以及

q（）=

表中第一行中依次排列F（z）的系数，第二行是第一行中的逆序，其余各行中的元索

这〃-1个关系式都成立.

（第一个不等式和其余不等式反向.）

怎样将0（B）和&（B）化成规定的形式F⑵,当然在ARMA中系数都是实的，然后才能作进一步讨论.例要检验0（3）=——冷3〃的所有根是否在单位圆外，就应转

化为检验：

（通过反演变换z=.

第一章第二节所举的六个伪随机数列构造的秘密,wk=ak-0.5ak_^k=\,2,…

_0.5叫t=cik

-w_[+0.24%_2=%k=\,2，…wk-0.3w—i=ak-0.6%],k=\,2,…S_1・5st+0.5z—2=ak（VI）・.・0（w）=1-1.5w+0.5/=

它们分别按以下模式构造：

（I）MA（0,1）

（II）MA（0,2）

（III）A/?

（l,0）

（IV）A/?

（2,0）

（V）ARMANI）

（VI）不是A/?

（2,0）模型.

=2,其中帆|=I它不满足平

0的根为W]=1,vv2

©⑵=z.P-（p

稳性条件.

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