第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题与解答.docx

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第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题与解答

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题与解答

（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

问：

光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？

　　[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。

但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。

　　[解法1]将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。

　　光速=30万千米／秒=1800万千米／分，

　　距离=1亿5千万千米=15000万千米，

　　时间=距离÷速度=15000÷1800

　　[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．

　　光速=30万千米／秒，

　　距离=15000万千米，

　　时间=15000÷30=500（秒），

　　答：

光从太阳到地球约需8.3分钟。

（2）计算

　　[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。

同学们可以比较一下后面的两种解法。

　　[解法1]先求出30，35，63的最小公倍数。

30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。

原式通分，有

　　〔解法2〕

　　[注]两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：

解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。

这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！

　　（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。

问：

其中最轻的箱子重多少公斤？

　　[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：

　　83=中+小，

　　85=大+小，

　　86=大+中．

　　这样分析后，便很容易想到简单的解法。

　　[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是

　　[解法2]（83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×

　　答：

最轻的箱子重41公斤。

　　[注]我们当然可以用列方程的方法求解这道题，例如设3箱的重量分别是x，y，z，再列出方程。

思维过程同上面的分析是一样的，不过速度可能会慢些。

　　[分析]这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。

　　[解法]

　　（5）将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。

求这个物体的表面积。

　　[分析]我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。

但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。

　　[解法]物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

　　2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1

　　=4.5π+3π＋2π＋π

　　=10.5π（平方米）

　　取π值为3，上式等于41.5（平方米）。

　　答：

这个物体的表面积是41.5平方米。

　　[注]因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些：

　　2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。

　　中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。

这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！

　　（6）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。

在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。

问：

在无风的时候，他跑100米要用多少秒？

　　[分析]顺风跑时的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于它们的差。

这样便可以根据题目给出的条件计算无风时的速度，然后再求出解答。

　　[解法1]

　　顺风时速度=90÷10=9（米／秒），

　　逆风时速度=70÷10=7（米／秒），

　　无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）．

　　答：

无风时跑100米需要12.5秒。

　　[解法2]当然也可以列方程求解。

　　顺风跑的速度减去风速v，或是逆风跑时的速度加上风速v。

列出方程

　　解方程，得x=12.5（秒），v=8（米／秒）．

　　[注]比较两种解法，解法1直接快当，解法2表达清楚，但花时间多些。

所以在初赛时，列方程求解往往要慢些。

　　（7）一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：

矩形的面积是多少平方厘米？

　　[分析]考察黄、绿两个三角形，它们的底边都等于矩形的一边，它们的高相加恰好等于矩形的另一边，所以它们的面积之和等于矩形面积的一半。

　　[解法1]黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％-15％=35％。

已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％=60（平方厘米）

　　[解法2]用记号S黄、S绿和S分别表示黄色三角形、绿色三角形和矩形的面积，根据上面的分析知道

　　S黄＋S绿=S／2，

　　或S黄=S／2-S绿．

　　题目给出

　　答：

矩形面积是60平方厘米。

　　（8）有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线。

主动轮的半径是105厘米，从动轮的半径是90厘米。

开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上。

问：

主动轮至少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？

　　[分析]我们将两轮紧贴的点叫做接触点。

通过观察不难看出，当两轮各有一个标志线端点在接触点相遇时，两轮的标志线便会在同一直线上。

所以这道题是问：

在开始转动后，第一次出现有两个标志线端点同时到达接触点时，主动轮转了多少转？

　　[解法1]两个传动胶轮的转数与它们的半径成反比，所以

　　为了叙述方便，用n1和n2分别代表主动轮和从动轮标志线端点通过接触

　　点，所以

　　当主动轮标志线第6次通过接触点时，从动轮标志线端点恰好通过接触点7次，这时主动轮转了3转。

　　[解法2]主动轮标志线两端点间的圆弧长恰是半个圆周，即πR，从动轮标志线两端点间的圆弧长是πr，它们的比是

　　πR∶πr＝R∶r＝105∶90，

　　求两个标志线端点同时到达接触点的问题，可以化成求105和90的公倍数问题。

它们的公倍数是630，630÷105=6。

所以主动轮转了6个半圈，即转了3转。

　　答：

主动轮转了3转。

　　（9）小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分。

他想在下一次语文测验后，将五次的平均成绩提高到70分以上，那么，在下次测验中，他至少要得多少分？

　　[分析]对于这道题，只需知道总分=平均分×次数，便很容易做出来。

　　[解法1]要想五次测验平均成绩至少70分，那么五次总分至少是70×5=350分。

前四次总分是68×4=272分，所以第五次测验至少要得350-272＝78分。

　　[解法2]要从平均68分提高到至少70分，前四次测验总分少了（70-68）×4=8分。

所以第五次至少要得70+8=78分。

　　答：

第五次测验至少要得78分。

　　[注]比较两种解法，解法2当然要简便些。

在初赛和决赛口试时，时间很宝贵。

即使是简单的题目，也要用尽量快捷的方法，以便赢得哪怕是几秒钟的时间。

　　北京市一位小同学来信对这道题的叙述提出意见：

“将五次的平均成绩提高到70分以上”究竟是否包含70分？

这意见提得很好。

为了表达更明确，这句话应改为“将五次的平均成绩提高到最少70分。

”谨向那位小同学致谢。

　　（10）图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。

　　[分析]一看到题目，当然会先试试计算黑、白两种小三角形的个数，这是很容易做到的。

　　[解法]

　　[思考]用同样的图形，可以问不少有趣的计数问题。

例如：

设小三角形面积为1，那么在图中面积为4（或9，或16）的三角形有多少个？

你能想出简便的算法吗？

　　（11）下面的算式里，每个方框代表一个数字。

问：

这6个方框中的数字的总和是多少？

　　[分析]像这样类型的题目，一般都要先抓住式中的某些特点，确定其中的一、两个数字，再逐步推断其余的数，最后给出解答。

　　[解法1]每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18。

现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和。

这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。

这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面二位数相加进1。

　　同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。

因此，处于“个位”的两个数字之和必是11。

　　6个方框中数字之和为18＋18＋11=47。

　　[解法2]被加数不会大于999，所以加数不会小于1991-999=992。

同样，被加数不会小于992。

也就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数。

这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“个位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。

　　9×4+11=47。

　　答：

总和为47。

　　（12）在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？

　　[分析]适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字。

试将它们列出来：

　　十位数字个位数字

　　10

　　20，1

　　30，1，2

　　………

　　90，1，2，…，8

　　一找出规律，便很容易求出答案了。

　　[解法]适合要求的两位数共有

　　答：

这样的两位数共有45个。

　　（13）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50％酒精的溶液。

先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。

问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？

　　[分析]对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。

　　[解法]列出每一次变化时二杯中溶液总量和酒精含量的数值：

　　（14）射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径。

最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。

问：

10环的面积是1环面积的几分之几？

　　[分析]10环部分是一个圆，1环部分是一个圆环，面积都很容易计算。

虽然题目没有给出各圆的半径，但因为只问面积比，所以知道各圆半径的关系便足够了。

　　[解法]设10环小圆半径r=1，那么1环的外圆半径是10，内圆半径是9。

　　10环面积=πr2=π

　　1环面积=π×102-π×92=19π，

　　[思考]如果进一步去思考，这个箭靶中还会有不少数学问题哩！

例如设10环面积是1，那么很容易算出10，9，8，…，2，1环的面积依次是1，3，5，…，17，19，是一串很有规律的奇数，你能想出其中的道理吗？

　　华罗庚爷爷曾说过：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

”如果你敢于思考，善于思考，光是在体育竞赛项目中，你就会发现许许多多美妙的数学问题。

　　（15）王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上8天班后，就连续休息2天。

如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？

　　[分析]这个星期六和星期天休息，下次休息星期天可能有两种情况：

或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息。

我们要注意对这两种情况分别讨论。

　　[解法]在第一种情况，相当于每隔9天休息1天，问什么时候再休息星期天？

这是求7与10的最小公倍数问题。

它们的最小公倍数是70，而70÷7=10，所以要再过10周才会又在星期六和星期天休息。

　　在第二种情况下，假如再过n周后休息星期天和星期一，那么7n+1应是10的倍数，所以n只能是7，17，27，…，n至少是7。

　　综合两种情况，便能得到答案。

　　答：

至少再过7周。

　　[思考]将题目略为改动一下，变成：

“每上8天班连续休息3天，这个星期五、六、日休息。

”其它依旧。

问题便稍为复杂一些，你会解吗？