反比例函数经典拓展难题.docx
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反比例函数经典拓展难题
反比例函数难题拓展
填空题
1.（2011,16,4分）如图，将一块直角三角板OA滋在平面直角坐标系中，B（2,0）,/
AO序60°,点A在第一象限，过点A的双曲线为y=§,在x轴上取一点P,过点P作直线
OA的垂线l,以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O'B'.
（1）当点O'与点A重合时，点P的坐标是.
（2）设P（t,0）当O'B'与双曲线有交点时，t的取值围是——
°B~卜、I
\Ik,
2.（2011,6,4分）已知反比例函数yk的图象经过（1,—2）.则k
4…
3.（2011滨州，18,4分）若点A（m,-2）在反比例函数y一的图像上，则当函数值y>-2时，自变量x的取值围是.
4.（2011市，14,3分）过反比例函数y=-（k丰0）图象上一点A,分别作x轴，y轴的垂线,
垂足分别为B,C,如果/ABC的面积为3.则k的值为.
5.（2011市，18,3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P、P2在反比例函数y=-（x>0）的
x
图像上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形aaA硅，顶点P3在
一…—，2
反比例函数y=-（x>0）的图象上，顶点为在x轴的正半轴上，则点吗的坐标为
•x
3.
7.（2011,13,5分）若点A（1,y1）,B（2,y2）是双曲线y一上的点，则
x
y1y2（填>,<=）.
8.（2011,16,4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2,0）,/
AO序60°,点A在第一象限，过点A的双曲线为y=—，在x轴上取一点P,过点P作直线
OA的垂线l,以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O'B'.
（1）当点O'与点A重合时，点P的坐标是.
（2）设P（t,0）当O'B'与双曲线有交点时，t的取值围是「.
9.（2011,5,3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上,
则该反比例函数的解析式为
10.（2011,18,3分）如图，已知点A的坐标为（际,3）,ABLx轴，垂足为B,连接OA
反比例函数y=k（k>0）的图象与线段OAAB分别交丁点C、D.若AB=3BD以点C为圆心,x
5
CA的5倍的长为半径作圆，贝U该圆与x轴的位置关系是（填“相离”、“相切”
4
或“相交”）
OBr
11.（2011,11,3分）反比例函数y气1的图象在第一、三象限，Mm的取值围
是.
12.（2011,25,4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y2k（k0）满足：
当x0
x
时，y随x的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线yxV3k都经过点P,且
op77,则实数k=.
k,一，
13.（2011,15,5分）如图，在平面直角坐标系中有一正万形AOBC反比例函数y-经过
x
正方形AOB（M角线的交点，半径为（42而）的圆切丁△ABC则k的值为.
那么这个函数的解析式是
17.（2011市，16,3分）如图，口ABCES勺顶点A,B的坐标分别是A（—1,0）,B（0,—2）,
顶点C,D在双曲线y业上，边AD交y轴丁点E,且四边形BCDE勺面积是△ABE面积的5倍,x
则k=
18.（2011黄冈，4,3分）如图：
点A在双曲线y
k.
—上，ABLx轴丁B,且AAOB勺面积S
x
△aob=2,贝Uk=.
1,,
19.（2011,15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=一的图象没有公共点，贝U
x
实数k的取值围是。
1
20.（2011,3,3分）函数y中自变量x的取值围是.
k
21.（2011水州，7,3分）若点P1（1,m）,R（2,n）在反比例函数y-（k0）的图象上，
x
则mn国“>”、“v”或“=”号）.
22.（2011乌兰察布，17,4分）函数y〔x（x0）,y-（x0）的图象如图所示，则结
x
论：
①两函数图象的交点A的坐标为（3,3）②当x3时，yy〔③当x1时，BC
=8④当x逐渐增大时，y〔随着x的增大而增大,y2随着x的增大而减小.其中正确结论
的序号是—.
弟17题囹
..k..._八-一..一•
23.（2011,6,4分）已知反比例函数y:
的图象经过（1,—2）.则k.
k.
24.（2011,4,3分）如图：
点A在双曲线y—上，ABLx轴丁B,且AAOB勺面积宇ao=2,
x
则k=.
13.
25.（2010,15,3分）如图，点A在双曲线y一上，点B在双曲线y一上，xx
且AB//x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD勺面积为矩形，则它的面积为.
2
26.（2011荆州，16,4分）如图，双曲线y—（x0）经过四边形OABC勺顶点A、C,ZABCx
=90°,OC平分OA与x轴正半「轴的火角，AB//x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△ABC,B
点落在OE,贝U四边形OABC勺面积是
三、解答题
1.（2011省，19,6分）如图，已知直线y2x经过点P（2,a）,点P关丁y轴的对称「点
P'在反比例函数y-（k0）的图象上.
x
（1）求a的值；
（2）直接写出点P'的坐标;
（3）求反比例函数的解析式.
2.（2011,21,12分）如图，函数yi*b的图象与函数y2—（x0）的图象交丁A、
x
B两点，与y轴交丁C点，已知A点坐标为（2,1）,C点坐标为（0,3）.
（1）求函数y〔的表达式和B点的坐标；
（2）观察图象，比较当x0时，y〔与y2的大小.
A
X
3.（2011市，23,12分）
k…
已知RtAABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1,3）在反比例函数y=-的x
….一3
图象上，且sin/BAC=-.
5
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标.
k
4.（2011,17
（1）,7分）已知一次函数yx2与反比例函数y―,其中一次函数yx2
的图象经过点P（k,5）.
1试确定反比例函数的表达式；
2若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标
1k
5.（2011,20,7分）如图，正比例函数y/的图象与反比例函数y-（k0）在第一象限的图象交丁A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）
如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为
y
a
（第20题）
5。
1,在x轴上求一点P,使PAPB最小.
6.（2011,26,10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0,-2）,B（1,0）两点,
与反比例函数r的图象在第一象限的交点为M若^OBM勺面积为2。
x
（1）求一次函数和反比全例函数的表达式。
（2）在x轴上存在点P,使A机PM若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由
6.
6.（2011,22,8分）如图，已知反比例函数yi当（ki>0）与一次函数V2k?
x1g0）相
x
交丁AB两点，A如x轴丁点C-若八OACM面积为1,且tan/AO&2.
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大丁一次函数y2的
值？
k.
7.（2011省，18,8分）若反比例函数y一与一次函数y2x4的图象都经过点A（a,2）x
（1）求反比例函数yk的解析式；
x
k.
（2）当反比例函数y一的值大丁一次函数y2x4的值时，求自变量x的取值围.
x
8.（2011义乌，22,10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点.已知反比甲函数
y=（k>0）的图象经过点A（2,m）,过点A作ABLx轴丁点B,且^AOB勺击积为
（1）求k和m的值；k
x
（2）点C（x,y）在反比例函数y=.的图象上，求当1vx<3时函数值y的取值围；
k
x
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交丁P、Q两点，试根据图象直接写出
线段PQ长度的最小值.
9.
10.（2011,22,10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k丰0）的图象
与反比例函数y=归（m^0）的图象交丁二、四象限的A、B两点，与x轴交丁C点，点Bx
4
的坐标为（6,n）,线段OA5,E为x轴负半轴上一点，且sin/AO^-.
5
⑴求该反比例函数和一次函数;
（2）求/\AOC勺面积.
答案
1.【答案】
（1）（4,0）;
（2）42.【答案】一2
4.【答案】6或-6.
5.【答案】（淞+1,湘-1）
6.【答案】（8,3
2
7.【答案】>
8.【答案】
（1）（4,0）;
（2）43
9.【答案】y3
x
10.【答案】相交
11.【答案】x>1
12.【答案】7.
3
13.【答案】4
14.【答案】一2
1
15.【答案】1
2
2
16.【答案】y-
x
17.【答案】1218.
19.
20.
21.
22.
23.
24【答案】一4
25.【答案】2
三、解答题
1.【答案】
（1）将P（-2,a）代入y2x得a=-2X-2）=4;
⑵P'（2,4）
（3）将P'（2,4）代入y白得4=、解得k=8,.••反比例函数的解析式为y-.
x2x
…,…°2kib1,…ki1,
2.【答案】
（1）由题怠，得b3解得b3二y〔x3;
乂A点在凶数
y2
k_
些上，所以
1蛭
2
，解得k22,所以y2-
x
2
x
y
x
3,
xi
1
x22
解方程组
2
4曰1
y
x
y〔
2
y21
所以点B的坐标为（1,2）.
（2）当x=1或x=2时，y〔=y2；
当1y2；
当02时，y13.
【答案】
（1）把C（1,3）代入y=-得k=3x
C（1,3）..CD=3aAC=5
（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有:
AD^52-32=4,AO斗1=3
.△ACSABC•.•AC=ADAB
AC25
AB=AD=4
2513
..OB=ABAO=-—3=v44
13
此时B点坐标为（―,0）
当点B在点A左侧时，如图2
此时AO=41=5
255
OB=A&AO亏—5=t
44
„t一一、，5
此时B点坐标为（一j0）
135
所以点B的坐标为（；,0）成（一切，0）.
4.【答案】解：
因一次函数y=x+2的图象经过点P（k,5）,
所以得5=k+2,解得k=3
所以反比例函数的表达式为
解得
故第三象限的交点Q的坐标为（一3,-1）
5。
1,在x轴上求一点P，使PAPB最小.
【答案】
（1）设A点的坐标为（a,b），则b
.•、1,1k1.k2.
22
一.…一一…………2
.••反比例函数的解析式为y2.
y
2I
⑵由X得X2，...A为（2,1）（第20题）-
1y1.
y2X
设A点关丁x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2,1）
令直线BC的解析式为ymxn.
2mn,m3,
•••
12mn.n5.
BC的解析式为y3x5.
.3•分
4•分
6分
当y0时，x5.P点为（5,0）
33
6.
【答案】
（1）:
直线y=k1X+b过A（0,-2）,B（1,0）
b=-2b=-2
k1+b=0k1=2
一次函数的表达式为y=2x-2
设M（m,n），作MtXx轴丁点D
..S6=2
.••2OB・MD=2.2n=2
二n=4
将M（m4）代入y=2x-2得：
4=2m-2m=3
"2.一
.4=号..k2=12
3
12
所以反比例函数的表达式为y=-
x
⑵过点M（3,4）作M0AM交x轴丁点P.MDLBP.•』PMD=MBD=ABO
tanZPMD=tanZMBD=tanZABO=OA=2=2
OBI
..PO=OD+PD=11
..•在x轴上存在点P,
使P机AM此时点P的坐标为（11,0）
7.
【答案】解
（1）在RtAOAC^,设OOm.
••tanZAO&鲍=2,
OC
AB2XOC2m.
I，S^AOAC=—XOCXAC1xnrn<2m^,22
.2
..ni=1
•■-g1（负值舍去）.
•.•A点的坐标为（1,2）.
把A点的坐标代入y1也中，得
x
ki=2.
.••反比例函数的表达式为yi-.
x
把A点的坐标代入V2k2x1中，得
k2+1=2,
•k2=1.
一次函数的表达式y2x1.
（2）B点的坐标为（一2,-1）.
当0y2.
8.
【答案】
（1）:
y2x4的图象过点A（a,2）a=3
k6
x过点A（3,2）k=6x
ky
（2）求反比例函数x与一次函数y2x4的图象的交点坐标，得到方程:
c6
2x4
x解得：
x1=3,x2=-1
•■-另外一个交点是（-1,-6）
6-
2x4
当x<-1或09.
【答案】
（1）,•-A（2,m）•QB=2AB=m
&aob=」？
ob?
aB」>2>m」••m=-
2222
.,•点A的坐标为（2,-）把A（2,1）代入y=-，得-=-
22x22
••k=1
…一一1
（2），.,当x=1时，y=1;当x=3时，y=-
3
1,
乂.••反比例函数y=1在x>0时，y随x的增大而减小,
x
.••当1Vx<3时，y的取值围为13
（3）由图象可得，线段PQ长度的最小值为2龙。
10.【答案】
（1）过A点作AEUx轴丁点D,
4
.sinZAOE5,O住5,
-…ADAD
..在Rt&AD"•sin"OBAO=亏二
4
5,
•••A44,DO«OA2-DA2=3乂点A在第二象限.•.点A的坐标为（一3,4）,
将A的坐标为（一3,4）代入y=?
，得4噌二"―12，•••该反比例函数的解析式为V
12
元，
••点B在反比例函数y=一一的图象上，•,-n=—y=—2,点B的坐标为（6,—2）,,-x6
一次函数y=kx+b（k丰0）的图象过A、B两点,
—3k+b=4,
••6k+b=—2’•
2
k=-3,
b=2
...该一次函数解析式为
2一y=—^x+2.
3
（2）在y=—2x+2中,
3
令y=0,即—fx+2=0,x=3,
3
.,•点C的坐标是（3,0）,•,-OC3,乂DA=4
-一1一_1
.••，△AO&-XOC。
勺面积为6.
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