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测量平差习题

第一章观测误差与传播率

第一节观测误差

1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号

（1）尺长不准确；

（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；

（3）尺不水平；

（4）尺反曲或垂曲；

（5）尺端偏离直线方向；

（6）估读小数不准确；

2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：

1）视准轴与水准轴不平行；

2）仪器下沉；

3）读数不准确；

4）水准尺下沉；

5）水准尺竖立不直。

第二节衡量精度的指标

3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角a=58°0200.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：

0'”0'”0'

58001'58”58001'57”58002'04

0'”0'

58002'03”58002'01

58001'59”58001'59

58002'05”58002'01”58001'57

试求测角中误差

4、设有两组观测值Xi和Yi，它们的真误差分别为：

△x:

2,-3,+1,0,+2△y:

0,+3,+1,-2,+3

试求观测量X与Y的方差dx2和by2,哪个测量观测精度高？

5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：

m）为:

437.59

437.6i

437.60

437.55

437.59

437.62

437.64

437.62

437.64

437.6i

437.69

437.63

437.6i

437.62

437.6i

437.60

300.00±2cm和600.00±

试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。

6、有两段距离Si和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为

2cm,试问哪段距离观测精度高？

二距离各次观测值的观测真误差是否相同

7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。

（1）试估计该观测值的真误差实

际可能出现的范围是多少？

（2）试求该观测值的相对中误差。

8、设有观测值Li的权Pi=2，其方差为di2=4,又知观测值L2的方差b22=1,试求其权P2及协因数Q11和Q22。

9、在相同的观测条件下（每一测回观测精度相同）观测两个角度得/A=30°00'00〃，/B=60°00'00"设对/A观测9个测回的权为Pa=i,则对/B观测16个测回的权PB为多少？

10、在相同的观测条件下，作了4条线路的水准测量，它们的中误差分别为di=±2mm,d

2=±i.5mm,d3=±imm,d4=±0.5mm,令单位权方差为d0=±imm，试求各线路观测高差的权Pi（I=i,2,3,4）。

第二章广义传播律与系统误差的传播第一节随机向量的协方差阵、协因数阵与权阵一、定义

1、设有观测值向量L=[L1丄2丄3]T的方差阵为：

0.80.20.1

Dl=0.20.70.30.10.31.0一

试写出L1,L2及L3的方差及协方差dL1L3,bL2L3,bL1L2。

2、已知观测值向量L=[L1,L2,L3]T的权阵为：

2-10

Pl=-131

012一

又知单位权方差d02=32/5，试求协因数阵Ql。

与协方差阵Dl。

3、已知观测值L1与L2的协因数与互协因数Qh=0.17908,Q22=0.16123,Q12=Q21=0.1321,

试写出出其协因数阵Ql。

4、已知测站点坐标X和Y的中误差分别为dx=±4.0cm,dy=±3.0cm。

z[x1

2,1y

（1）若已知X和Y的协方差dxy=9.0cm2，试写出出向量=「的方差阵Dz和X

与丫的相关系数Pxy；

（2）若已知相关系数pxy=-0.50,试求x和y的协方差dxy和方差阵Dz；

（3）

设单位权方差为d02=9cm2，求以上两种情况下的协因数阵与权阵。

5、设测站点的平面位置由角度B和距离S给出，已知其中误差二二=±20〃,ds=±0.10,相关系数p=0.50。

（1）试求向量Z=的协方差阵DZ;

〔S」

（2）权方差d0=0.0010m，试求向量Z的协因数阵Qz和权阵Pz。

6、设某点平面位置由极坐标r和0给出，其中，r为边长，0为角度，已知方差dr2=0.0001m2,

22r

d0=4.125,协方差dr0=0.0371m.（〃），令Y=|。

（1）试求Dy；

（2）若取d02=O.OOO1m2时，求Qy；

（3）若取do2=4125（〃）2时,求Qy。

二协方差估值的计算

7、设有两组观测值

Xi与Yi（l=1,2，…9）的真误差分别为：

△Xi：

+2.5,-1.5,-3.5,+3.5,-2.5,-0.5,+5.5,+2.5,-2.5;

△Yi：

-3.0,-7.0,0.0,+3.0,+2.0,0.0,-3.0,+8.0,0.0;

设每组内的观测值勤均为同精度独立观测值勤，试求两组观测值勤的中误差与协方差估值。

8、在某测站上观测三个方向各5测回，得观测值Lii,L2i丄3i（I=1,2,3,4,5）如下:

（°'〃）

201030

201029

201032

201033

201029

611819

611817

611816

611821

611820

1250842

1250840

1250841

1250839

1250838

试求观测值Li，L2，L3的方差与其各协方差的估值。

9、设L=[Li,L2,…,Ln],V,=[Vi,V2,…,Vn]T,=X?

1X2...XtT若令

n,1

Z=V

试写出方差阵Dz及互协方差阵DvX?

。

10、已知相关观测值

2L,=[L1,L2]T的权阵为:

PlJ'

L_-2

-21

试求权Pli与Pl2。

11、已知独立观测值L=[L1,L2]T的方差阵

Dl=

及单位权方差do2=2,试求权阵Pl及权Pi,P2。

12、设有相关观测值X=[X1，X2]T，已知其权阵

Px二

及单位权方差do2=1，试求X的方差阵及观测值的权P1,P2。

13、已知相关观测值2^的协因数阵

试求权阵Pl及权P1,P2。

14、已知相关观测值L的方差阵

-1【

及单位权方差do2=2，试求权阵Pl及权P1和P2o

15、已知相关观测值2L1的方差阵

16、已知相关观测值2L1的方差阵:

及单位权方差do2=2，试求方差阵Dl。

17、已知观测向量2-=[L1，L2]T，已知其权阵的协方差阵及协因数阵为:

四、随机向量组中各随机向量的权阵及协因数阵的计算

-1-12

|Y|-已知权阵Pz为:

20-1FZ=|o2-1

试求Px,Py及权Pxi,PX2,Py。

■2

0-1〕

2-1

厂1

-12

19、若令Z=△,其中Y=J

试求Px,Py及Py1,Py2。

20、已知观测值向量3,1的权阵为：

■5

-2

1〕

-2

5一

x1，Y=

X2二2,1=

—1

Pz=

21、设已知X

iY,权阵Pz为:

试求权阵Px及Py。

22、设有观测向量Z=

V，其中，

：

X1〕,Y=|Y［已知协因数阵|X2一〔丫2一

Qz为:

-1

Qz=

-1

试求协因数阵Qx,Qy及权阵Px,Py。

则了

及协

传播律

线性函数的广义传播律

（T2试求角度a,3和丫

第二节

23、在测站A上以等精度观

Li,L2,L3（见图2-1），其方差均为

24、设有观测值向量L的协方差阵为：

3,1_

60-2

DL=041

■-212一

（1）试计算线性函数：

X=L1+3L2-2L3及Y=100+5L1-L2/3+L3/4的方差

方差bXY；

（2）设单位权方差bo2=2，试问函数$1=2L计L2与02=4.5L2+6L3是否相关。

25、设有独立观测值L1和L2,其中误差为b1=±2.3cm,b2=±1.7cm,是求它们的和

数与差数的方差及协方差。

26、已知观测向量£及其协方差阵Dl，试求函数X=AL,Y=BX的协方差阵Dxl，Dyl，

及Dxy。

27、已知观测值向量Li,L2,L3及其协方差阵为:

n1,1n2,1n3,1

D13I

D23

D33

D11D12

Dl=D21D22

-D31D32

将Li组成函数：

X=AL什Ao

Y=BL2+B0

Z=CL3+C0

式中，A、B、C为系数阵，A。

、Bo、Co为常数阵，若令向量

W=Y

■zj

试求协方差阵DW。

Dl=

试求|?

的方差阵Dl?

30、在高级水准点A,B间（其高程无误差）进行水准测量，如图2-2o路线长为S1=2km,

S2=6km,S3=4km,设每里观测高差的中误差为二km_-1.0mm。

试求将闭合差3

=（Hb-HA）-（h什h2+h3）,按距离成比例分配后Pi至P2点间咼差的中误差。

31、已知独立观测值Li,L2的中误差均为b,试求函数X=2Li+5,Y=L2-2L2,Z=X+Y的中误差bx,by,bz。

32、设有随机向量

Y=AX

Z=BY

H=CY+GZ

其中，A,B,C,G为常量矩阵，已知Dx，试求Dy,Dyx,Dyz,Dz,Dzh,Dh。

33、已知观测值向量=[Li,L2]T的协因数阵为:

试求函数:

42、设有两个函数:

Z=F1X+F2Y+Fo

43、已知相关观测值向量W=Y的协因数阵为:

试用广义传播的记忆规则求函数H=F1X+F2Y+F3Z的协因数阵Qh及Qhx。

44、设有独立观测值向量L，其协因数阵Qll=I，设有函数：

n,1

V=BX-L

T-1T

X=（BB）BL

L=L+V

试用广义传播律的记忆规则求协因数阵Qx,Ql及Qvx,Qvl。

45、设有线性函数

F=FiX+F2Y+F3Z+Fo

G=G2Y+G3Z+G0

已知Qx,Qy,Qz,Qxy,Qyz,Qxz，试用广义传播律的记忆规则写出Qfg的计算公式。

三、非线性函数的广义传播律

46、已知独立观测值Li,L2的中误差为二i和b2,试求下列函数的中误差。

（1）X=L1/2+L1L2；

（2）Y=sinL1/2+sin（L1+L2）。

47、设有函数:

01=3L1-2L3

02=L1L2+L3

已知观测值3的协因数阵为：

6-21]

ql=

-240

103一

的方差及其协方差。

单位权方差为002=0.2，试求当L1=6,L2=8,L3=10时，电，％48、设有独立观测值向量占的协方差阵:

400

Dl=030

002一

试求函数F=3L2L3的方差。

49、已知观测值向量L=[L1,L2,L3]T,二-二2,L的权阵

2-10

PL=-131

012一

试求函数Z=sinL^sinL3的方差b2。

50、已知角度观测值L1,L2的中误差为m1和m2,S°为无误差的已知边长，试求观测值函数

S2=Sosin（Li+L2）/sinL2

差ds。

的中误差dS2。

51已知独立观测值Xi,X2的权为Pi,P2,单位权中误差为d0,试求下列函数的权倒数与中误差:

（1）Zi=Xi2+X1X2；

（2）Z2=sinXisinX2/sin（X1-X2）。

52.

为了计算三角形地块的面积，量测了三角形ABC的一边长及其高，观测值及其中误

（TS。

差]—~,,h

53.

在图2-7的三角形ABC中测得.A—〉a,。

边长b匸“」b,C=「c,求三角形面积的中误

（1）试求dy,Dyx,Dyz及aY|Y2Z3；z2

（2）若a0=2,试求Qx及Qyx。

56设有同精度独立观测值3=[31，32,33]t的函数:

sin片

Y1-Sab-~

sinP3i2

2AB2

其中，Tab和Sab为无误差的已知值，设已知测角中误差为小=±1”,试求bY12,b丫2‘2及bY1Y2。

57设有同精度独立观测值3=[31，32,33]T的函数:

sin巴口

X二Sab=~COS（Tab~■八3）

sin：

已知SAB=2000m（无误差），Tab=120°00'00”（无误差），p”=206*103,观测值及其中误差为

3i=60°,；「=3s,试求的△X值及其中误差bax。

58设有观测值L=丄1丄2]丁的两组函数：

逹一2，

Z=2L2+5

]Z2=—1

已知DL=[：

〔若令丫=[丫1,Y2]T,Z=[Z1,Z2]T,

（1）试求dy,Dyz,Dyl；

（2）当L1=2,L2=1时，求°丫1丫22丫乙，口丫山的值

第三节广义传播律在测量上的应用

59设用长为30m的钢尺量得正方形地块的一边边长为a=72.518m，其中误差ba=±

0.015m，如果钢尺的实际长度短了0.020m，试求该正方形地块的实际面积S'及其中误差

（TS'。

60有一梯形地块ABCD，其尺寸如图所示为求出距离A点为d处梯形的高h,测得距离d=20m，其中误差为bd=±1.6cm，试求计算值h及其中误差bh。

（提示：

先要以A点为原

点，设立直角坐标系，列出CD边的直线方程式）

AC=15m

AB=60m

BD=45m

61某距离分三段丈量，每段丈量次数不等，取其简单平均值作为每一段长度，然后由各段

长度平均值求和得该距离。

各段观测值如下：

编号

第1段长（m）

第2段长（m）

第3段长（m）

234.615

319.642

887.177

234.633

319.617

887.151

319.649

887.186

319.626

如果每100米长度丈量的中误差均为0.01m。

各段长度每一次观测值的方差与其长度成正

比，试计算该距离全长X及其中误差bx。

62观测矩形水库的底面，得独立观测值Li和L2,其中底面长L!

=85m，宽L2=60m，其观

测精度为bli=±7mm,bL2=±5mm，试求水库底面面积的中误差crs。

63设有两段距离，Si=300m，由3次丈量的结果取平均值而得，S2=500m,由5次丈量的

结果取平均值而得。

设每100m一次丈量的权为单位权，其中误差为b0=±2cm

（1）试求每段距离平均值的权Ps1和Ps2；

（2）哪一段距离的精度高。

64已知AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次取平均值的中误差为土2cm,CD=150m,丈量一次的权为0.5,其共量16次取平均，试求其平均值的中误差bcd。

65已知量100m长的距离一次，其权为1.5。

问

（1）:

丈量300m长的距离一次的权是多少?

（2）对300距离需丈量几次，其平均值的权等于4。

66某距离S用不同仪器进行不等精度测量，得独立观测值Si及其中误差ms（i=1,2）为

550.253m±0.03m及550.246m±0.05m，试求该距离的加权平均值及其中的误差。

67在水准测量中，每站观测高差的中误差均为土1cm,今要求从已知点推算待定点的高程

中误差不大于土5cm，问可设多少站？

68有一角度测20测回得中误差为土0.42”，问再增加多少测回，其中误差为土0.28”？

69在相同的观测条件下进行四条路线的水准测量，它们的长度分别为Si=10.5km,

S2=8.8km，S3=3.9km，S4=15.8km，试求各线路的权之比。

70应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差，设该三角形边长分别为Si=10km，

S2=8km，S3=4km，令40km的高差观测值为单位权观测，求各段高差的权。

71已知距离AB=100m，丈量一次的权为2。

丈量4次平均值的中误差为土2cm，距离CD=400m，丈量16次，其中每100m丈量一次的精度同AB距离的精度，试求距离CD的中误差（TCD。

72某一距离分成三段各往返测量一次，其结果列下表，若令1km距离往、返测量平均值

的权为单位权，试求

（1）该距离最佳估值；

（2）单位权中误差（1km往返高差平均值的中误差）；

（3）全长一次测量中误差；

（4）全长平均值的中误差；

（5）第二段一次测量的中误差。

观测值见下表：

盹1=1.

段号

往测（m）

返测（m）

1000.009

1000.007

2000.011

2000.009

3000.008

3000.010

73有一水准路线分三段进行测量,

每段均作往返观测，

其观测值见下表

路线长度

往测咼差（m）

返测咼差（m）

2.2

2.563

2.565

5.3

1.517

1.513

1.0

2.526

试求：

（1）

1km观测咼差中数的中误差；

（2）

各段一次观测高差的中误差；

宀亡ftI.MAir厶厶亠、口

（3）

各段咼差平均值的中误差；

4）全长一次观测高差的中误差；

5）全长高平均值的中误差。

第三章平差函数模型及条件方程线性化

第一节条件平差函数模型

1试确定图3-1中各水准网按条件平差时条件方程式的个数。

图3-2

3试列出图3-3的水准网中按条件平差平差函数模型。

第二节间接平差函数模型

6在图3-6水准网中，A点为已知水准点，Pi,P2,P3为待定点，观测高差向量

为I=l~iFT?

hah4h5T，现选取Pi,P2,P3点高程为未知以参数交=E文2丈3I，试列出间接平差函数模型。

3,1

图3-6

7在图3-7的测边网中，

A,B点为已知点，Pi,P2点为待定点，观测值为S（i=1,2,….5）,

现选取待定点坐标为乂=XjY~乂2

E『，试列出间接平差函数模型。

i（i=1,2,….5）。

若选P点坐标为未知参数，X=Rp*丁，试列出观测方程。

2,1KK

图3-9

第四章条件平差

第一节条件差原理

1在图4-1中，已知A,B点高程为HA=62.222m,HB=61.222m，观测高差值及路线长度如下：

hi=-1.003m，si=2km

h2=-0.500m，S2=1km

hi=-0.501m，S3=0.5km

（1）试列出了改正条件方程；

（2）试按条件平差原理计算各段高差的平差值~。

2在图4-2中，已知角度独立观测值及其中误差为：

匚=63°1940£=：

L2=58°2520,匕=：

L3=301°4542—=：

试列出改正数条件方程；试按条件平差法求/ACB

得4个独立观测

100m量距的权为

5在图4-5中，A,B,C三点在一直线中测出了AB,BC及AC的距离,

值：

Ii=200.010m，l2=300.050m，I3=300.070m，I4=500.090m。

若令

4,1

单位权，试按条件平差法确定A，C之间各段距离的平差值6在图4-6中同精度观测了测站A周围的角度，得观测值为:

h=60°0000很=60°0000

J=240°0025,丨4=120°0005

设Q=I，试用条件平差求各角平差值?

。

图4-6

图4-5

第二节水准网条件平差

差为h=[1.32，0.33,

5,1

-0.91，2.41，1.66]Tm，各段高差的权相等，试列出按条件平差的

条件方程式。

8有水准网如图4-8,试列出该网的改正数条件方程。

已知数据：

HA=31.100m，HB=34.165m

观测高差值：

h1=+1.001m，h2=+1.002m，h3=+0.060m，h4=+1.000m，

h5=+0.500m，h6=+0.560m，h7=+0.504m，h8=+1.064m。

路线长度：

S1=1km，S2=2km，S3=2km，S4=1km，

9试列出图4-9中水准网的条件方程。

已知起算据：

HA=238.744m，HB=258.732m，Hc=241.431m，HD=262.160m

观测值：

m=+13.019m，h2=-3.092m，h3=+2.175m，h4=+6.949m，

h5=+7.251m，h6=-5.255m，h7=+8.238m，

S1=20.4km，S2=18.8km，S3=23.0km，S4=19.5km，

S5=16.1km，S6=23.3km，S7=17.1km，

10在图4-10所示的水准网中，A点为已知点。

HA=103.953m,Pi~P4点为待定点，设各路线长度相等，观测高差为：

hi=0.050m，h2=3.452m，h3=2.398m，h4=3.404m，h5=

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