高考全国1卷理科数学试题与答案解析精校解析版.docx
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高考全国1卷理科数学试题与答案解析精校解析版
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
理科数学
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置•用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑•
2、选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效
3、填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•
4、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
第I卷
一.选择题：
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的•
1.设集合
A
x
2x
4x3
0,x
2x
30
则AIB
（A）
3,
3
（B）
3?
（C）
（D）
3,3
2
2
2
2
2.设（1
i）x
1
yi
，其中
x,y是实数
，则
xyi
（A）1
（B）
（C）
（D）2
3.已知等差数列an前9项的和为27,aio8，则3100
（A）100（B）99（C）98（D）97
4.某公司的班车在7:
00,8:
00,8:
30发车，小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到
达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
1
（A）3
（B）2（C）I（D）4
5.已知方程
2
y
c2
3mn
1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4,则n的取值范围
（A）1,3（B）1,、、3（C）0,3（D）0^.3
6.
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是2^,则它的表面积是
3
（A17（B）18（C）20（D）28
7.函数y2x2在2,2的图像大致为
（A）acbc
（B）abcbac
（C）alogbCblogac
（DlogaclogbC
9.执行右面的程序框图
如果输入的x0,y1，n1,则输出
（A）y2x（B）
y3x（C）y4x（D）y5x
10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线
于DE两点.已知|AE|=4DE|=2.,5,则C的焦点到准线的距
离为
（A）2（B）4（C）6
（D）8
11.平面
过正方体
ABCDABCD的顶点A,
//平面CBD,
I平面
ABC=m
I平面ABBA=n,则m
n所成角的正弦值为
（2
2
（B）
12.已知函数f（x）sin（x+）（0,
2）,x—为f（x）的零点，x4为yf（x）图
的最大值为
5
像的对称轴，且f（x）在，二单调,
1836
（A）11
（B）9
（C）7
（D）5
则nr
二、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
222
13.设向量a=（m1）,b=（1,2），且|a+b|=|a|+|b|,
14.（2x.x）5的展开式中，x3的系数是
（用数字填写答案）
…an的最大值为
（I）求C;
15.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,贝Vaa^
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,
乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时.生产
一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材
元.
料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不
足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:
台机器三年内共需更换的易损零件数，门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数•
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（Xn）0.5,确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪
个？
20.（本小题满分12分）设圆x2y22x150的圆心为A直线I过点B（1，0）且与x轴不重合，I交圆A于CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E
（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C,直线I交C于MN两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPN（面积的取值范围.
2
21.（本小题满分12分）已知函数fxx2exax1有两个零点.
（I）求a的取值范围；（II）设X1,X2是fx的两个零点，证明：
x1x22.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
1
如图，△OAB是等腰三角形，/AOB120。
.以0为圆心，一0A为半径作圆
2
（I）证明：
直线AB与O0相切；
（II）点C,D在OO上，且AB,C,D四点共圆，证明：
AB//CD
23.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
xacost
在直角坐标系xy中，曲线C的参数方程为
y1asint
（t为参数，a>0）.
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C2:
p=4cos.
（I）说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；
（II）直线G的极坐标方程为°,其中°满足tano=2,若曲线C与O的公共点都在G上,
求a.
24.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲已知函数fxx12x3.
（I）画出yfx的图像；
（II）求不等式fx1的解集.
2016年高考全国1卷理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
B
A
A
D
C
C
B
A
B
故AI
B
x
3
-x
3.
2
故选
D.
2.由1i
x1
yi可知：
x
xi1
yi,
故
x1，解得：
x
1
xy
y
1
所以,
x
yi
Jx2
2
y
运.
故选
B.
3.由等差数列性质可知：
S9
9a1
a
9
2a5
9a527,
故
a53,
22
而aio8，因此公差d刖1
…a1ooa1090d98.
故选C.
4.如图所示，画出时间轴:
8:
30
7:
307:
407:
508:
008:
108:
20
小明到达的时间会随机的落在图中线段
ACDB
AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才
能保证他等车的时间不超过10分钟
故选B.
2
3mn0
22
5.-1y一1表示双曲线，则
mn3mn
22
mn3m
故选A.
故选A.
2
82.71，排除B
故选D.
和alna
故选C.
9.如下表:
循环节运
行次数
n1
XXX
2
yyny
判断
22“
xy-6
是否
输出
nnn1
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
1
2
2
否
否
-
第三次
-
2
6
是
是
3
输出x-,y6，满足y4x
2
故选C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口冋理
设抛物线为y22pxp0，设圆的方程为x2y2r2,山厂一
题目条件翻译如图：
M
设AX0,2庞,DJ5,\
2px上，
•••8
2px0-
••…①
r2上,•
•5
2
p
2
r
•②
2
r2上，•
2
Xo
8r2-
••…③
点Ax°,2,2在抛物线y2
点D2,5在圆x2y2
2
点Axo,272在圆xy
12.
联立①②③解得：
p4，焦点到准线的距离为p
故选B.
如图所示：
•••//平面CB1D1,•••若设平面CBDiI平面ABCD
则mJ/m
又•.•平面ABCD//平面AjBiGDt，结合平面B1D1CI平面A|B1C1D1B（D1
•B1D1/m|，故B1D1/m
同理可得：
CD1/n
故m、n的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.
而BQB1D1CD1（均为面对交线），因此CDB,，即sinCD1B13
3
故选A.
由题意知：
n+
k2nn
4
2
则2k
1,
其中kZ
Qf（x）在
冗
55单调，
5
nT
12
18
36
36
18122
接下来用排除法
若11,n,此时f（x）sin11xn,f（x）在-，^5递增，在亠,55递减，不满
4418444436
足f（x）在-n,5n单调
1836
若
9,
n，此时
f（x）
sin
-n
9x-
，满足f（x）在—,5n
单调递减
4
4
1836
故选B.
13.-2
14.10
15
64
16
.216000
rr
13.由已知得：
ab
m
1,3
rr
2
•2r
2
ab
a
at
m
2
1
o22
3m
121222，解得m
2.
14.设展开式的第k1项为Tk1，k0,1,2,3,4,5
kk
•••TkiCk2x5kC：
25kx52.
当5k3时，2
故答案为10.
15.由于an是等比
a1a310
a2a45
n4
故an2，
...an
49
"4
所以aia2...an的最大值为64.
16.设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线
性规则约束为
町行域为:
l.Sx+0.5/<150
x十0.3j?
W905x+卯
*x^O
目标函数z2100x900y
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为（60,100）（0,200）（0,0）（90,0）
在（60,100）处取得最大值，z210060900100216000
⑴2cosCacosB
bcosA
c
由正弦定理得：
2cosCsinA
cosBsinB
2cosCsinA
B!
sinC
•/ABC
n,A
、B
、C
0,n
•.sinAB
sinC
0
•2cosC1,
cosC
1
•/C0,n
2
C
n
3
由余弦定理得：
2c
2a
b2
2abcosC
221
7ab2ab-
2
2
ab3ab
7
c1
3.a
33
SabsinC
ib
2
4
2
•ab6
2
•-ab18
7
17.解:
5
⑵
ab
cosAsinC
•••△ABC周长为abc5
18•解：
（1）•/ABEF为正方形
•/AFD90
二AFEF
•••AFDF
TDFIEF=F
•AF面EFDC
AF面ABEF
•平面ABEF平面EFDC
⑵由⑴知
DFECEF60
TABIIEF
AB平面EFDC
EF平面EFDC
•ABII平面ABCD
AB平面ABCD
t面ABCDI面EFDCCD
•ABIICD
•CDIIEF
•四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点，如图建立坐标系，设
FDa
B0，2a，0
A2a，2a，0
ujuuuu
EB0，2a，0，BC
2a，
——a
2
uuu
AB
2a，0，0
设面BEC法向量为mx,y,z
LTUUU
2ay1
0
m
EB
0加
3
a乙
2
LT
UUIL
，即
a
2ay1
0
m
BC
0
2
2
m
3
，0，1
设面ABC法向量为nx2,y2,z,
rUULTnBC=0ruuunAB0
设二面角EBCA的大小为
二面角EBCA的余弦值为219
19
19解：
⑴每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11
记事件A为第一
台机器
3年内换掉i
7个零件
i123,4
记事件Bj为第二台机器
3年内换掉i
7个零件
i1,2,3,4
由题知PA
PA
PA4PBi
PB3
PB40.2,PA2PB20.4
设2-
台机器
:
共需更换的易损
.零件数白
1勺随机变量为
X,
则X
的可能的取值为
16,
17,
18,
19,20,2
1,22
PX
16
P
A1
P
B1
0.：
2C
1.2
0.04
PX
17
P
A1
P
B2
P
A
P
B1
0.2
!
0.4
0.4
0.2
0.16
PX
18
P
A1
P
B3
P
A2
P
B2
P
AP
B1
0.2
0.20.2
0.2
0.4
0.4
0.24
PX
19
P
A1
P
B4
P
A
P
B3
P
AP
B2
PA
k4PB1
0.2
0.2
0.2
0.20.40.2
0.2
0.4
0.2
4
PX
20
P
A2
P
B4
P
A
P
B3
P
A4P
B2
0.4
0.20.2
0.4
0.2
0.2
0.2
Px
21
P
A
P
B4
P
A4
P
B31
0.2
0.2
0.2
0.2
0.08
Px
22
P
A
P
B4
0.20
.2
0.04
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
⑵要令Px0.5,Q0.040.160.240.5,0.040.160.240.24>0.5
则n的最小值为19
⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当n19时，费用的期望为
192005000.210000.0815000.044040
当n20时，费用的期望为202005000.0810000.044080
所以应选用n19
圆心A到PQ距离dIm1；211律
（i）设a0,则f（x）（x2）ex,f（x）只有一个零点.
1）
（ii）设a0,则当x（,1）时，f'（x）0;当x（1,）时，f'（x）0•所以f（x）在（
上单调递减，在（1,）上单调递增.
又f
（1）e,f
（2）a，取b满足b0且blna，贝y
2
a223
f（b）^（b2）a（b1）2a（b2尹）0,
故f（x）存在两个零点.
（iii）设a0,由f'（x）0得x1或xln（2a）.
e
若a，则ln（2a）1，故当x（1,）时，f'（x）0，因此f（x）在（1,）上单调递增.
若ae，则ln（2a）1，故当x（1,ln（2a））时，f'（x）0；当x（ln（2a）,）时,
f'（x）0•因此f（x）在（1,ln（2a））单调递减，在（In（2a）,）单调递增•又当x1时,f（x）0，所以f（x）不存在两个零点.
综上，a的取值范围为（0,）•
（）不妨设X1
X2，由（I）知X1（,1）,X2
（1,
）,2
X2
（,1）,
f（x）在（,1）上
单调递减，
所以
X-Ix2
2等价于f（xjf（2X2）,
即f（2
X2）
0.
由于f（2
X2）
2
x2e
X2a（x21）2，而f（X2）
（X2
2）eX2
a（x2
1）20,
所以
f（2X2）
2x9
x2e
（X22）eX2.
设g（x）
2xe
X
（X
2）ex，则g（x）（x1）（e2
X
ex）.
所以当x
1时,
g（X）
0,而g
（1）0,故当x
1时，g（x）
0.
从而g（x2）f（2x2）0,故x-ix22.
22.⑴设圆的半径为r，作OKAB于K
•/OAOB,AOB120
二OKAB,A30,OKOAsin30
•••AB与OO相切
⑵方法一：
假设CD与AB不平行
CD与AB交于F
2
FKFCFD①
•••A、B、C、D四点共圆•••FCFDFAFBFKAKFKBK
•••AKBK
23.⑴
24.⑴
FCFDFKAKFKAKFK2AK2②由①②可知矛盾
二ABIICD
方法二:
因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为线上，同理OC
T，因为OA
OD,TCTD,所以OT为CD的中垂线,
OB,TATB,所以O,T为AB的中垂
所以
AB//CD.
xacosty1
asint
（t均为参数）
a2①
二Ci为以
为圆心，a为半径的圆•方程为x2
2
y2y
1a20
sin
2sin1
a20
即为Ci的极坐标方程
C2:
4cos
两边同乘得
C3:
cos
2
y,cos
y24x
化为普通方程为
2x
由题意：
Ci和C2的公共方程所在直线即为
①一②得：
4x
•••1a20
如图所示：
3x
2y1
C3
解得
0,即为C3
1，解得x1或x
..1“3
••1x或1x-
32
3
当x>,4x1，解得x5或x3
2
3
•—Wx3或x5
2
1
综上，x-或1x3或x5
3
1
•-fx1，解集为，—U1,3U5,
3
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