第二章线性模型及自相关与偏相关函数1docx.docx
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第二章线性模型及自相关与偏相关函数
§1.随机线性模型
对于随机差分方程:
兀一0兀一I(Ppxt-p=a厂eg恥小/二・・・,一1,0,1•…(I)
0(w),0(w)系数及两个多项式满足一定约束且q是一口噪声,Ea;=云,当时,Extas=0,则称兀是(I)之一个平稳解,我们将给予上述线性模型进行详细讨论.
首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系.
例1在某一专用计算机的固定程序中,包括如下的简单迭代计算
x〔=(pg(II)
其中0为固定常数(I%IV1)
由于计算机的字长有限,每次计算上式吋都会有舍入误差.若以f和兀分別表示计算机的计算值和真实值,则二者之差©=€-兀便是一个谋差序列,我们现在來分析它的内在变化规律.设在计算f时产住的舍入误差为%,于是计算值f为
才=5圮1+少
(2)
n©+為=5(©_]+舛_])+4=>©+兀二卩“…+卩兀口+勺
n(3)
经验表明,舍入误差终近似为均匀分布的白噪声,其方差依计算机的字长而定.于是(3)式就是计算
(1)式吋,计算误差序列的所满足的随机模型
X]一Mi(Pp\-p=%_恥小f=…,_1,0,1,…
的特殊情况.以后我们将主要讨论勺为正态分布的情况.(3)和普通差分方程,由于q是随机序列,也是随机序列.勺随着初值X。
不同而不同,于是0序列也各次取不同值,但是它与相应的坷都满足(3)式.若用B表示一步延迟算子,即
Ba)J=%(4)
(3)Z系统示意框图
©为输入①为输出,一级反馈系(数)统.
例2空间飞行目标(如飞机、导弹或卫星).在一空域飞行时,其加速度常常被视为随机过程,在离散采样时,就是随机序列•比如在绪论的例2中我们曾把的三丸-注、看
作满足第一章差分方程的平稳序列,并希望用时序分析方法估计均的模型参数.但不能象例1那样用简单推导列出均的模型.
随机序列与随机模型的关系:
1与例1类似,从实际背景出发,能够准确导出误差序列所满足的随机模型,即称Z为能用物理方法列出的随机模型.
2与例2类似,对于物理过程码,并无物理方法能准确列出它的模型.事实上,我们说馮具冇差分方程的模型,这只是一种近似地描述随机序列的手段,即用具冇冇理谱的平稳序列来近似描述色.这时我们用均的样本序列来估计模型(差分方程),这就要用到时序分析方法.(绪论中例1〜例4,大量事例)
冇理谱与随机模型(差分方程)关系一般归纳为三:
具冇冇理谱g“)=云IY.JI2的平稳序列必满足随机模型.
二、制设计.
三、
(p{e)
随机模型(差分方程)的平稳解便于在最小(均方)差意义下进行最住预报和控有理谱能较好地逼近各种连续谱密度.
差分方程(随机线性模型):
(I)
(II)
◎一(pg_\(Pf)cot_p=at-0(jat_q
用刃表示「步线性推移算了,即
Bkxt=xt_k,Bkat=a(_k,Bkc=c,c为常数
并令
(p(B)=\-(p{B-(p2B2(pf)Bp
0(b)=\-exB-62B-OqBq
于是(I)又可简写为:
(III)
0(B)兀=&(3)q
把0(B),0(3)作为算子B的多项式,通常假定它们之间无公共因子.为方便计:
参量常用向量农示
ZKZX
(IV)
輕,…,爲T卩…,0/
0WTQ=0,cr;)『
于是模型(I)和(III)中,用线性差分方程描述了{兀}和{©}这两个序列不同时刻Z间
的线性关系,因而是一种线性时序模型.
但以后,我们总假定(I)式中终为正态平稳白噪声,其方差EaU,且假定Eco1as=0(r<5)(s时刻的白噪声乞与f时刻的舛不相关),0(B)与0(3)无公共因子.常假定£©=0!
!
!
另外,(I)与(III)两种特殊情况:
禺©一〃=%or0(B)©=旳(V)0qat_qorcot-0(B)at(VI)
(若乙=©+“,即E乙=p,而且©满足⑴式,则有
0(B)(z厂“)=0(B)z『=c+0(BM,这就是随机序列召的均值不为零时的模型,它不是我们讨论的主要对象••・•乙相关函数与©的完全相同,.•.只要讨论(I)模型就够了•)
随机线性模型分类:
(1)MovingAverageModels:
若(VI)式中的系数多项式0{co)=0(可逆滑动平均模型)的根全在单位圆外,即其根的模都大于1,我们称(VI)为〜.其解©叫做可逆滑动平均序列.简称为MA模型和MA序列.g-滑动平均阶数,$,•••,0和称为它们的参数.简记M(0,g)模型(序列),表示g阶纯滑动平均的.
(2)AutoregressiveModels:
若(V)式的系数多项式(p(co)=0的根全在单位圆外,即其根的模都大于1.我们称(V)式为平稳口冋归模型,其平稳解卩叫做平稳口回归序列,分别简称为4/?
模型和4/?
序列•“-白回归阶数(P\,・・・,(Pp和称为它们的参数.记号AR(p,0)模型(或序列),表示模型是〃阶纯自回归的.
(3)ARMA模型(或ARMA序列)(平稳自回归-可逆滑动平均混和模型)若模型(I)或(III)式中的系数多项式仔(0)和&(劲无公共因子,而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件,我们就称这一模型为〜.其平稳解叫做自回归-可逆滑动平均混和序列,简称ARMA模型和ARMA序列.用(°,q)表示其阶数,前者表示自回归的阶数,后者表示
.的(P)
滑动平均的阶数,00和圧为其参数,参数表示:
0=:
Q三7记号
9丿匕丿ARMA(p,q)模型(或序列).
ARMA(p.Q)三AR(p,0),ARMA(0,q)三MA(0,g)
由上述知识知道:
随机模型平稳性和可逆性的定义为
若给了一个随机模型⑴或(or(III)),®我们可以求出相应方程0(劲=0和0(e)=0的根,检验这些根是否全在单位圆外,以此來判定模型是否为平稳的和可逆的.②另外,亦可根据代数方程根和系数的关系,把平稳性和可逆性条件转化成关于参数00的约束条件,这样便利,从而引出平稳域和可逆域两个概念:
1.平稳域:
设模型(I)式的自回归阶数是〃,凡是使0(劲=0的根全在单位圆外的
/、
0
系数向量0=:
,构成一个〃维实向量空间的子集,记做①3),
0)(")={0:
0「外)0(。
)=0的根全在单位圆外},①3)称为模型的平稳域.模
型⑴为平稳O0W①(").
2.可逆域:
设模型(I)式滑动平均阶数为q,凡是使&(劲二0的根全在单位圆外的系数向量&,构成一个g维实向量空间的子集,记做
0⑷={0:
歹=©,&2,…,0),0(e)=0的根全在单位圆外},
0®称为模型的可逆域,模型(I)式是可逆的o&wO®.
儿个例子
例1A/?
(l,0)和A/?
MA(l,q)的模型的平稳域
模型形式为◎一(pg_\=0(B)q.
0(B)相应的代数方程为卩@)=1_00=0,其根为©=丄,为使匕|1=1—1>1,必须
且只须I®lv1・・・・①⑴={©:
_1v%v1}・①⑴为A/?
(l,0)或A/?
MA(l,g)模型的平稳域.
例2A/?
(2,0)和A/?
M4(2,g)模型的平稳域
模型形式为CD,-0|°_1-020-2=&(3)勺.
0(B)相应的代数方程为(p{co)=\-(pxco-(p2co2=0,此方程冇两根
且由二次方程的根与系数关系得:
®=—対-,©CO?
=凶1伯右
0202
©±0严-一土(丄+丄)=!
-(!
+丄)(1年丄
注意①为复数时,由于0,02是实数,®必为®的共辄复数;当©为实数时,®也必为实数,于是若10•卜1(,=1,2),那么\(p21<1,而且无论0•为实数还是复数,都有
輕土心"訂(1壮y
反之,若l®lv1且02±®<1(即(1+—)(1+—)>0).
①gi(i=i,2)>i时,显然有:
(1+—)(i+—)>o;
②®,力2均为复数时O=%,只须证(1±—)(!
+—)>0即可
11Q】+1Qi+11+I©l~+(©+Qi)
(i+—)(i+—)==—=—4~—£>o
©69)©691丨©丨
若令69)=a+bi,则Il2=a24-/?
2.-.1+1©卩干(®+/)=]+/+,¥(2°)(l+rz)>0
=(l+tz)2+&2>0(bHO)
从血总冇(1土—)(1土—)>0,于是1—(1土—)(1土—)<1•
Q]CDX©®
那么从前者推出1©丨(心1,2)中至少有一个大于1(•・・-—=^2)不妨设⑷卜1.02
当®为复数时,必冇®=矗1,这时1©曰卩卜1;当e,®都为实数时,由于⑷卜1,意味着1h—〉o.
.•.从(1干丄)(1刁丄)〉0推得1干丄〉0.即一1<丄<1或lg卜1这就证明了无论
0]a)?
55
0•为实数或复数,都有1©1>1.
①⑵={|©:
1%=
综上所述:
丨©I〉1(/=1,2)o(0,心)e①⑵,
一1<02<1,02+0<1,02一®<1}
低阶模型的T:
稳域少可逆域
高阶模型参数的平稳域与可逆检验:
当〃,q超过2吋,模型的平稳可逆域就变得比较复朵,不可能用简单关系式表示.但冇办法检验它们的参数是否属于平稳可逆域.一种是直接办法:
求解代数方程,检查它的根是否在单位圆外,此法计算虽较大,况n冇时并不需要了解特征方程根的具体数值;另一种方法:
运用Schur-Cohn准则和Jury准则来判定.
1.Schur-Cohn准则:
匕〉0的根在复平而的单位圆内.
定义:
系统特征多项式F(z)称为稳定的当且仅当系统特征多项式F(z)=anz+q“_iZ‘z+・・・+0忆+0(),
令F(z)的s—c•行列式为
Un
d()
2kx2k
an-l
G+1
0
5
5
△2=
0
0
CIO
a\
02
0
ao
勿为务的共轨复数,且令绻二一1・
系统特征多项式F(z)稳定o它的s-c行列式满足0
v(U为奇数>0,R为偶数.
若上述条件满足,则F(z.)=0的所有的根均在单位圆内,否则至少有一个根不在单位
圆内.但不能判断究竟有几个,也不能判断这些根是在圆外还是在圆上.
A0=-lA.=--=1如2_|叩2
Cl\do
Schur-Cohn准则详释:
要检验0(B)=\-(pxB-(p2B2(ppBp
或0(3)=]_q〃_如enq
根是否全在单位圆外,可通过反演变换Z二B",山0(B)或&(〃)得到对应特征多项式:
F⑺=_(p矿'——冷F(Z)=Z-^,Z易知少⑻,&(3)根全在单位圆外oF(Z)根全在单位圆内.对应F(z)=anzn+%_]Z"7+・••+%+a。
an>0
系数序列(d(),Q|,…卫“)为(一冷,一0p_],…,一0,1)(一©,一0_i,…,一&J)
F⑵的s-c行列式为:
A,=
an-\
d"-l
an
aoa\
an
2kx2k
2.Jury准则:
Jury准则來源于E.I.Jury,TheoryandApplicationoftheZ-TransformMethod(NewYork,
Wiley,1964)
Jury准则有一个相当适用方便的结果(参数估计时将用之).
Theorem:
多项式F(z)的根全部在单位鬪内的一个充分条件是:
色>色_1〉%_2>・_>4)>°
(1)
即当
(1)成立时,多项式F(z)的根全都在单位圆内.
Proof:
问题等价于当
(1)成立时,Jury准则检验能通过,显然F(l)〉0且刃为奇数时
F(_1)=_(Q”一%)_(%-2_°“_3)(d[-&))<0
当斤为偶数时
F(-1)=(绻-4_])+(绻_2-%3)+…+@2_4)+4)〉0
剩下需检验1个不等式成立,0()=1«()|<|d”1=4显然成立.由
bk=可得%
c()vqV…VC,-<°
do…vd“_3vO
因此证得F⑵=0在单位圆内充要条件满足%v切<色v°•
将此结果应用到ARMA模型,可以得到相应结果,即当-1V%<径<・・・<為<0或-1Remark:
Jury准则当条件不全成立时F(z)至少冇一个根不在单位圆内.
Jury检验准则依赖于以卞的农格:
行
0
Z
i
z
9
n-kz
72-1
…z
nz
1
Qo
al
02
an-k
…色一】
%
2
陽
an-2
…Q]
d()
3
%
b2
^n-\-k
…齢
4
bn-l
bn-2
bn-3
仇
…%
5
c()
C|
C2
…S_2
6
C“_2
C-3
Cn-4
•••
…5
2/?
-
-5
Po
Pl
Pl
“3
2n-4
“3
Pl
Pl
A)
2n-
-3
q。
q、
%
PqP3
PoPl
PoPl
,4=
,%=
P3Po
P3Pl
P3Pl
>0,n为偶数<0,n为奇数lq1<1an1,1/?
01,1c0l>lc„_21>1^21
F⑵=0在单位圆外和圆上无根oF(l)>0,F(-l)
以及
q()=
表中第一行中依次排列F(z)的系数,第二行是第一行中的逆序,其余各行中的元索
这〃-1个关系式都成立.
(第一个不等式和其余不等式反向.)
怎样将0(B)和&(B)化成规定的形式F⑵,当然在ARMA中系数都是实的,然后才能作进一步讨论.例要检验0(3)=——冷3〃的所有根是否在单位圆外,就应转
化为检验:
(通过反演变换z=.
第一章第二节所举的六个伪随机数列构造的秘密,wk=ak-0.5ak_^k=\,2,…
=©—务.i+0・24q_2,k=\,2,…
_0.5叫t=cik
-w_[+0.24%_2=%k=\,2,…wk-0.3w—i=ak-0.6%],k=\,2,…S_1・5st+0.5z—2=ak(VI)・.・0(w)=1-1.5w+0.5/=
它们分别按以下模式构造:
(I)MA(0,1)
(II)MA(0,2)
(III)A/?
(l,0)
(IV)A/?
(2,0)
(V)ARMANI)
(VI)不是A/?
(2,0)模型.
=2,其中帆|=I它不满足平
0的根为W]=1,vv2
©⑵=z.P-(p
稳性条件.