最全的圆锥曲线轨迹方程求法.docx

1、最全的圆锥曲线轨迹方程求法圆锥曲线轨迹方程的解法一题多解 2一.直接法 3二相关点法 6三几何法 10四参数法 12五交轨法 14六.定义法 16亠题多解设圆C:的轨迹方程。直接法设P (x,y) ,OQ是圆C的一条弦，P是OQ的中点，贝U CP0Q, x0设OC 中点为 M ( 1,0),则 IMPI=IIOCI=1 ,得(X- 1) 2+y2=1(x 0)即点 P 的2 2 2 2 4轨迹方程是(X 1 ) 2+y2= 1 (OVx2 4二定义法1 OPC=90o, A动点P在以M ( - ,0 )为圆心，OC为直径的圆(除去原2点O)上，OC=1 ,故P点的轨迹方程为(X- - ) 2+

2、y2= -(Ov x 1)2 4三相关点法设 P (x,y) ,Q(x,y),其中 x 0,2 2a x=2x,y=2y ,而(x 1) +y =12 2a (2x 1) +2y =1,又 x 0,1 2 2 1 x0即(X ) +y = (0Vx 12 4四.参数法设动弦PQ的方程为y=kx,代入圆的方程(X-1) 2+kx2=1,2 2 2即(1+k ) X - 2x=0, a X1 X2 .1 +k2设点 P (x,y),贝U X = XL 匹 冷 (0,1, kX ky2 1+k 1+k消去 k 得(X1) 2+=1 (0v x14另解 设 Q点(1+cos,sin),其中 cos-

3、1,P(x,y),1 + cos日 Sin 日 1 2 2 1则 X 二- (0,1, y =一 ,消去 得(X- 一 ) +y =- (0vx)亠直接法课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生 关系，这时，设曲线上动点坐标(, y)后，就可根据命题中的已知条件研究动点 形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有 X、y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。例题1等腰三角形的定点为A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的 轨迹方程。练习一1.已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA P

4、B =X2。求点P的轨迹方程。2.线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在X轴和y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程？3.动点P( X,y)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即：=2 )。IPBl求动点P的轨迹方程?4.动点P到一高为h的等边 ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到 顶点C的距离平方，求点P的轨迹？* 5.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线X = 8的距离的比是1:2。求 点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 7已知P(4,0)是圆2 y2 =36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足 APB=90 ,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。8.过原

5、点作直线I和抛物线y =2 -4x 6交于A、B两点，求线段AB的中 点M的轨迹方程。1相关点法利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的 关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。例题2已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、Y轴上滑动，点M在线段 AB上，且AM : MB=I : 2 ,求动点 M的轨迹方程。练习二1.已知点P(x。, y在圆2 y2 =1上运动，求点M (2x,y)的轨迹方程。22.设P为双曲线-y2 =1上一动点，0为坐标原点，M为线段OP的中4点。求点M的轨迹方程。3.设F (1,0) , M点在X轴上，P点在y轴上，且MN =

6、2MP , PM丄PF,当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。4.已知 ABC的顶点B(-3,8) , C(-1, -6),顶点A在曲线y2 = 4x上运动,求厶ABC重心G的轨迹方程。T5.已知A、B、D三点不在同一条直线上，且 A(-2,0)、B(2,0) , AD = 2 , 1AE (AB AD),求E点的轨迹方程。26厶ABC的三边AB、BC、CA的长成等比数列，且 ABAAC ,点B、C坐标分别为（-1,0）、（1,0）,求定点A的轨迹方程。7.已知点A（ - 2,0），P是圆O: 2y2=4上任意一点，P在X轴上的射影 为Q，QP =2QG ,动点G的轨迹为C，求轨迹C的方程。

7、2 28已知椭圆 y 1上任意一点P，由点P向X轴作垂线段PQ,垂足为Q，4 9点M在PQ上，且PM -2 MQ ,点M的轨迹为C，求曲线C的方程。9.如图，从双曲线C:x2-y2 =1上一点Q引直线l:xy = 2的垂线，垂足为N ,求线段QN的中点P的轨迹方程。10.已知双曲线X2-y2 =2的左、右焦点分别为FI、F2 ,过点F2的动直线与 双曲线相交于A、B两点。（I） 若动点M满足F1M =FIA F1B F1O （其中0为坐标原点），求点M的 轨迹方程；（II） 在X轴上是否存在定点C，使CA CB为常数？若存在，求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由。3.几何法求动点轨迹问题时，

8、动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知 识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的 等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程， 这种求轨迹方程的方程的方法称为几 何法。例题3已知定点A(2,0),点P在曲线2 y2 =1 (X=I)上运动， AOP的平分线 交于Q点，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。练习三A B1.如图，在正方体 ABCD-A IBiCiDi中，P是侧面BCi内一动点，若P到直线BC与直线CiDi的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线2.已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与X轴交于点A ,过点C 且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B

9、。设点M是线段AB的中点，求 点M的轨迹方程。3已知经过点P(4,0)的直线Ii ,经过Q (-1,2)的直线为I2 ,若II2 ,求h与I2交点S的轨迹方程。4求圆心在抛物线y2 =2x ( y 0)上，并且与抛物线的准线及X轴都相切 的圆的方程。5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(. 7,0),直线y = X 1与其相交于2M、N两点，MN中点的横坐标为-兰，求此双曲线方程。36.已知动点P到定点F (1, 0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨 迹方程。4.参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数), 使(,y)之间的关系建立起联系，然后再从所求

10、式子中消去参数，这便可得动点 的轨迹方程。例题4过不在坐标轴上的定点M(a,b)的动直线交两坐标轴于点 A、B，过A、B坐 标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。练习四2交1过点P(2, 4)作两条互相垂直的直线II、 y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。2.个动圆的解析式为2 y2 4bx-2by 6b2 - 4 =O ,求圆心的轨迹方程。3.过圆O: 2+y2=4外一点A (4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的 弦BC的中点M的轨迹。4.点A(1,1)，B、C是圆x2 y2=4上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的轨迹方程。5.交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参

11、数及动点坐标 X、Y分别 表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程， 这种方法称为交 轨法。例5已知直线I过定点（0,3），且是曲线y2 = 4x的动弦P1P2的中垂线，求直线I与 动弦P1P2交点M的轨迹方程。练习五1.求两条直线X -my T =0与mx y -1 = 0的交点的轨迹方程。2.当参数m随意变化时，求抛物线y = X2 2m 1 x m 1的顶点的轨迹 方程。2 23.设Ai、A2是椭圆-y 1的长轴两个端点，Pi、P2是垂直于A1A2的9 4弦的端点。求直线AiPi与A2P2交点的轨迹方程。2 24已知双曲线 爲一爲=1 (m 0, n 0)的顶点为Ai、A?

12、,与y轴平行的直线丨交双m n曲线于点P、Q。求直线AiP与A2Q交点M的轨迹方程。2 25已知椭圆 - i ,直线l: =i , P是L上一点，射线 OP交椭圆于R,24 i6 i2 8有点Q在OP上，且满足OQlOP=OR 2 ,当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说 明轨迹是什么曲线。6.定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、 抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程， 这种求轨迹方程的方法叫定义法。常见已知曲线：（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：至俩定点距离之差的绝对

13、值为常数（小于两定点的距离）（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等。例题62 21.设圆X y 2x-15 = 0的圆心为 A ,直线丨过点B（1,0）且与X轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明EA EB为定 值，并写出点E的轨迹方程。2已知 ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4,0），（4,0），C为动点，且5 满足Sin B Sin A = - sin C。求点C的轨迹。4练习六1.已知圆 M : (x 1)2 y2 =1 ,圆 N : (x1)2 y2 =9 ,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。求C的方程。2.动点P到直线X

14、=6的距离与它到点(2，1)的距离之比为.5,则点P的轨迹是什么？3.点M到点F (4, 0)的距离比它到直线X 5=0的距离小1。求点M的轨 迹方程。4.已知 ABC中， A、 B、 C的对边分别为a、b、C ,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b , AB=,求顶点C的轨迹方程。5.动圆过点F (3,0)且与已知圆(X3)2 y? =4相切，求动圆圆心P的轨 迹方程。6.设向量i, j为直角坐标系的X轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a =(x +3) i +y j , b =(x-3) i+yj，且 a-b=2，求满足上述条件的点 P(X , y)的轨迹方程。7.已知圆X2 y2 =4上有定点A (2 , 0)和两动点 B、C,且恒有 BAC=，3 ABC的重心的轨迹方程。