届高考数学文一轮复习讲义 第10章102 随机抽样.docx

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届高考数学文一轮复习讲义第10章102随机抽样

§10.2　随机抽样

最新考纲

考情考向分析

1.理解随机抽样的必要性和重要性.

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法.

在抽样方法的考查中，系统抽样、分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题.

1.简单随机抽样

（1）定义：

从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.

（2）最常用的简单随机抽样的方法：

抽签法和随机数表法.

2.系统抽样

（1）定义：

当总体数量很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

（2）系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样.

3.分层抽样

（1）分层抽样的定义：

在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.

（2）分层抽样的应用范围：

当总体由有明显差别的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样.

概念方法微思考

三种抽样方法有什么共同点和联系？

提示　

（1）抽样过程中每个个体被抽取的机会均等.

（2）系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）简单随机抽样是一种不放回抽样.（　√　）

（2）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（　×　）

（3）抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.（　×　）

（4）系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样.（　√　）

（5）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.（　×　）

（6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（　×　）

题组二　教材改编

2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A.总体

B.个体

C.样本的容量

D.从总体中抽取的一个样本

答案　A

解析　由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

3.某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（　　）

A.33,34,33B.25,56,19

C.20,40,30D.30,50,20

答案　B

解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，

所以抽取人数分别为25,56,19.

4.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（　　）

A.10B.11C.12D.16

答案　D

解析　从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.

题组三　易错自纠

5.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（　　）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32

答案　B

解析　间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.

6.从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取的男生人数为________.

答案　30

解析　因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，

所以应该抽取的男生人数为50×

＝30.

题型一　简单随机抽样

例1

（1）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：

抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是（　　）

A.这次抽样中可能采用的是简单随机抽样

B.这次抽样一定没有采用系统抽样

C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

答案　A

解析　利用排除法求解.这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误.

（2）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为（　　）

8147236863931790126986816293506091337585613985

0632359246225410027849821886704805468815192049

A.12B.33C.06D.16

答案　C

解析　被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22.

所以第四个被选中的红色球的号码为06.

思维升华应用简单随机抽样应注意的问题

（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

（2）在使用随机数表法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

跟踪训练1

（1）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（　　）

A.与第n次有关，第一次可能性最大

B.与第n次有关，第一次可能性最小

C.与第n次无关，与抽取的第n个样本有关

D.与第n次无关，每次可能性相等

答案　D

解析　∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到可能性都相等，与第n次无关，

∴D正确.

（2）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08B.07C.02D.01

答案　D

解析　由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

题型二　系统抽样

例2

（1）利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一个产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为（　　）

A.73B.78C.77D.76

答案　B

解析　样本的分段间隔为

＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋（16－3）×5＝78.

（2）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（　　）

A.11B.12C.13D.14

答案　B

解析　由

＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

＝

＝12.

引申探究

1.若本例

（2）中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到.（填“能”或“不能”）

答案　不能

解析　若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数.故不能被抽到.

2.若本例

（2）中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________.

答案　28

解析　因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，

所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为

＝28.

思维升华

（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大.

（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔.

（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定.

跟踪训练2将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为（　　）

A.26,16,8B.25,17,8

C.25,16,9D.24,17,9

答案　B

解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N＋）组抽中的号码是3＋12（k－1）.令3＋12（k－1）≤300，得k≤

，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得

题型三　分层抽样

命题点1　求总体或样本容量

例3

（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　）

A.9B.10C.12D.13

答案　D

解析　∵

＝

，∴n＝13.

（2）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（　　）

A.54B.90C.45D.126

答案　B

解析　依题意得

×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

命题点2　求某层入样的个体数

例4

（1）某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱

喜爱

一般

不喜欢

4800

7200

6400

1600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为（　　）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案　D

解析　方法一　因为抽样比为

＝

，

所以每类人中应抽取的人数分别为4800×

＝24，

7200×

＝36,6400×

＝32,1600×

＝8.

方法二　最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，

所以每类人中应抽取的人数分别为

×100＝24，

×100＝36，

×100＝32，

×100＝8.

（2）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：

今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（　　）

A.104人B.108人

C.112人D.120人

答案　B

解析　由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×

＝300×

＝108，故选B.

思维升华分层抽样问题类型及解题思路

（1）求某层应抽个体数量：

按该层所占总体的比例计算.

（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：

根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.

（3）确定是否应用分层抽样：

分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.

跟踪训练3

（1）某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于（　　）

A.860B.720

C.1020D.1040

答案　D

解析　分层抽样是按比例抽样的，

所以81×

＝30，

解得n＝1040.

（2）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.

答案　18

解析　∵

＝

＝

，

∴应从丙种型号的产品中抽取

×300＝18（件）.

1.某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为（　　）

A.0210B.0410

C.0610D.0810

答案　B

解析　将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，故选B.

2.打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是（　　）

A.系统抽样B.分层抽样

C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法

答案　A

解析　符合系统抽样的特点，故选A.

3.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.0B.1C.2D.3

答案　A

解析　①不是简单随机抽样.

②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.

③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.

④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样.

4.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）

A.100B.150C.200D.250

答案　A

解析　方法一　由题意可得

＝

，解得n＝100.

方法二　由题意，得抽样比为

＝

，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×

＝100.

5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：

分钟）的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（　　）

A.3B.4C.5D.6

答案　B

解析　第一组（130,130,133,134,135），

第二组（136,136,138,138,138），

第三组（139,141,141,141,142），

第四组（142,142,143,143,144），

第五组（144,145,145,145,146），

第六组（146,147,148,150,151），

第七组（152,152,153,153,153），

故成绩在[139,151]上恰有4组，故有4人，故选B.

6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图

（1）和图

（2）所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　）

A.100,10B.200,10

C.100,20D.200,20

答案　D

解析　该地区中小学生总人数为

3500＋2000＋4500＝10000，

则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.

7.（2018·大连模拟）某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（　　）

A.2400B.2700C.3000D.3600

答案　C

8.（2018·沈阳模拟）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：

“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？

”其译文为：

今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？

则下列说法错误的是（　　）

A.甲应付51

钱

B.乙应付32

钱

C.丙应付16

钱

D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

答案　B

解析　依题意由分层抽样可知，

100÷（560＋350＋180）＝

，

则甲应付：

×560＝51

（钱）；

乙应付：

×350＝32

（钱）；

丙应付：

×180＝16

（钱）.

9.将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是______________.

答案　16,28,40,52

解析　编号组数为5，间隔为

＝12，

因为在第一组抽得04号：

4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，

所以其余4个号码依次为16,28,40,52.

10.某高中在校学生有2000人.为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

跑步

a

b

c

登山

x

y

z

其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的

.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________.

答案　36

解析　根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×

＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×

＝36.

11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________.若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人.

答案　37　20

解析　将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则

＝

，解得x＝20.

12.一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同.若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________.

答案　63

解析　m＝6，则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.

13.某市教育主管部门为了全面了解2019届高三学生的学习情况，决定对该市参加2019年高三第一次全省统一考试（后称统考）的32所学校进行抽样调查.将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（　　）

A.3B.1C.4D.2

答案　A

解析　根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为

＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.

14.为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：

（单位：

个）

城市

德克士

抽取数量

A

26

2

B

13

x

C

39

y

则样本容量为________.

答案　6

解析　设所求的样本容量为n，由题意得

＝

，解得n＝6.

15.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数有（　　）

A.26B.39C.78D.13

答案　C

解析　设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x，由题意可得3x－2x＝13，x＝13，∴持“喜欢”态度的有6x＝78（人）.

16.某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n.

解　总体容量为6＋12＋18＝36.

当样本容量为n时，由题意知，系统抽样的间隔为

，分层抽样的比例是

，抽取的工程师人数为

×6＝

，技术员人数为

×12＝

，技工人数为

×18＝

，

所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.

当样本容量为（n－1）时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为

，因为

必须是整数，

所以n只能取18，即样本容量n＝18.