七年级数学二元一次方程组.docx

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七年级数学二元一次方程组

4.1二元一次方程

4.2二元一次方程组

4.3解二元一次方程组（第一课时）

4.3解二元一次方程组（第二课时）

4.4二元一次方程组的应用（第一课时）

4.4二元一次方程组的应用（第二课时）

4.1　二元一次方程

【教学目标】

知识目标：

1、通过观察，归纳二元一次方程的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

2、二元一次方程解的不定性和相关性，即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。

过程与方法：

通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。

情感态度与价值观：

通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。

【教学重点、难点】

重点：

二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。

难点：

把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。

【教学过程】

一、复习引入：

（1）方程的概念；一元一次方程的概念；什么是方程的解？

一元一次方程的解如何表示？

（2）合作学习：

①小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。

小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？

这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？

如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？

②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，你能列出方程吗？

二、新课教学

这就是我们今天要学习的4、1二元一次方程（板书课题）

（1）观察上述两个方程，归纳特点

（2）讨论选择正确概念

1含有两个未知数的方程叫二元一次方程。

2含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫二元一次方程。

（3）做一做P86——1，2

（4）例：

已知方程3x+2y=10

1用关于x的代数式表示y（分析：

只要把方程3x+2y=10看作未知数是y的一元一次方程，解关于y的方程）

2求当x=-2，0，3时，对应的y的值

（提问：

把x=-2，y=8代入方程3x+2y=10，能否使其左右两边相等？

回忆方程解的概念，得出x=-2，y=8是二元一次方程3x+2y=10的一个解，记作

。

同理试写出该方程的两个解（注意写法格式）

思考：

方程3x+2y=10的解有多少个？

师归纳：

二元一次方程解具不定性和相关性

（5）练习：

P88——课内练习1，2

（6）补充练习：

P89---作业题4（说明：

方程的解须是正整数）

已知

，是方程2x+3y=5的一个解，那么由此可知道些什么？

（说明：

1．本例是根据教科书P89---B组第5题改编。

原题要求a的值，但学

生常常有困难，因此这里把原题改为开放式命题，看起来似乎比原

题要求高了，其实有利于各类学生参与并寻求结论。

三、课堂小结：

二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）

二元一次方程解的不定性和相关性

会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式

四、作业：

课堂作业本

4.2二元一次方程组

【教学目标】

1了解二元一次方程组的概念。

2理解二元一次方程组的解的概念。

3会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解。

【教学重点难点】

重点：

归纳二元一次方程组及其解的概念。

难点：

本节范例的问题情境比较复杂、并用列表的方法求出方程组的解。

【教学过程】

一复习前课教学中的有关存在问题

二引入课前预习：

1在方程2x+3y=5中，如果x=y,则x=_____,y=_________.

2如果x=2a,y=3a.则2x+3y=__________.

3设第一个数是第二个数的2倍，第一个数与第二个数的2倍之和为20，求这个数？

（设第一个数为x，第二个数为y，则有

，所以

）

三利用投影：

一个苹果和一个梨的质量合计200克（如图4—1）这个苹果的质量加上一个10克砝码恰好与这个梨的质量相等（如图4－2）问苹果和梨的质量各为多少克？

☆教师评语：

在这个问题中如果设苹果和梨的质量分别为x克和y克，同学们能列出几个方程，请同学们把它们写出来（x+y=200y=x+10）

☆教师然后解释：

方程x+y=200和方程y=x+10中，x，y都分别表示同一个未知数，也就是说，X，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把这两个方程合起来，写成

☆教师归纳：

像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。

△课堂练习P90练习1

（1）

（2）（3）让学生填表格，然后教师将表中答案说明

2分四个小组将①②③④个二元一次方程组的结果填入相应的位置

☆教师归纳：

同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解。

例如

就是这个二元一次方程组

的解。

例：

小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：

A型每卷36张底片，B型每卷12张底片。

小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片，如果两种胶卷分别买x卷和y卷，请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组，并且列表尝试的方法求两种胶卷的数量。

分析：

（1）审题，该问题情境涉及哪些量？

哪些是已知的，哪些是未知的？

所求的是哪两个量？

问题情境中两种胶卷及底片的总数有什么要求？

（2）分析数量关系，该问题情境主要数量关系有：

每卷胶卷底片的张数×胶卷数＝底片总张数：

A,B两种胶卷的总卷数＝4

A,B两种胶卷的底片总张数＝120

（3）建立数学模型，选择二元一次，则有

△课堂练习P91第1，第2题分组合作讨论完成。

△探究活动：

略

四归纳小结，反思提高

1通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。

（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流，总结本节课的所作所听所感，让知识系统化、合理化。

）

2进一步让学生理解二元一次方程组（解）的概念。

3让学生体验对于含有两个未知数的实际问题可以用方程组来解。

4让学生列表尝试方法解二元一次方程组，注意审题、分析数量关系，让学生选择数学模型。

五布置作业

　4.3　　解二元一次方程组（第一课时）

【教学目标】

1.知识与能力：

了解解方程组的概念，了解解方程组的基本思路是“消元”，会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路──通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。

2.过程与方法：

通过浅显易懂并形象的“天平”实例，引入代入消元法，直观地揭示了代入消元的实质。

通过例2的学习，让学生经历代入消元法解二元一次方程组的一般步骤，归纳出用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

通过揭示解二元一次方程组本质思想——消元，让学生初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解题能力。

3.情感态度与价值观：

提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。

【教学重点、难点】

重点：

了解解方程组的基本思路是“消元”，了解代入消元法的思想和操作方法，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。

难点：

例2要把其中一个方程变形后用含一个未知数的一次式来表示另一个未知数的形式时，方能代入。

【教学准备】电脑、投影

【教学过程】

（一）创设情景，提出问题

提问：

1.什么叫二元一次方程？

什么叫二元一次方程组？

什么叫二元一次方程组的解？

2.下列哪些数对

是方程组

的解。

3.引导性材料：

我国古代数学名著《孙子算经》上有这一一题：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？

如果设鸡有x头，兔有y头，所得的式子怎样？

上节我们碰到过二元一次方程组

，可知

是方程组

的解，但这是通过观察检验后得来的，那么，有没有一种一般解法？

鸡兔同笼问题又如何解答？

（二）合作交流，探索新知

观察课本P93合作学习中图示，小组讨论下列问题：

1、观察图4－3,你得到什么启发？

2、如何解二元一次方程组

，观察x+（x+10）=200与

有没有内在联系？

有什么内在联系？

（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系──把方程①中的“y”用“x+10”去替换就可得到一元一次方程。

）

问题1从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？

把方程①中的“y用“x+10”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化成熟悉的问题（解一元一次方程）。

解方程组

解：

把②代人①，得x+（x+10）＝200，

             x＝95

把x=95代入②，得y=105

∴方程组的解是

问题2你认为解方程组

的关键是什么？

那么解方程组

的关键是什么？

求出这个方程组的解。

上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：

通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。

问题3对于方程组

能否象解上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程，从而消去一个未知数呢？

应如何消元？

（说明：

从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三元一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。

）

（三）指导应用，深化理解

例1解方程组：

按课本讲解、板书。

（组织学生口头回答例题的解答，注意检验的方法）

探究以下三个问题：

问题1:

上述解题过程什么思想方法？

用什么方法解二元一次方程组？

问题2：

如何对方程组的解进行检验？

问题3：

完成P94做一做（板演）。

补充练习：

用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

例2:

解方程

教师引导学生讨论,完成解题过程．

探究活动1：

解决这道题目的关键是什么？

选择哪一个未知数表示另一个未知数？

如何变形？

方程组的解的表示要注意什么问题？

探究活动2:

观察上例解题过程，小组讨论：

解二元一次方程组的一般步骤怎样？

结论：

用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：

（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示；

（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；

（4）写出方程组的解。

课堂反馈练习：

P95练习（板演）。

探究与提高（视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题）：

1.解方程组

2.解方程组

3.已知

是方程组

的解，求（3a-6b）-（-13a-4b）的值。

4.已知x＝2t＋3，y＝3t－1，用含x的一次式表示y。

5.已知2x＋5y＋4z＝6，3x＋y－7z＝－4，求x＋y－z的值。

6.要使方程组

有正整数解，那么自然数a的值等于多少？

（四）归纳小结，反思提高

问题：

通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。

（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—