学期复习课.docx
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学期复习课
x3=0
x4=0
复习课
一、
6
5
4
3
2
1
x2
G
B
F
E
J
x1
D
C
A
对于以下线性规划问题
min
z=
-x1
+2x2
2x1
+3x2
≤12
（1）
I
3x1
+x2
≤6
（2）
x5=0
H
-x1
+3x2
≥3
（3）
x1
x2
≥0
x1=0
x2=0
三个约束对应的松弛变量分别为x3，x4，x5；三个约束条件对应的对偶变量分别为w1，w2，w3。
-3-2-10123456
这个问题可行域为（EFHI）；
这个问题最优解为（F）；
这个问题基础解为（ABCDEFGHIJ）；
这个问题基础可行解为（EFHI）；
G点对应的解中，大于0的变量为（x1,x2），等于0的变量为（x3,x5），小于0的变量为（x4）；
E点对应的基变量为（x2,x3,x4），非基变量为（x1,x5）；
D点对应的基变量为（x1,x3,x4），非基变量为（x2,x5）；
从E到F的单纯形叠代，进基变量为（x1），离基变量为（x4）；
F点对应的对偶变量，大于0的是（w3），等于0的是（w1,w4,w5），小于0的是（w2）。
二、对于以上线性规划问题
（1）写出以上问题的对偶问题；
（2）用单纯形表求出这个问题和它的对偶问题的最优解。
原料消耗
（吨/件）
产品A
产品B
产品C
原料限量
（吨）
原料甲
12
8
10
2400
原料乙
6
10
15
1500
原料丙
15
18
—
1800
原料丁
—
20
22
2000
产品利润
（万元/件）
120
180
210
三、一个工厂用四种原料生产三种产品，生产每种产品要消耗的各种原料数量（表中“—”表示相应的产品不需要这种原料）、各种产品的利润以及各种原料的限量如右表所示。
1、写出原料限制条件下利润最大化的线性规划模型；
2、写出以上问题的对偶问题；
3、已知利润最大的线性规划问题的最优解是产品A生产120件，产品B不生产，产品C生产52件，用互补松弛关系求四种原料的影子价格（写出单位）；
4、分别计算三种产品的机会成本（写出单位）；
四、对于以下运输问题
运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4
供应量（吨）
A1
9
12
10
8
240
A2
14
7
6
11
80
A3
5
13
15
20
180
需求量（吨）
90
120
130
160
（1）建立该问题的运输规划数学模型；
（2）求总运费最小的运输方案。
五、最短路径问题
4
3
7
1
1
5
6
2
8
7
6
5
8
9
1
8
4
3
6
4
2
7
9
4
3
2
12
11
10
六、求以下网络的最大流和最小割集
uij
七、网络计划——已知下表所列资料
工序
紧前工序
工序时间（周）
工序
紧前工序
工序时间（周）
工序
紧前工序
工序时间（周）
A
B
C
D
—
—
A
L
3
4
4
3
E
F
G
H
B
H
C，B
G，M
4
5
2
2
I
K
L
M
H，L
F，I，E
B，C
B
2
6
7
6
要求：
（1）绘制网络图；
（2）计算各工序的最早开工、最早完工、最迟开工、最迟完工时间及总时差，并指出关键工序。
（3）若要求工程完工时间缩短2天，缩短哪些工序时间为宜。
八、动态规划——资源分配问题
有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A、B、C的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
效益（万吨）
项目
A
B
C
投入
资金
（万元）
1
25万吨
18万吨
13万吨
2
32万吨
33万吨
32万吨
3
38万吨
45万吨
48万吨
4
43万元
54万元
62万元
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
九、动态规划——背包问题
有5万元资金,用于购买3种设备,每种设备的单台价格和单台生产能力见下表：
设备
A
B
C
价格pk（万元/台）
2
1
3
生产能力qk（万吨/台）
23
11
31
三种设备应各购买多少台，使总的生产能力最大？
解答
二、
min
z=
-x1
+2x2
2x1
+3x2
≤12
3x1
+x2
≤6
-x1
+3x2
≥3
x1
x2
≥0
引进松弛变量
min
z=
-x1
+2x2
2x1
+3x2
+x3
=12
3x1
+x2
+x4
=6
-x1
+3x2
-x5
=3
x1
x2
x3
x4
x5
≥0
第三个约束两边乘以-1
min
z=
-x1
+2x2
2x1
+3x2
+x3
=12
3x1
+x2
+x4
=6
x1
-3x2
+x5
=-3
x1
x2
x3
x4
x5
≥0
列出单纯形表
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
1
-2
0
0
0
0
x3
0
2
3
1
0
0
12
x4
0
3
1
0
1
0
6
x5
0
1
[-3]
0
0
1
-3
先解决原始可行性，用对偶单纯形法，x5离基，x2进基
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
1/3
0
0
0
-2/3
2
x3
0
3
0
1
0
1
9
9/3
x4
0
[10/3]
0
0
1
1/3
5
15/10
x2
0
-1/3
1
0
0
-1/3
1
—
再解决对偶可行性，用单纯形法，x1进基，x4离基
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
1/3
0
0
0
-2/3
2
x3
0
3
0
1
0
1
9
x4
0
[1/3]
0
0
1/10
1/30
1/2
x2
0
-1/3
1
0
0
-1/3
1
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
0
0
0
-1/10
-7/10
3/2
x3
0
0
0
1
-9/10
7/10
9/2
x4
0
1/3
0
0
1/10
1/30
1/2
x2
0
0
1
0
1/10
-3/10
3/2
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
0
0
0
-1/10
-7/10
3/2
x3
0
0
0
1
-9/10
7/10
9/2
x1
0
1
0
0
3/10
1/10
3/2
x2
0
0
1
0
1/10
-3/10
3/2
得到最优解：
（x1，x2，x3，x4，x5）=（3/2，3/2，9/2，0，0），minz=3/2
对偶问题的最优解为（w1，w2，w3，w4，w5）=（0，-1/10，7/10，0，0），maxy=3/2
三、1、
max
z=
120x1
+180x2
+210x3
s.t.
12x1
+8x2
+10x3
≤2400
6x1
+10x2
+15x3
≤1500
15x1
+18x2
≤1800
20x2
+22x3
≤2000
x1≥0
x2≥0
x3≥0
2、对偶问题为
min
y=
2400w1
+1500w2
+1800w3
+2000w4
s.t.
12w1
+6w2
+15w3
≥120
8w1
+10w2
+18w3
+20w4
≥180
10w1
+15w2
+22w4
≥210
w1
w2
w3
w4
≥0
3、
max
z=
120x1
+180x2
+210x3
s.t.
12x1
+8x2
+10x3
+x4
=2400
6x1
+10x2
+15x3
+x5
=1500
15x1
+18x2
+x6
=1800
20x2
+22x3
+x7
=2000
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
≥0
x4=2400-（12x1+8x2+10x3）=2400-（1440+0+520）=2400-1960=440
x5=1500-（6x1+10x2+15x3）=1500-（720+0+780）=1500-1500=0
x6=1800-（15x1+18x2）=1800-（1800+0）=1800-1800=0
x7=2000-（20x2+22x3）=2000-（0+1144）=856
min
y=
2400w1
+1500w2
+1800w3
+2000w4
s.t.
12w1
+6w2
+15w3
-w5
=120
8w1
+10w2
+18w3
+20w4
-w6
=180
10w1
+15w2
+22w4
-w7
=210
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
≥0
x1w5=0，x2w6=0，x3w7=0，x4w1=0，x5w2=0，x6w3=0，x7w4=0
由x1，x3，x4，x7>0，得到w5=w7=w1=w4=0
6w2
+15w3
=120
10w2
+18w3
-w6
=180
15w2
=210
解得w2=14，w3=2.4，w6=3.2
原料甲的影子价格为：
0万元/吨；
原料乙的影子价格为：
14万元/吨；
原料丙的影子价格为：
2.4万元/吨；
原料丁的影子价格为：
0万元/吨；
4、产品A的机会成本为：
12w1+6w2+15w3=120+614+152.4=120（万元/件）
产品B的机会成本为：
8w1+10w2+18w3+20w4=80+1014+182.4+200=183.2（万元/件）
产品B的机会成本为：
10w1+15w2+22w4=100+1514+220=210（万元/件）
四、用最小元素法得到初始基础可行解
B1
B2
B3
B4
A1
9
12
10
8
240
[-5]
30
50
160
A2
14
7
6
11
80
[-14]
[+1]
80
[-7]
A3
5
13
15
20
180
90
90
[-4]
[-11]
90
120
130
160
x22进基，x12离基
B1
B2
B3
B4
A1
9
12
10
8
240
[-6]
[-1]
80
160
A2
14
7
6
11
80
[-15]
30
50
[-7]
A3
5
13
15
20
180
90
90
[-3]
[-10]
90
120
130
160
最优解。
最优解为：
x11=0，x12=0，x13=80，x14=160
x21=0，x22=30，x23=50，x24=0
x31=90，x32=90，x33=0，x34=0。
minz=4216
五、求以下网络从1到8的最短路径
w12=0
w11=0
w10=0
w9=0
w8=0
w7=0
w6=0
w5=0
w4=0
w3=0
w2=0
w1=0
4
2
7
3
6
8
4
1
5
2
6
7
4
3
1
4
3
2
9
12
11
10
5
8
7
X={1}
9
1
8
6
min（0+3,0+6）=3,w2=3X={1,2}
w4=0
w3=0
w2=3
w1=0
7
4
3
1
4
3
2
1
5
2
6
w8=0
w7=0
w6=0
w5=0
5
8
7
6
8
9
1
3
6
8
4
w12=0
w11=0
w10=0
w9=0
4
2
7
9
12
11
10
min（0+6,3+4,3+2）=5,w6=5X={1,2,6}
8
1
5
2
6
min（0+6,3+4,5+9）=6,w5=6X={1,2,5,6}
8
min（6+4,3+4,5+9）=7w3=7,X={1,2,3,5,6}
w4=0
min（6+4,7+7,5+9）=10,w9=10,X={1,2,3,5,6,9}
8
min（7+7,5+9,10+7）=14w4=14,X={1,2,3,4,5,6,9}
8
min（14+1,5+9,10+7）=14,w7=14X={1,2,3,4,5,6,7,9}
8
min（14+1,14+8,14+6,10+7）=15,w8=15,X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
w4=14
min（10+7,14+6,15+3）=17,w10=17,X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
8
min（17+2,14+6,15+3）=18,w12=18,X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12}
8
min（14+6,17+2）=19,w11=19,X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
8
获得最优解。
从1到12的最短路径长度为12，路径为1-2-3-4-8-12。
从1到其他各点的最短路径如图所示。
六、
流量xij间隙ij和不饱和链
———————————————————————————————————————————
ij
uij
不饱和链（1,2,5,8），间隙为min（7,6,10）=6
不饱和链（1,3,6,8），间隙为min（9,6,4）=4
不饱和链（1,4,7,8），间隙为min（4,8,5）=4
4
x=4
不饱和链（1,3,6,5,8），间隙为min（5,2,3,4）=2
4
2
x=2
6
6
4
已不存在从1到8的不饱和链，得到最大流
6
x=2
最大流为f=16
X={1，2，3}，
={4，5，6，7，8}
最小割集（X，
）={（1，4），（2，5），（3，6）}
最小割集的容量为：
u14+u25+u36=6+6+4=16
八、动态规划——资源分配问题
有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A、B、C的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
效益（万吨）
项目
A
B
C
投入
资金
（万元）
1
25万吨
18万吨
13万吨
2
32万吨
33万吨
32万吨
3
38万吨
45万吨
48万吨
4
43万元
54万元
62万元
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
这是一个资源分配问题。
阶段k：
每投资一个项目作为一个阶段；
状态变量xk：
投资第k个项目前的资金数；
决策变量dk：
第k个项目的投资；
决策允许集合：
0≤dk≤xk
状态转移方程：
xk+1=xk-dk
阶段指标：
vk（xk,dk）见表中所示；
递推方程：
fk（xk）=max{vk（xk,dk）+fk+1（xk+1）}
终端条件：
f4（x4）=0
k=4，f4（x4）=0
k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3
x3
D3（x3）
x4
v3（x3,d3）
v3（x3,d3）+f4（x4）
f3（x3）
d3*
0
0
0
0
0+0=0
0
0
1
0
1
0
0+0=0
13
1
1
0
13
13+0=13*
2
0
2
0
0+0=0
32
2
1
1
13
11+0=11
2
0
32
32+0=32*
3
0
3
0
0+0=0
48
3
1
2
13
13+0=13
2
1
32
32+0=32
3
0
48
48+0=48*
4
0
4
0
0+0=0
62
4
1
3
13
13+0=13
2
2
32
32+0=32
3
1
48
48+0=48
4
0
62
62+0=62*
k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2
x2
D2（x2）
x3
v2（x2,d2）
v2（x2,d2）+f3（x3）
f2（x2）
d2*
0
0
0
0
0+0=0
0
0
1
0
1
0
0+13=13
18
1
1
0
18
18+0=18*
2
0
2
0
0+32=32*
32
0或1
1
1
18
18+13=32*
2
0
33
33+0=29
3
0
3
0
0+48=48
50
1
1
2
18
18+32=50*
2
1
33
33+13=46
3
0
45
45+0=45
4
0
4
0
0+62=62
65
2
1
3
18
18+48=56
2
2
33
33+32=65*
3
1
45
45+13=58
4
0
54
54+0=54
k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1
x1
D1（x1）
x2
v1（x1,d1）
v1（x1,d1）+f2（x2）
f1（x1）
d1*
4
0
4
0
0+65=65
75
1
1
3
25
25+50=75*
2
2
32
32+32=64
3
1
38
38+18=56
4
0
43
43+0=43
最优解为x1=4,d1*=1,x2=x1-d1=3,d2*=1,x3=x2-d2*=2,d3*=2,x4=x3-d3*=0，即项目A投资1万元，项目B投资1万元，项目C投资2万元，最大效益为75万吨。
九、动态规划——背包问题
有5万元资金,用于购买3种设备,每种设备的单台价格和单台生产能力见下表：
设备
A
B
C
价格pk（万元/台）
2
1
3
生产能力qk（万吨/台）
23
11
31
三种设备应各购买多少台，使总的生产能力最大？
这是一个背包问题。
阶段k：
每购买一种设备作为一个阶段，k=1,2,3,4；
状态变量xk：
购买第k种设备以前的资金（万元）；
决策变量dk：
购买第k种设备的台数（台）；
决策允许集合Dk（xk）：
0≤dk≤xk/pk，dk为整数
状态转移方程：
xk+1=xk-pkdk
阶段指标：
vk（xk,dk）=qkdk
递推方程：
fk（xk）=max{qkdk+fk+1（xk+1）}
终端条件：
f4（x4）=0
k=4，f4（x4）=0
k=3，f3（x3）=max{31d3+f4（x4）}，0≤d3≤x3/3，x4=x3-3d3
x3
D3（x3）
x4
31d3
31d3+f4（x4）
f3（x3）
d3*
0
0
0
0
0+0=0
0
0
1
0
1
0
0+0=0
0
0
2
0
2
0
0+0=0
0
0
3
0
3
0
0+0=0
31
1
1
0
31
31+0=31
4
0
4
0
0+0=0
31
1
1
1
31
31+0=31
5
0
5
0
0+0=0
31
1
1
2
31
31+0=31
k=2，f2（x2）=max{11d2+f3（x3）}，0≤d2≤x2/1，x3=x2-1d2
x2
D2（x2）
x3
11d2
11d2+f3（x3）
f2（x2）
d2*
0
0
0
0
0+0=0
0
0
1
0
1
0
0+0=0
11
1
1
0
11
11+0=11*
2
0
2
0
0+0=0
22
2
1
1
11
11+0=11
2
0
22
22+0=22*
3
0
3
0
0+31=31
33
3
1
2
11
11+0=11
2
1
22
22+0=22
3
0
33
33+0=33*
4
0
4
0
0+31=31
44
4
1
3
11
11+31=42
2
2
22
22+0=22
3
1
33
33+0=33
4
0
44
44+0=44*
5
0
5
0
0+31=31
55
5
1
4
11
11+31=42
2
3
22
22+31=53
3
2
33
33+0=33
4
1
44
44+0=44
5
0
55
55+0=55*
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