三角函数化简求值精选题.docx

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三角函数化简求值精选题

三角化简求值测试题

1．若sinα＝

3

5

，α∈（－

π

，

2

π

），则cos（α＋

2

5π

）＝________.

4

3

2

2．已知π<θ<

π，则

1＋1

22

1

＋1

cosθ＝________.

22

cos10°＋3sin10°

＝________.3．计算：

1－cos80°

4．函数y＝2cos

2x＋sin2x的最小值是__________________．

1

22

5．函数f（x）＝（sinx＋x＋

2x）（cos

2010sin

1

2010cos2x）的最小值是________．

2x）的最小值是________．

2

5

，tan（β－

6．若tan（α＋β）＝

π

1π

，则tan（α＋

4）＝4）＝_____.

4

1

的值为________．7．若3sinα＋cosα＝0，则

2α＋sin2αcos

8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．

9．若tanα＋

110

π

＝，

，α∈（

tanα34

ππ

2），则sin（2α＋4）的值为_________．

10．若函数f（x）＝sin2x－2sin

2x·sin2x（x∈R），则f（x）的最小正周期为________．

11．

2cos5°－sin25°

的值为________．

cos25°

12．向量a＝（cos10，°sin10）°，b＝（cos70，°sin70）°，|a－2b|＝________________.

13．已知

1－cos2α

＝1，tan（β－α）＝－

sinαcosα

1

3

，则tan（β－2α）＝________.

14．设a＝sin14＋°cos14°，b＝sin16＋°cos16°，c＝

6

，则a、b、c的大小关系是________.

2

π

15．已知角α∈（

，

4

π

），且（4cosα－3sinα）（2cosα－3sinα）＝0.

2

（1）求tan（α＋

ππ

－2α）的值．

）的值；

（2）求cos（

43

2

sin2α＋cos（π－α）π

16.已知tanα＝2.求

（1）tan（α＋）的值；

（2）41＋cos2α

的值．

17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，

3

若点A的坐标为（

5

，

4

5），记∠COA＝α.

（1）求

1＋sin2α

的值；

（2）求|BC|2的值．

2的值．

1＋cos2α

18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝

sinA＋sinB

cosA＋cosB

，sin（B－A）＝cosC.，，求角A。

参考答案与解析

1．若sinα＝

3

5

，α∈（－

π

，

2

π

），则cos（α＋

2

5π

）＝________.

4

ππ

345π

解析：

由于α∈（－

，

），sinα＝得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得：

cos（α＋）＝－

22554

2

（cosα－sinα）＝－

2

2

.

10

3

2

2．已知π<θ<

π，则

1

2

＋

1

2

1

2

＋

1

2

cosθ＝________.

3π

解析：

∵π<θ<

，∴

2

πθ3ππθ

3π

<<，

<<.

224448

11

＋

22

1

2

＋

1

cosθ＝

2

11

＋

22

2θ

cos

2

＝

1

－

2

1

θθ

cos＝sin.

224

3．计算：

cos10°＋3sin10°

＝________.

1－cos80°

解析：

cos10°＋3sin10°2cos（10－°60°）

＝＝

2sin240°

240°

1－cos80°

2cos50°

＝2.

2sin40°

4．函数y＝2cos

2x＋sin2x的最小值是__________________．

2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1解析：

y＝2cos

π

＝2sin（2x＋）＋1≥1－2.

4

5．函数f（x）＝（sin2x）（cos2x）的最小值是________．

2x＋12x＋1

2010sin2010cos

解析：

f（x）＝

（2010sin4x＋1）（2010cos4x＋1）

4x＋1）（2010cos4x＋1）

20102sin2xcos2x

2sin2xcos2x

2010

2sin4xcos4x＋2010（sin4x＋cos4x）＋1＝

2010

2sin2xcos2x

2≥2

＝sin2sin2xcos2x－

2xcos2x＋2011

201020102010

（2011－1）．

21

ππ

，tan（β－，则tan（α＋

6．若tan（α＋β）＝）＝）＝_____.

5444

π

tan（α＋β）－tan（β－）

4

ππ

解析：

tan（α＋

）＝tan[（α＋β）－（β－）]＝＝

44

π

1＋tan（α＋β）tan（β－

的值为________．

4）

1

7．若3sinα＋cosα＝0，则

2α＋sin2α

cos

21

－

54

1＋

2

×

5

3

＝.

122

4

1

解析：

由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则

＝

2

cosα＋sin2α

2α＋cos2α

sin

＝

2

cosα＋2sinαcosα

2α＋sin2α

9sin

10

3

＝

.

22

9sinα－6sin

α

8．设a＝sin14＋°cos14°，b＝sin16＋°cos16°，c＝

6

，则a、b、c的大小关系是

2

解析：

a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴a

1

2

或a＝1＋sin28<1°＋＝

2

31

2

，b＝1＋sin32>1°＋＝

22

33

2

，c＝，∴a

22

9.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．

22

解析：

原式＝4cos＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.4＋2（sin4－cos4）

10．若tanα＋

110π

＝，

，α∈（

tanα34

π

），则sin（2α＋

2

π

）的值为_________．

4

π

解析：

由题意知，tanα＝3，sin（2α＋

）＝

4

22tanα

（sin2α＋cos2α），而sin2α＝＝

2

2α

1＋tan

2α

1－tan

3

5

，cos2α＝＝－

2α

1＋tan

4π

.∴sin（2α＋）＝

54

2

2

3

5

（

－

4

5

）＝－

2

.

10

2

11．若函数f（x）＝sin2x－2sinx·sin2x（x∈R），则f（x）的最小正周期为________．

2x）＝sin2xcos2x＝1

sin4x，所以T＝

解析：

f（x）＝sin2x（1－2sin

2

2π

＝

4

π

.

2

12．

2cos5°－sin25°

的值为________．

cos25°

解析：

由已知得：

原式＝

2cos（30－°25°）－sin25°

＝

cos25°

3cos25°

＝3.

cos25°

13．向量a＝（cos10，°sin10）°，b＝（cos70，°sin70）°，|a－2b|＝________________.

222

解析：

|a－2b|

＝（cos10－°2cos70）°＋（sin10－°2sin70）＝°5－4cos10co°s70－°4sin10sin°70＝°5－4cos60＝°3，∴|a－2b|＝3.

14．已知

1－cos2α

＝1，tan（β－α）＝－

sinαcosα

1

3

，则tan（β－2α）＝________.

解析：

因为

1－cos2α

＝1，即1－

sinαcosα

2α

1－tan

1

×

＝

2

2

1＋tanα

2tanα

，所以2tanα＝1，即tanα＝

2

1＋tan

α

1

2

，所以tan（β－2α）＝tan（β－α－α）＝

11

－－

tan（β－α）－tanα

32

＝

＝－1.

11＋tan（β－α）tanα1－

6

π

15．已知角α∈（

，

4

π

2），且（4cosα－3sinα）（2cosα－3sinα）＝0.

（1）求tan（α＋

ππ

－2α）的值．

4）的值；

（2）求cos（

3

解：

∵（4cosα－3sinα）（2cosα－3sinα）＝0，ππ443

又α∈

（2），∴tanα＝，sinα＝，cosα＝

，，

4355

π4tanα＋tan＋1π43＝＝－7.

（1）tan（α＋π4

4）＝

1－tanαtan1－

43

2

（2）cos2α＝2cosα－1＝－

724

，sin2α＝2sinαcosα＝，

2525

243－7ππ17324

π

×（－

cos（－2α）＝coscos2α＋sin）＋.

sin2α＝×

＝

33322522550

π

sin2α＋cos

2（π－α）

16．已知tanα＝2.求

（1）tan（α＋）的值；

（2）41＋cos2α

的值．

π

解：

（1）∵tan（α＋

4）＝

1＋tanα

π

，tanα＝2，∴tan（α＋

1－tanα

4）＝

1＋2

1－2

＝－3.

sin2α＋cos2sinαcosα＋cos2（π－α）2

2（π－α）2

α

（2）2α＝

＝

2cos

1＋cos2α

2sinα＋cosα

15

＝tanα＋＝

17.

2cosα2

17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，

3

5

若点A的坐标为（

，

4

），记∠COA＝α.

5

（1）求

1＋sin2α

的值；

（2）求|BC|2的值．

2的值．

1＋cos2α

3

5

解：

（1）∵A的坐标为（

，

4

5

），根据三角函数的定义可知，sinα＝

43

，cosα＝，

55

1＋sin2α1＋2sinαcosα

∴

＝2α＝

2cos

1＋cos2α

49

18.

31

（2）∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴cos∠COB＝cos（α＋60°）＝cosαcos60°－sinαsin60.°＝

×－

52

4

5

×

3－43

3

＝，

210

222

∴|BC|

＝|OC|＋|OB|－2|OC||·OB|cos∠COB＝1＋1－2×

3－43

＝

10

7＋43

.

5

18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝

sinA＋sinB

cosA＋cosB

，sin（B－A）＝cosC.

（1）求角A，C.

（2）若S△ABC＝3＋3，求

a，c.

sinA＋sinB

cosA＋cosB

解：

（1）因为tanC＝

，即

sinC

＝

cosC

sinA＋sinB

cosA＋cosB

，

所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，

即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，

得sin（C－A）＝sin（B－C），

所以C－A＝B－C，或C－A＝π－（B－C）（不成立），

即2C＝A＋B，得C＝

π

，所以B＋A＝

3

2π

3.

又因为sin（B－A）＝cosC＝

1

π

，则B－A＝或B－A＝

26

5π

（舍去），

6

得A＝

πππ

5π

，B＝.故A＝，C＝.

41243

（2）S

△ABC＝

1

2

acsinB＝

6＋2

ac＝3＋3，又

8

a

＝

sinA

c

，即

sinC

a

＝

2

c

，

3

22

得a＝22，c＝23.

清代“红顶商人”胡雪岩说：

“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。

”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。

人生能有几回搏，有生不搏待何时！

所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！

我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成功！

一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。

正如郑板桥所具有的人格和精神：

“咬定青山不放松，立根原在破岩中。

千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。

”

梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。

前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为顺境，将梦想变为现实。

实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！