匀速圆周运动典型例题.docx

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匀速圆周运动典型例题

“匀速圆周运动”的典型例题

【例1】如下图的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比别离为多少？

【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时刻内转过的弧长老是跟皮带移动的距离相等，也确实是说，用皮带直接相连的两轮边缘遍地的线速度大小相等．依照那个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解．

【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系

ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，因此A、B、C三轮角速度之比

ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．

因A轮边缘的线速度

vA=ωARA=2ωBRB=2vB，

因此A、B、C三轮边缘线速度之比

vA∶vB∶vC=2∶1∶1．

依照向心加速度公式a=ω2R，因此A、B、C三轮边缘向心加速度之比

=8∶4∶2=4∶2∶1．

【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一路运动（见图），那么

[]

A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心

C．因为木块随圆盘一路运动，因此木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同

D．因为摩擦力老是阻碍物体运动，因此木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力

【分析】由于木块随圆盘一路作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．

以木块为研究对象进行受力分析：

在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平稳状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依托盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一路匀速转动．因此，那个摩擦力的方向必沿半径指向中心

【答】B．

【说明】常有些同窗以为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一路匀速转动时，不时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D．这是一种极普遍的错误熟悉，其缘故是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向老是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指彼此接触的两个相关物体来讲的，即是对盘面参照系．也确实是说，对站在盘上跟盘一路转动的观看者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，因此，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心

【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．那么

[]

A．假设A、B、C三物体随转台一路转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B．假设A、B、C三物体随转台一路转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C．当转台转速增加时，C最先发生滑动

D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【分析】A、B、C三物体随转台一路转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．依照向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，因此三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．

A错．

三物体随转台一路转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=mω2r，因此三物体受到的静摩擦力的大小别离为

fA=mAω2rA=2mω2r，

fB=mBω2rB=mω2r，

fC=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r．

即物体B所受静摩擦力最小．B正确．

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设彼其间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值能够为是fm=μmg．由fm=Fn，即

得不发生滑动的最大角速度为

即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．

由于rC＞rA=rB，因此当转台的转速慢慢增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．

【答】B、C．

【例4】如图，滑腻的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m．长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线慢慢缠在A、B上．

假设细线能经受的最大张力Tm=7N，那么从开始运动到细线断裂历时多长？

【分析】小球转动时，由于细线慢慢绕在A、B两钉上，小球的转动半径会慢慢变小，但小球转动的线速度大小维持不变．

【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时刻t不断减小．

令Tn=Tm=7N，得n=8，因此经历的时刻为

【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法那么写出解答结果的通式（一样表达式）有很重要的意义．对此题，还应该熟练把握数列求和方式．

若是题中的细线始终可不能断裂，有爱好的同窗还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时刻？

【例5】如图（a）所示，在滑腻的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一路以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．现在绳的张力是多少？

假设要小球离开锥面，那么小球的角速度至少为多少？

【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳索的张力和锥面的支持力二者的合力提供向心力，在竖直方向那么合外力为零。

由此依照牛顿第二定律列方程，即可求得解答。

【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，依照牛顿第二定律，向心方向上有

T·sinθ-N·cosθ=mω2r①

y方向上应有

N·sinθ+T·cosθ-G=0②

∵r=L·sinθ③

由①、②、③式可得

T=mgcosθ+mω2Lsinθ

当小球恰好离开锥面时N=0（临界条件）

那么有Tsinθ=mω2r④

T·cosθ-G=0⑤

【说明】此题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一样能够物体为坐标原点，成立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。

【例6】杂技节目中的“水流星”演出，用一根绳索两头各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水可不能流下，如以下图所示，这是什么缘故？

【分析】水和杯子一路在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。

当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力一起提供。

只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就可不能流下来。

【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，依照牛顿第二定律

【例7】如以下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．假设自行车以速度v转过半径为R的弯道．

（1）求自行车的倾角应多大？

（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？

【分析】骑车拐弯时不摔倒必需将躯体向内侧倾斜．从图中可知，当骑车人拐弯而使躯体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过一起的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力．

【解】

（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：

（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，因此静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即

f=Mgtgα

【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两头点别离系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如以下图（g＝10m·s-2）

（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线恰好伸直且不受拉力．求现在角速度ω1．

（2）当O1A线所受力为100N时，求现在的角速度ω2．

【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。

【解】

（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如下图。

则F1cosθ=mg①

F1sinθ=mRω12②

由几何知识知

∴R=2.4mθ=37°

代入式③ω1=1.77（rad/s）

（2）当O1A受力为100N时，由

（1）式

F1cosθ=100×0.8=80（N）＞mg

由此知O2A受拉力F2。

那么对A受力分析得

F1cosθ-F2sinθ-mg=0④

F1sinθ+F2cosθ=mRω22⑤

由式（4）（5）得

【说明】向心力是一种成效力，在此题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值．在这种题目中找好临界值是关键．

[例9]一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如下图。

转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时刻为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。

当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上，若是再通过△t=2.5s光束又射到小车上，那么小车的速度为多少？

（结果保留二位数字）

[分析]激光器扫描一周的时刻T=60s，那么光束在△t=2.5s时刻内转过的角度

激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是转变的，那个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。

当小车正向N点接近时，在△t内光束与MN的夹角由45°变成30°

随着θ减小，v扫在减小假设45°时，光照在小车上，现在v扫＞v车时，尔后光点将照到车前但v扫↓v车不变，当v车＞v扫时，它们的距离在缩小。

[解]在△t内，光束转过角度

如图，有两种可能

（1）光束照射小车时，小车正在接近N点，△t内光束与MN的夹角从45°变成30°，小车走过L1，速度应为

由图可知

L1=d（tg45°-tg30°）③

由②、③两式并代入数值，得

v1=1.7m/s④

（2）光束照到小车时，小车正在远离N点，△t内光束与MN的夹角从45°为60°，小车走过L2速度为

由图可知

L2=d（tg60°-tg45°）⑥

由⑤、⑥两代并代入数值，得

v2=2.9m/s

[说明]光点在水平方向的扫描速度是转变的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。

很多人把它明白得为切向速度的分速度，即

那么扫描速度不转变，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生通过一段时刻，再照射小车的问题。

这一点速度的合成与分解应明白得正确。

另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情形（见分析）要考虑全面，不要丢解。

[例10]图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中维持水平方向，测量出A、B两点间的孤长为L，写出子弹速度的表达式。

[分析]子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生彼此作用，既阻碍筒的转速，又阻碍子弹飞行速度，因为这种阻碍忽略不讲，因此测出的子弹速度是近似值，子弹穿过圆筒的时刻，可从圆筒的转速和转过的角度求了，为了求出子弹从A点穿入到从B点穿出时圆筒转过的角度，必需作出子弹穿筒进程中圆筒转动情景的图示，与孤长L对应的圆心角为θ，θ=L/R（rad）

解：

圆筒转过的角为（π-θ），圆筒的角速为ω，子弹速度为v，穿筒的时刻为t，那么：

π-θ=ωt，ω=2πn/60rad/s

[说明]

解题进程中，物理进程示用意，是经常使用的方式，它能够使抽象的物理进程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮忙成立物理方程，最后求出答案。