最全的圆锥曲线轨迹方程求法.docx
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最全的圆锥曲线轨迹方程求法
圆锥曲线轨迹方程的解法
一题多解2
一.直接法3
二•相关点法6
三•几何法10
四•参数法12
五•交轨法14
六.定义法16
亠题多解
设圆C:
的轨迹方程。
•直接法
设P（x,y）,OQ是圆C的一条弦，P是OQ的中点，贝UCP⊥0Q,x≠0设
OC中点为M（1,0）,则IMPI=IIOCI=1,得（X-1）2+y2=1（x≠0）即点P的
22224
轨迹方程是（X—1）2+y2=1（OVx≤
24
二•定义法
1
∙∙∙∠OPC=90o,A动点P在以M（-,0）为圆心，OC为直径的圆（除去原
2
点O）上，∣OC∣=1,故P点的轨迹方程为（X--）2+y2=-（Ovx≤1）
24
三•相关点法
设P（x,y）,Q（xι,yι）,其中xι≠0,
22
axι=2x,yι=2y,而（xι—1）+y=1
22
a（2x—1）+2y=1,又xι≠0,
1221
∙∙x≠0即（X—）+y=（0Vx≤1
24
四.参数法
①设动弦PQ的方程为y=kx,代入圆的方程（X-1）2+kx2=1,
222
即（1+k）X-2x=0,aX1X2—.
1+k2
设点P（x,y）,贝UX=XL匹冷（0,1],^kXky
21+k1+k
消去k得（X—1）2+『=1（0vx≤1
4
②另解设Q点（1+cosθ,sinθ）,其中cosθ≠-1,P（x,y）,
1+cos日Sin日1221
则X二-—（0,1],y=一,消去θ得（X-一）+y=-（0vx≤）
亠・直接法
课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标（χ,y）后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有X、
y的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1
等腰三角形的定点为A（4,2）,底边一个端点是B（3,5）,求另一个端点C的轨迹方程。
练习一
1.已知点A（-2,0）、B（3,0）,动点P（x,y）满足PAPB=X2。
求点P的轨迹
方程。
2.线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在X轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
3.动点P（X,y）到两定点A（-3,0）和B（3,0）的距离的比等于2（即：
^=2）。
IPBl
求动点P的轨迹方程?
4.动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？
*5.点P与一定点F（2,0）的距离和它到一定直线X=8的距离的比是1:
2。
求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
★7•已知P（4,0）是圆χ2y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足
∠APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。
8.过原点作直线I和抛物线y=χ2-4x•6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
1・相关点法
利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2
已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、Y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM:
MB=I:
2,求动点M的轨迹方程。
练习二
1.已知点P（x。
y在圆χ2y2=1上运动，求点M（2x,y°）的轨迹方程。
2
2.设P为双曲线—-y2=1上一动点，0为坐标原点，M为线段OP的中
4
点。
求点M的轨迹方程。
3.设F（1,0）,M点在X轴上，P点在y轴上，且MN=2MP,PM丄PF,
当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。
4.已知△ABC的顶点B（-3,8）,C（-1,-6）,顶点A在曲线y2=4x上运动,
求厶ABC重心G的轨迹方程。
T
5.已知A、B、D三点不在同一条直线上，且A（-2,0）、B（2,0）,AD=2,
—■1
AE（ABAD）,求E点的轨迹方程。
2
6厶ABC的三边AB、BC、CA的长成等比数列，且ABAAC,点B、C
坐标分别为（-1,0）、（1,0）,求定点A的轨迹方程。
7.已知点A（-2,0），P是圆O:
χ2∙y2=4上任意一点，P在X轴上的射影为Q，QP=2QG,动点G的轨迹为C，求轨迹C的方程。
22
8•已知椭圆—y1上任意一点P，由点P向X轴作垂线段PQ,垂足为Q，
49
点M在PQ上，且PM-2MQ,点M的轨迹为C，求曲线C的方程。
9.如图，从双曲线C:
x2-y2=1上一点Q引直线l:
x・y=2的垂线，垂足为
N,求线段QN的中点P的轨迹方程。
10.已知双曲线X2-y2=2的左、右焦点分别为FI、F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点。
（I）若动点M满足F1M=FIAF1BF1O（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（II）在X轴上是否存在定点C，使CACB为常数？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
3.几何法
求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法。
例题3
已知定点A（2,0）,点P在曲线χ2y2=1（X=I）上运动，∠AOP的平分线交于Q点，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。
练习三
AB
1.如图，在正方体ABCD-AIBiCiDi中，P是侧面BCi内一动点，若P到直
线BC与直线CiDi的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线
2.已知点C的坐标是（2,2）,过点C的直线CA与X轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B。
设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。
3•已知经过点P（4,0）的直线Ii,经过Q（-1,2）的直线为I2,若I」I2,求h与
I2交点S的轨迹方程。
4•求圆心在抛物线y2=2x（y■0）上，并且与抛物线的准线及X轴都相切的圆的方程。
5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（••.7,0）,直线y=X•1与其相交于
2
M、N两点，MN中点的横坐标为-兰，求此双曲线方程。
3
6.已知动点P到定点F（1,0）和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。
4.参数法
有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。
如果借助中间量（参数）,使（χ,y）之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。
例题4
过不在坐标轴上的定点M（a,b）的动直线交两坐标轴于点A、B，过A、B坐标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。
练习四
∣2
交
1•过点P（2,4）作两条互相垂直的直线II、y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
2.—个动圆的解析式为χ2y24bx-2by■6b2-4=O,求圆心的轨迹方程。
3.过圆O:
χ2+y2=4外一点A（4,0）,作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
4.点A（1,1），B、C是圆x2y2=4上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的
轨迹方程。
5.交轨法
求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标X、Y分别表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法。
例5
已知直线I过定点（0,3），且是曲线y2=4x的动弦P1P2的中垂线，求直线I与动弦P1P2交点M的轨迹方程。
练习五
1.求两条直线X-myT=0与mx∙y-1=0的交点的轨迹方程。
2.当参数m随意变化时，求抛物线y=X2∙2m1xm^1的顶点的轨迹方程。
22
3.设Ai、A2是椭圆—-y1的长轴两个端点，Pi、P2是垂直于A1A2的
94
弦的端点。
求直线AiPi与A2P2交点的轨迹方程。
22
4•已知双曲线爲一爲=1（m>0,n>0）的顶点为Ai、A?
与y轴平行的直线丨交双
mn
曲线于点P、Q。
求直线AiP与A2Q交点M的轨迹方程。
22
5•已知椭圆—-i,直线l:
—=i,P是L上一点，射线OP交椭圆于R,
24i6i28
有点Q在OP上，且满足OQlOP=OR2,当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
6.定义法
求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的
方法叫定义法。
常见已知曲线：
（1）圆：
到定点的距离等于定长
（2）椭圆：
至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（3）双曲线：
至俩定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
（4）抛物线：
到定点与定直线距离相等。
例题6
22
1.设圆Xy∙2x-15=0的圆心为A,直线丨过点B（1,0）且与X轴不重合，
l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程。
2•已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4,0），（4,0），C为动点，且
5满足SinBSinA=-sinC。
求点C的轨迹。
4
练习六
1.已知圆M:
（x∙1）2∙y2=1,圆N:
（x—1）2∙y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。
求C的方程。
2.动点P到直线X=6的距离与它到点（2，1）的距离之比为..5,则点P的
轨迹是什么？
3.点M到点F（4,0）的距离比它到直线X∙5=0的距离小1。
求点M的轨迹方程。
4.已知ABC中，∙A、∙B、∙C的对边分别为a、b、C,若a,c,b依次
构成等差数列，且acb,AB=,求顶点C的轨迹方程。
5.—动圆过点F（—3,0）且与已知圆（X—3）2∙y?
=4相切，求动圆圆心P的轨迹方程。
6.设向量i,j为直角坐标系的X轴、y轴正方向上的单位向量，若向量
a=（x+3）i+yj,b=（x-3）i+yj，且a-b=2，求满足上述条件的点P（X,y）
的轨迹方程。
7.已知圆X2y2=4上有定点A（2,0）和两动点B、C,且恒有∠BAC=—，
3
△ABC的重心的轨迹方程。
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