中学数学公式定理列表.docx
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中学数学公式定理列表
代数公式
幂的运算性质
①am×an＝am+n．
.公式逆用：
②am÷an＝am-n（a≠0,m、n都是正整数,且m>n）．
③（am）n＝（an）m＝amn．④（ab）n＝anbn．
⑤a-n＝
（a≠0,n是正整数），特别：
（
）-n＝（
）n．
⑥（
）n=
．⑦a0＝1（a≠0）．
（以上m,n均为正整数）
整式乘法公式
（反过来就是因式分解的公式）
①（a＋b）（a－b）＝a2－b2．（平方差公式）
②（a±b）2＝a2±2ab＋b2．（完全平方公式）
③（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3．（立方和公式）
④（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3；（立方差公式）
⑤（a－b）2＝（a＋b）2－4ab，a2＋b2＝（a＋b）2－2ab．
⑥（a2＋b2＋c2）＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
多项式
因式分解
多项式相乘
分式运算
，
二次根式
①（
）2＝a（a≥0），②
＝丨a丨，
③
＝
×
（a≥0，b≥0），④
＝
（a＞0，b≥0）．
一元二次方程
①对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，求根公式如下：
②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a（x－x1）（x－x2）．
③以a和b为根的一元二次方程是x2－（a＋b）x＋ab＝0．
统计初步
1平均数：
2极差=最大值-最小值
3方差与标准差：
数据
、
……,
的方差为
，则：
=
数据
、
……,
的标准差为
，则：
=
数
列
某些数列前n项和：
①②
①1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2
②1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2
③2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）
④12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6
⑤13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/4
⑥1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
比例的性质
（1）比例的基本性质如果a:
b=c:
d，那么ad=bc，它的逆命题也成立，即：
如果ad=bc≠0,那么a:
b=c:
d
（2）合比性质如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d
（3）等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0），则
（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b
一次函数
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线．
当k＞0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；
当k＜0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）．
正比例函数（b＝0的一次函数）
y＝kx（k≠0），y与x成正比例，其图象必过原点．
反比例函数
反比例函数y＝
（k≠0）的图象是双曲线，它的增减性与一次函数相反．
当k＞0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；
当k＜0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）．
二次函数
是常数，
的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线．
当
时，开口向上；当
时，开口向下．
相等，抛物线的开口大小、形状相同．
三角函数公式
两角和与差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαAsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
cot（α+β）=（ctgαctgB-1）/（cotβ+cotα）cot（α-β）=（ctgαctgβ+1）/（cotβ-cotα）
和差化积
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
积化和差
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：
其中R表示三角形的外接圆半径
（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
（2）sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c;
余弦定理b2=a2+c2-2·a·c·cosB注：
角B是边a和边c的夹角
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA
余角公式：
sin（90º－A）＝cosA，cos（90º－A）＝sinA，
tan（90º－A）=cotA，cot（90º－A）=tanA
半角公式
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
cot（α/2）=±√（（1+cosα）/（1-cosα））=（1+cosα）/sinα=sinα/（1-cosα）
sec（α/2）=±√（（2secα/（secα+1））
csc（α/2）=±√（（2secα/（secα-1））
倍角公式
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan（2α）=2tanα/（1-tan2α）
cot（2α）=（cot2α-1）/（2cotα）
sec（2α）=sec2α/（1-tan2α）
csc（2α）=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin（3α）=3sinα-4sin3α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°-α）
cos（3α）=4cos3α-3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）
tan（3α）=（3tanα-tan3α）/（1-3tan2α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3-α）
cot（3α）=（cot3α-3cotα）/（3cotα-1）
n倍角公式
sin（nα）=ncos（n-1）α·sinα-C（n,3）cos（n-3）α·sin3α+C（n,5）cos（n-5）α·sin5α-…
cos（nα）=cosnα-C（n,2）cos（n-2）α·sin2α+C（n,4）cos（n-4）α·sin4α-…
万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan2（a/2））
cos（a）=（1-tan2（a/2））/（1+tan2（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan2（a/2））
同角三角函数关系式
平方关系
sin2（α）+cos2（α）=1
cos（2α）=cos2（α）-sin2（α）=1-2sin2（α）=2cos2（α）-1
sin（2α）=2sin（α）cos（α）
tan2（α）+1=1/cos2（α）
2sin2（α）=1-cos（2α）
cot2（α）+1=1/sin2（α）
积的关系
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
倒数关系
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
商的关系
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
三角函数的特殊值
几何公式
角
1周角=360º，1平角=180º，1直角=90º，1º=60ˊ，1ˊ=60〞
互为余角：
∠A+∠B=90º互为补角：
∠A+∠B=180º
三角形
勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系
，那么这个三
角形是直角三角形
三角形面积=底×高÷2S△=ah÷2，S正△＝
×（边长）2
四边形
平行四边形：
面积=底×高S=ah
矩形：
面积=长×宽S=ab正方形：
面积=边长×边长S=a×a
菱形：
面积=高×底=对角线的积的一半S=ab÷2
梯形：
面积=高×中位线=（上底+下底）×高÷2S=（a+b）×h÷2
圆公式
1、圆周长C=2πR，圆面积S=πR2
2、弧长L=nπR／180，扇形面积S=nπR2／360=LR／2
3、圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：
（a,b）是圆心坐标
4、圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：
D2+E2-4F>0
圆柱与圆锥
圆柱侧面积S=ch=2πrh，圆锥侧面积S=1/2cL=πrL
圆台侧面积S=1/2（c+c'）L=π（R+r）L，球的表面积S=4πR2
圆柱表面积：
S=2πr2+2πrh=2πr（r+h）（底面积加侧面积）
圆锥表面积S=πR2（n/360）+πr2或（1/2）αR2+πr2（n为角度制,α为弧度制,α=π（n/180）
圆锥表面积：
πr2+1/2π2rl=πr（r+l）（l为母线长，等于根号下r的平方加h的平方）
锥体体积V=1/3sh，圆锥体体积V=1/3πR2h（是等底等高圆柱体积的三分之一）
柱体体积V=sh，圆柱体积V=πR2h（底面积×高）
体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍
体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍
几何基本性质和定理
直线
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
垂线
1、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
垂直平分线
（线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合）
定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
平行线
性质
判定
1、直线平行，同位角相等
2、两直线平行，内错角相等
3、两直线平行，同旁内角互补
1、同位角相等，两直线平行
2、内错角相等，两直线平行
3、同旁内角互补，两直线平行
1、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
2、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
3、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对线段成比例
推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比4、定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边
角
1周角=360º，1平角=180º，1直角=90º，1º=60ˊ，1ˊ=60〞
互为余角：
∠A+∠B=90º互为补角：
∠A+∠B=180º
角平分线
定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
多边形
设一个多边形的边数为n（n≥3，且n为整数），从一个顶点出发的对角线有
（n-3）条；可以把n边形成（n-2）个三角形；这个n边形共有
条对角线
三角形
定理：
三角形两边的和大于第三边
推论：
三角形两边的差小于第三边
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
推论1：
直角三角形的两个锐角互余
推论2：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
推论3：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
全等三角形的判定：
边角边公理（SAS）：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角公理（ASA）：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论（AAS）：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边公理（SSS）：
有三边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边公理（HL）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
等腰三角形
性质：
等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
推论2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）
推论3：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形
性质：
（直角三角形两个锐角互余）
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方（即勾股定理）
判定：
1、如果三角形三边长a、b、c有关系
，那么它是直角三角形
2、如果三角形一边上的中线等于这边上的一半，那么它是直角三角形
直角三角形全等的条件:
除了与一般三角形相同的全等条件外，直角三角形全等的判定方法还可归纳如下：
①斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称“斜边、直角边”。
②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
④三条边对应相等的两个直角三角形全等。
直角三角形的射影定理：
Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，则有：
（1）
（2）
（3）
四边形
定理：
四边形的内角和等于360°，四边形的外角和等于360°
多边形内角和定理：
n边形的内角的和等于（n-2）×180°
推论：
任意多边形的外角和等于360°
平行四边形
平行四边形性质定理1：
平行四边形的对角相等
平行四边形性质定理2：
平行四边形的对边相等
推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等
平行四边形性质定理3：
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形判定定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4：
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
菱形
菱形性质定理1：
菱形的四条边都相等
菱形性质定理2：
菱形的两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
菱形判定定理1：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形判定定理3：
四条边都相等的四边形是菱形
矩形
矩形性质定理：
矩形的四个角都是直角，且对角线相等
矩形判定定理1：
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形
矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形判定定理3：
四个角都相等的四边形是矩形
正方形
性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
正方形常用的判定：
1、有一个内角是直角的菱形是正方形
2、对角线相等的菱形是正方形
3、邻边相等的矩形是正方形
4、对角线互相垂直的矩形是正方形
等腰梯形
等腰梯形性质定理1：
等腰梯形同一底上的两个内角相等
等腰梯形性质定理2：
等腰梯形的两条对角线相等
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
等腰梯形判定定理1：
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
等腰梯形判定定理2：
对角线相等的梯形是等腰梯形
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图所示）：
相似三角形
性质定理1：
相似三角形周长的比等于相似比（相似多边形周长的比等于相似比）
性质定理2：
相似三角形面积的比等于相似比的平方（相似多边形面积的比等于相似比的平方）
性质定理3：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
判定：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
1、三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
3、两角对应相等，两三角形相似（ASA）
4、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
位似图形
1、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
2、对应线段的比等于相似比
3、周长比等于相似比面积比等于相似比的平方
轴对称
定理1：
关于某条直线对称的两个图形是全等形
定理2：
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3：
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
逆定理：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
中心对称
定理1：
关于中心对称的两个图形是全等的
定理2：
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分
逆定理：
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
圆
1、垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
2、定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
3、定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆
4、定理：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对圆心角的一半
推论1同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
5、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
圆的切线
1、切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径
2、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
推论①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
3、切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
4、三角形的内心为三角形内切圆的圆心，也是三角形三内角平分线的交点；
三角形的外心为三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。
5、弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
推论：
若两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
6、相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
推论：
若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
7、切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（割线定理）
8、内公切线长=d-（R-r）；外公切线长=d-（R+r）
正n边形
1、定理：
把圆分成n（n≥3）:
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边2、定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
3、定理：
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
4、正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长
5、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
6、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此
k×（n-2）180°／n=360°可化为（n-2）（k-2）=4
7、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；
圆的外切四边形的两组对边的和相等
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