初中数学规律题汇总全部有解析.docx
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初中数学规律题汇总全部有解析
.
初中数学规律题拓展研究
“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到
事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们
根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，
把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进
行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，如
增幅相等，则第n个数可以表示为：
a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b
为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+（n-1）b。
例：
4、10、16、22、28⋯⋯，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数
是：
4+（n-1）6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即
增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种
数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用
.
分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：
2、3、5、
9,17增幅为1、2、4、8.
（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，
如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要
求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把
变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：
0，3，8，15，24，⋯⋯。
试按此规律写出的第
100个数是10021，第n个数是n21。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我
们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0，3，8，15，24，⋯⋯。
序列号：
1，2，3，4，5，⋯⋯。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减
1。
因此，第n项
是n2-1，第100
项是1002—1
（二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与
n,或2n、3n有关。
例如：
1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（（2n
1）2），
1，2，3，4，5．。
。
。
。
。
。
，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3
.
时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
（三）看例题：
A：
2、9、28、65
.....增幅是7、19、37....
，增幅的增幅是12、18
答案与3有关且是n的3次幂，即：
n3+1
B：
2、4、8、16.......
增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：
2n
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后
用
（一）、
（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第
一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26⋯⋯，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24⋯⋯，
序列号：
1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当
n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为n2
1。
再看原数
列是同时减2得到的新数列，则在n2
1的基础上加2，得到原数列第n项n2
1
（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，
在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4，16，36，64，？
，144，196，⋯？
（第一百个数）
同除以4后可得新数列：
1、4、9、16⋯，很显然是位置数的平方，得到新数
列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后
再乘以4即，4n2，则求出第一百个数为4*1002=40000
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除
同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或
除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，
.
再分别找规律。
三、基本步骤
1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法
（一）解题。
2、如不相等，综合运用技巧
（一）、
（二）、（三）找规律
3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧
（一）、
（二）、（三）找出新数列的规律
4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法
（二）解题
四、练习题
例1：
一道初中数学找规律题
0，3，8，15，24，······5，10，172，26，·····6，16，030，，48······
（1）第一组有什么规律？
答：
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？
答：
第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可
以看出都等于
2，说明第二组的每项都比第一组的每项多
2，则第二组第
n项是：
位置数平方减
1加2，得位置数平方加
1即n2
1。
第三组可以看出正好是第一组每项数的
2倍，则第三组第
n项是：
2
n2
1
（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？
答：
用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一
得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7
的平方减一得96，48+50+96=194
2、观察下面两行数
.
2，4，8，16，32，64，．．．
（1）
5，7，11，19，35，67．．．
（2）
根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。
（要求写出最后的计算结
果和详细解题过程。
）
解：
第一组可以看出是2n，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n+3，
则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相
加得2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中
有几个是黑的？
解：
从数列中可以看出规律即：
1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，⋯⋯.，
每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5⋯⋯，正好是等差数列，并且数列中
偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有
1001个是黑色的。
4、3212=85232=167252=24⋯⋯用含有N的代数式表示规律
解：
被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8
的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2,
得2n+1，则用含有n的代数式表示为：
2n122n12=8n。
写出两个连续自然数的平方差为888的等式
解：
通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入
公式：
（222+1）2-（222-1）2=888
五、对于数表
.
1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1.和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
（1）等差关系。
12，20，30，42，（56）
127，112，97，82，（67）
3，4，7，12，（19），28
（2）移动求和或差。
从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，（8），13
A.9B.11C.8D.7
选C。
1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=130，1，1，2，4，7，13，（24）
A.22B.23C.24D.25
选C。
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5，3，2，1，1，（0）
A.-3B.-2C.0D.2
选C。
前两项相减得到第三项。
1.乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种
（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数
.
列。
8
，12，18，27，（40.5）
后项与前项之比为1.5。
6
，6，9，18，45，（135）
后项与前项之比为等差数列，分别为
1，1.5，2，
2.5，3
（2）移动求积或商关系。
从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，（500）
100，50，2，25，（2/25）
3
，4
，6，12，36，（216）从第三项起，第三项为前两项之积除以
2
1
，7
，8，57，（457）第三项为前两项之积加1
3.平方关系
1
，4
，9，16，25，（36）
，49
为位置数的平方。
66，83，102，123，（146）
，看数很大，其实是不难的，66
可以看作
64+2
，83可以看作
81+2，102可以看作
100+2，123
可以看作
121+2，
以此类推，可以看出是
8，9，10，11，12
的平方加2
4.立方关系
1
，8
，27，（81）
，125
位置数的立方。
3
，10，29，（83），127
位置数的立方加2
0，1，2，9，（730）后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出
答案
1
4
9
16
25
（
36
）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数
2
3
4
5
6
7
.
列，则第n项代数式为：
n2
1
n
2/31/2
2/51/3
（1/4）
将1/2
化为2/4，1/3化为2/6，可得到如
下数列：
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8
⋯⋯.可知下一个为2/9，如果求第n项
代数式即：
2，分解后得：
1
n
n
2
n2
6.、质数数列
2，3，5，（7），11质数数列
4，6，10，14，22，（26）
每项除以2得到质数数列
20，22，25，30，37，（48）
后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种：
（1）每两项为一组，如
1，3，3，9，5，15，7，（21）第一与第二，第三与第四等每两项后项与
前项之比为3
2，5，7，10，9，12，10，（13）每两项中后项减前项之差为3
1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（104）两项为一组，每组的
后项等于前项倒数*2
（2）两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
22，39，25，38，31，37，40，36，（52）由两个数列，22，25，31，
40，（）和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。
34，36，35，35，（36），34，37，（33）由两个数列相隔而成，一个递增，
一个递减
.
（3）数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数
列。
2.01，4.03，8.04，16.07，（32.11）整数部分为等比，小数部分为移
动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列，题目一般已经解出。
特
别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉
前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。
1，1，3，7，17，41，（99）
A.89
B.99
C.109
D.119
选B。
此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项*2
加第一项，即
1X2+1=3
、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41
，则空中应为41X2+17=99
65，35，17，3，
（1）
A.1
B.2
C.0
D.4
选A。
平方关系与和差关系组合，分别为8
的平方加1，6
的平方减1，4
的平方加1，2的平方减1，下一个应为
0的平方加1=1
4，6，10，18，34，（66）
A.50
B.64
C.66
D.68
选C。
各差关系与等比关系组合。
依次相减，得2，4，8，16（），可推知下一个为32，32+34=66
6，15，35，77，（）
A.106B.117C.136D.143
.
选D。
此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出，
6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质数2、3，5，7、11数
列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为13X11=143
2，8，24，64，（160
）
A.160
B.512
C.124
D.164
选A。
此题较复杂，幂数列与等差数列组合。
2=1X21的1次方，8=2X22
的平方，24=3*X2
3，64=4X2
4，下一个则为5X25=160
0，6，24，60，120，（210）
A.186
B.210
C.220
D.226
选B。
和差与立方关系组合。
0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3
的3次方-3，60=4
的3次方-4
，120=5
的3次方-5。
空中应是6的3次方
-6=210
1，4，8，14，24，42，（76）
A.76B.66C.64D.68
选A。
两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，
6，10，18，（34），得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，（32），
此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，
8，14，24，42，76，可知选A。
9.、其他数列。
2，6，12，20，（30）
A.40B.32C.30D.28
选C。
2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30
.
1，1，2，6，24，（120）
A.48B.96C.120D.144
选C。
后项=前项X递增数列。
1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为120=24*5
1，4，8，13，16，20，（25）
A.20B.25C.27D.28
选B。
每4项为一重复，后期减前项依次相减得3，4，5。
下个重复也为3，
4，5，推知得25。
27，16，5，（0），1/7
A.16B.1C.0D.2
选B。
依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1
次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对
解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前
三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能
得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考
角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算
或不用笔算。
3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻
.
找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。
（一）等差数列
相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推
理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最基本、最常见的数字排列
方式：
自然数数列：
1，2，3，4，5，6⋯⋯
偶数数列：
2，4，6，8，10，12⋯⋯
奇数数列：
1，3，5，7，9，11，13⋯⋯
例题1
：
103，81，59，（37
），15。
A.68B.42C.37D.39
解析：
答案为C。
这显然是一个等差数列，前后项的差为22。
例题2：
2，5，8，（11）。
A.10B.11C.12D.13
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的
数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5，第一个数字为2，
两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上
对未知的一项进行推理，即
8+3=11，第四项应该是
11，即答案为B。
例题3：
123，456，789，（1122
）。
A.1122
B.101112
C.11112
D.100112
解析：
答案为A。
这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，
三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789
+333=1122。
注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在
.
规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，
便选择101112，肯定不对。
例题4：
11，17，23，（29），35。
A.25
B.27
C.29
D.31
解析：
答案为C。
这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。
例题5：
12，15，18，（21），24，27。
A.20
B.21
C.22
D.23
解析：
答案为B。
这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为
3，未
知项即18+3=21
，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。
（二）等比数列
相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推
理测验中，也是排列数字的常见规律之一。
例题1：
2，1，1/2，（B）。
A.0B.1/4C.1/8D.-1
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的
数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1，第一个数字为
2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在
此基础上对未知的一项进行推理，即（1/2）/2，第四项应该是1/4，即答案为B。
例题2：
2，8，32，128，（512
）。
A.256
B.342
C.512
D.1024
解析：
答案为C。
这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。
例题3：
2，-4，8，-16，（32）。
.
A.32B.64C.-32D.-64
解析：
答案为A。
这仍然是一
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