关于人口问题数学建模.docx
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关于人口问题数学建模
中国人口增长预测
摘要：
本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,Malthus微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了[1]Leslie人口模型,微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式.建立Leslie模型来预测未来中国大陆人口增长模型。
根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。
于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。
最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。
但对于长期的预测准确度有所下降。
通过对第一个模型—Leslie人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测人口数量在各个年龄段的分布。
再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道Leslie人口模型增长只能用来预测中短期的人口发展规律（对与中国的实际国情而言）。
于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。
这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。
随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色.
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
三 模型假设
1中国大陆人口看作一封闭系统,没有迁入与迁出
2同一年龄组内是无区别的
3在
时刻人口分布情况是已知的
4 无重大自然灾害和重大疾病的发生
四、符号说明
第
年年龄为
的总人数；
第
年年龄为
的妇女的生育率，即为第
年年龄为
的妇女所生的小孩数与年龄为
的妇女的总数之比；
第
年年龄为
的死亡率；
第
年年龄为
的女性占同龄总人数的比例；
五、建模过程
模型建立初期不考虑其他因素干扰，建立简单模型，在分析和建立模型的过程中进一步优化，建立过程如下：
考虑到我国目移民现象很少见，所以认为中国人口是一个封闭系统。
在这种假设下，下一年人口的数量取决于本年个年龄人口的生育率、死亡率、人口总数和男女比例。
将女性按相同的年龄划分为n+1组，各组中女性的年龄在[i,i+1]之内，i=0,1,2,…,n,设
表示第
年年龄为
的总人数
用矩阵形式可表示为：
，其中
第
年年龄为
的总人数；
第
年年龄为
的妇女的生育率，即为第
年年龄为
的妇女所生的小孩数与年龄为
的妇女的总数之比；
第
年年龄为
的妇女的死亡率；
第
年年龄为
的女性占同龄总人数的比例；
在第
年此模型死亡率、生育率、总人口数及男女比例已知时，我们就能够预测出第
个年龄的人口数，当然经过简单处理之后，还可得各年龄段的人口总数。
对于2001-2005年的数据，我们以抽样调查到的城市女性总数
，城镇女性总数
，乡村女性总数
的比例作为全国城市女性，城镇女性和乡村女性的比例。
即有：
可知
则全国女性每个年龄段的死亡率
，
全国女性各个年龄段的生育率
根据具体情况，比如采集到的数据是按年龄段统计得死亡率、生育率、总人口数及男女比例，我们就不能再按年龄来预测了，此时可以按年龄段来预测。
这是一个可按分组的数据来预测下一个时刻情况的模型。
针对本次竞赛所给数据是按年龄统计到90岁（90岁和90岁以上的人归为同一组），故我们可将上述矩阵写为92行91列的矩阵，如下
，
此时，
，即
在第
年此模型死亡率、生育率、总人口数及男女比例已知时，我们就能够预测出第
个年龄的人口数，当然经过简单处理之后，还可得各年龄段的人口总数。
通过作个年龄段的死亡率的散点图发现，各年龄段死亡率基本稳定在一个常数值附近（图2），并且在近些年不会发生重大的医学进步，所以我们可以假设死亡率为一个常数，并且在计算过程中用2001-2005的平均死亡率代替它。
通过2001-2005生育率的散点图（图1）可以发现2003年的生育率情况偏离其他年份的情况，而其他几年的情况图像形状相似，因此剔除03年的数据，用剩余四年的平均出生率作为生育率的估计值，即也假设出生率为一常数。
通过统计数据发现出生性别基本稳定在1.06附近，所以也假定生育率为常数。
在这些假设下即可对我国人口数量进行预测。
（图1）2001-2005年各年龄段生育率比较
（图2）2001-2005个年龄段死亡率比较
此时，
，这里
即
通过矩阵乘法可得
由上述公式，可以预测第
年的人口数量。
优点：
此模型的优点是在满足假设的前提下能够非常准确的预测出下一年的人口数。
缺点：
过分依赖于前一年的死亡率、生育率、总人口数及男女比例，只有这些参数已知时，才能预测此下一年，并只能预测一年。
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