完整word高数教案第十章重积分doc.docx
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高
等
数
学
教
案
章节题目
第十章重积分
课
型
理论课
§10-1
二重积分的概念及性质
教学目的
理解二重积分的概念，了解二重积分性质。
重
点
二重积分的概念，性质
难
点
如何运用二重积分的性质去解决问题
参考书目
同上
教
具
教学后记
教
学
过
程
（一）、复习上节内容
（二）、讲授
§10-1二重积分的概念及性质
一、二重积分的概念
（一）引例
1.曲顶柱体的体积
2.平面薄片的质量
（二）二重积分的定义
1．定义：
2.几个事实
二、二重积分的性质
三、二重积分的几何意义
（三）、本次课内容小结
（四）、布置作业
1
第十章重积分
§10-1二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
（一）引例
1.曲顶柱体的体积
设有一空间立体
它的底是xoy面上的有界区域
D,它的侧面是以D的边界曲线为
准线,而母线平行于
z轴的柱面,它的顶是曲面z
f（x.y）。
当（x,y）
D时,f（x,y）在D上连续且f（x,y）0
以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V可以这样来计算:
（1）用任意一组曲线网将区域
D分成n个小区域
1，
2，L，
n，以这些小区域的
边界曲线为准线,作母线平行于
z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体
分划成n个小曲
顶柱体
1，
2，L，
n。
（假设
i所对应的小曲顶柱体为
i,这里
i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,
i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。
）
图10-1-1
n
从而V（将化整为零）
i
i1
（2）由于f（x,y）连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此,可以将小曲顶柱
2
体近似地看作小平顶柱体,于是
if（ii）i（（ii）i）
（以不变之高代替变高,求i的近似值）
（3）整个曲顶柱体的体积近似值为
n
Vf（ii）i
i1
（4）为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此,
我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设n个小区域直径中的最大者为,则
n
Vlim0i1f（i,i）i
2.平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在x,y处的面密度为x,y,这里
x,y0,而且x,y在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。
图10-1-2
将D分成n个小区域1，2，L，n，用i记i的直径,i既代表第i
个小区域又代表它的面积。
当maxi很小时,由于x,y连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀
1in
的,那么第i小块区域的近似质量可取为
（i,i）i（i,i）i
3
n
于是M（i,i）i
i1
n
Mlim（i,i）i
0i1
两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。
因此,有必要撇开这
类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。
（二）二重积分的定义
1．定义：
设
fx,y
是闭区域D上的有界函数,
将区域
D分成个小区域
1,
2,
n,
其中,
i既表示第i
个小区域,
也表示它的面积
i表示它的直径。
max{
i
}
（i
i）i
1in
作乘积
f（i
i）
i
（i1,2L,n）
n
作和式
f
（i,
i）
i
i1
n
若极限lim
fi,ii
0
i1
记作fx,yd。
D
n
存在,则称此极限值为函数fx,y在区域D上的二重积分,
即
f
x,y
dlim
f
i,i
i
D
0i1
其中:
f
x,y
称之为被积函数,f
x,yd
称之为被积表达式
d
称之为面积元素,
n
x,y称之为积分变量,
D称之为积分区域,fi,i
i
称之为积分和式。
i1
2．几个事实
（1）二重积分的存在定理
若fx,y在闭区域D上连续,则fx,y在D上的二重积分存在。
声明:
在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
（2）fx,yd中的面积元素d
象征着积分和式中的
i。
D
4
图10-1-3
由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划
分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可
以将d记作dxdy（并称dxdy为直角坐标系下的面积元素）,二重积分也可表示成为
fx,ydxdy。
D
（3）若fx,y0,二重积分表示以fx,y为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1.线性性
[f（x,y）g（x,y）]df（x,y）dg（x,y）]d
DDD
其中:
是常数。
2.对区域的可加性
若区域D分为两个部分区域D1,D2,则
f（x,y）df（x,y）df（x,y）d
DD1D2
3.若在D上,fx,y1,为区域D的面积,则
1dd
DD
几何意义:
高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4.若在D上,fx,yx,y,则有不等式
f（x,y）d（x,y）d
DD
5
特别地,由于fx,yfx,yfx,y，有
f（x,y）df（x,y）d
DD
5.估值不等式
设M与m分别是fx,y在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则
mf（x,y）dM
D
6.二重积分的中值定理
设函数fx,y在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点,,使
得
f（x,y）df（,）
D
7、对称性（偶倍奇零）
设函数f
x,y
在闭区域D上连续,D关于x
轴对称,D
位于x
轴上方的部分为
D1,在D上
（1）f（x,
y）
f（x,y）,则
f（x,y）d
2
f（x,y）d
D
D1
（2）f（x,
y）
f（x,y）,则
f（x,y）d
0
D
当区域关于y
轴对称,
函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.
例1比较下列各对二重积分的大小
（1）
（xy）2d
与
（x
y）3d
，其中D:
（x
2）2
（y1）2
2。
D
D
（2）
ln（x
y）d
与
[ln（x
y）]2d，其中D是三角形区域，三顶点分别为
D
D
（1,0）,（1,1）,（2,0）
。
例2
判断积分
31
x2
y2dxdy的正负号.[负]
x2
y2
4
例3估计下列积分之值
I
dxdy
D:
xy10[1.96
I
2]
cos2xcos2
D100
y
三、二重积分的几何意义
6
1．若f（x,y）0，f（x,y）d表示曲顶柱体的体积
D
2．若f（x,y）0，f（x,y）d表示曲顶柱体的体积的负值
D
3．f（x,y）d表示曲顶柱体的体积的代数和
D
例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.[16R3]
3
小结：
二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。
作业：
习题10-1（P136）基础题：
4
（1）;5
（1）
7
高等数
学
教
案
第十章重积分
理论
章节题目
课
型
课
§10-2二重积分的计算法
（一）
教学目的深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧
重点熟练掌握二重积分计算
难点对积分区域的划分
参考书目同上教具
教学后记本节内容掌握的不够理想。
教学过程
（一）、复习上节内容
（二）讲授
§10-2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分
1、x-型区域，y-型区域。
2、二重积分化二次积分时应注意的问题
3．求体积
4．更换积分次序
（四）、本次课内容小结
（五）、布置作业
8
§10-2二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定
积分的计算（即二次积分）来实现的。
一、
利用直角坐标计算二重积分
１、x-型区域，y-型区域
我们用几何观点来讨论二重积分
f
x,yd
的计算问题。
D
讨论中,我们假定fx,y
0；
假定积分区域D可用不等式
a
x
b
1（x）
y2（x）表示,
其中
1x,2x在a,b
上连续。
图10-2-1
图10-2-2
据二重积分的几何意义可知,
fx,yd的值等于以
D为底,以曲面zfx,y
D
为顶的曲顶柱体的体积。
图10-2-3
在区间
a,b上任意取定一个点
x0
作平行于yoz面的平面x
x0,这平面截曲顶柱体
所得截面是一个以区间1x0,2
x0
为底,曲线z
fx0,y
为曲边的曲边梯形,其面
积为
A
2
x0
x0,ydy
x0
f
1
x0
9
一般地,过区间a,b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
2x
Axfx,ydy
1x
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
V
b
b
2（x）
A（x）dx
a
f（x,y）dydx
a
1（x）
从而有
b
2（x）
f（x,y）d
f（x,y）dydx
D
a
1（x）
（1）
上述积分叫做先对
Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,
f（x,y）只看作y的函
数,对f（x,y）计算从
1（x）到
2（x）的定积分,然后把所得的结果
（它是x的函数）再对
x从a到b计算定积分。
这个先对y,后对x的二次积分也常记作
b
2（x）
f（x,y）d
dx
f（x,y）dy
D
a
1（x）
在上述讨论中,假定了fx,y0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算
公式
（1）。
但实际上,公式
（1）并不受此条件限制,对一般的f（x,y）（在D上连续）,公式
（1）
总是成立的。
类似地,如果积分区域D可以用下述不等式
cyd,1（y）
x2（y）
表示,且函数
1（y）,2（y）在[c,d]上连续,f
x,y在D上连续,则
d
2（y）
d
2（y）
f（x,y）d
f（x,y）dxdy
dy
f（x,y）dx
D
c
1（y）
c
1
（y）
（2）
10
图10-2-4图10-2-5
显然,
（2）式是先对x,后对y的二次积分。
2．二重积分化二次积分时应注意的问题
（1）.积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型（或II型）区域,用平行于y轴（x轴）的直线穿过区域内部,直线与区域的边
界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型（或II型）区域的并
集。
（2）.积分限的确定
二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。
这里,我们介绍配置二次积分限的
方法--几何法。
画出积分区域D的图形（假设的图形如下）
图10-2-6
在a,b上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点（x,1（x））与（x,2（x））,这里的1（x）、2（x）就是将x,看作常数而对
y积分时的下限和上限；又因x是在区间a,b上任意取的,所以再将x看作变量而对x积
分时,积分的下限为a、上限为b。
例1.
计算I
xyd,其中D是直线y＝1,x＝2,
及y＝x所围的闭区域.
D
11
（可用X–型区域，
Y–型区域分别求解）
9
[]
8
例2.计算
D
xyd,其中D是抛物线y2
x及直线yx2所围成的闭区域.
（先对x后对y
积分）[45]
8
例3.计算
D
sinxdxdy,其中D是直线y
x,y0,所围成的闭区域.[2]
x
（先对y后对x积分）
2
x2
22
8
x2
dx2
例4.
交换下列积分顺序
I
f（x,y）dy
dx
f（x,y）dy
0
0
2
0
2
8y2
关键画图[dy
f（x,y）dx]
0
2y
例5.
计算I
xln（y
1
y2）dxdy,其中D由y
4
x2,y3x,x1所围成.
D
关键：
画图，切割积分区域，利用对称性
[0]
3．求体积
思考例6.求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积。
解
1.作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域
图10-2-7
消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2
y2
2,
立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投
影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域
D:
x2y22
2.列出体积计算的表达式
V
[（62x2
y2）（x2
2y2）]d
（63x2
3y3）d
D
D
3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算
12
图10-2-8
V6d
3x2d
3y2d
D
D
D
而d
2
D
由x,y的对称性有
x2d
y2d
D
D
x2d
2
2
x2
2
x2dx
dy2x22x2dx
D
2
2
x2
2
4
2
2
x2dx
2
2cos2
d
x2
44sin
0
0
16（2
1）!
!
（2
1）!
!
16
11
2
（2
2）!
!
2
42
所求立体的体积为
V
12
6
6
4．更换积分次序
练习1
1
1
x
f（x,y）dy的次序.[
1
1
y
改变积分
dx
0
dy
0
f（x,y）dx]
0
0
练习2
1
dx
2x
x2
2
2
x
改变积分
f（x,y）dy
dx
0
f（x,y）dy的次序.
0
0
1
1
2
y
2f（x,y）dx]
[
dy
1
1y
0
练习3
2a
dx
2ax
2f（x,y）dy（a
0）的次序.
改变积分
2ax
x
0
a
aa2y2
a
2a
2a
2a
[
0dyy2
f（x,y）dx
0
dy
aa2y2f（x,y）dx
a
dyy2
2a
2a
f（x,y）dx.]
练习4
求
（x2
y）dxdy，其中D是由抛物线y
x2和x
y2所围平面闭区域.[
33
]
D
140
13
练习5求
x2ey2
dxdy，其中D是以（0,0）,（1,1）,（0,1）为顶点的三角形.[1（1
2）]
D
6
e
1
练习6
计算积分I12
dy
1
4
2
y
1
y
3e
1
y
y
exdx
1dy
exdx.[
e]
2
y
8
2
小结：
二重积分计算公式
直角坐标系下f（x,y）dxdy
b
2（x）
X—型
dx
f（x,y）dy
D
a
1（x）
f（x,y）dxdy
d
2（y）
Y—型
dy
f（x,y）dx
D
c
1（y）
作业
习题10-2（P154）
基础题：
2
（1）,（4）;3;4（3）;7;10
提高题：
6（4）;
14
高
等
数
学
教
案
章节题目
第十章重积分
课
型
理论课
§10-2二重积分的计算法
（二）
教学目的
掌握二重积分的计算方法（极坐标）。
重
点
二重积分的计算方法
升级会员 