完整版高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案推荐文档.docx
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函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数y=f（x），我们把方程f（x）=0的实数根叫做函数y=f（x）的零点。
（2）方程f（x）=0有实根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）=0是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：
解方程f（x）=0，所得实数根就是
f（x）的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数f（x）在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f（x）的变号零点。
②若函数f（x）在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f（x）的不变号零点。
③若函数f（x）在区间[a,b]上的图像是一条连续的曲线，则f（a）f（b）<0是f（x）在区间
（a,b）内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：
如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，
并且有f（a）⋅f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在x0∈（a,b），使得f（x0）=0，这个x0也就是方程f（x）=0的根。
（2）函数y=f（x）零点个数（或方程f（x）=0实数根的个数）确定方法
①代数法：
函数y=f（x）的零点⇔f（x）=0的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系
起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
∆>0⇔y=f（x）有2个零点⇔f（x）=0有两个不等实根；
∆=0⇔y=f（x）有1个零点⇔f（x）=0有两个相等实根；
∆<0⇔y=f（x）无零点⇔f（x）=0无实根；对于二次函数在区间[a,b]上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、二分法
（1）二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f（a）⋅f（b）<0的函数y=f（x）,通过不断地把函数y=f（x）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间[a,b],验证f（a）⋅f（b）<0,给定精确度;
②求区间（a,b）的中点c;
③计算f（c）;
（ⅰ）若f（c）=0,则c就是函数的零点;
（ⅱ）若f（a）⋅f（c）<0,则令b=c（此时零点x0∈（a,c））;
（ⅲ）若f（c）⋅f（b）<0,则令a=c（此时零点x0∈（c,b））;
④判断是否达到精确度,即a-b<,则得到零点近似值为a（或b）;否则重复②
至④步.
【经典例题】
1．函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是
（
）
A、0B、1
C、2
D、3
2．函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是
A、（－2，－1）B、（－1,0）
（
）
C、（0,1）
D、（1,2）
3．若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.
4．设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0,1]时，f（x）
=x3.又函数g（x）=|xcos（x）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-13
22
上的零点个数
为（）
A、5B、6C、7D、85．函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（）
A、4B、5C、6D、76．函数f（x）=-cosx在[0,+∞）内（）
A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有
无穷多个零点
7．对实数a和b，定义运算“?
”：
a?
b＝Error!
设函数f（x）＝（x2－2）?
（x－x2），x∈R，
若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）
－1，3－1，－3
A、（－∞，－2]∪B、（－∞，－2]∪
11314
（－1，4）
（，＋∞）
（－1，－4）
[，＋∞）
C、∪D、∪4
8．已知函数f（x=logax+x-b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（）的零点x0∈（n,n+1）,n∈N*,则n=.
9.求下列函数的零点：
（1）f（x）=x3-2x2-x+2；
（2）f（x）=x-4.
x
10.判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点
（精确度0.1）．
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为（）
A、（-1,0）B、1C11D13
（0,）
44
、（,）
42
、（,）
24
2、若x0是方程lgx+x=2的解，则x0属于区间（）
A、（0,1）B、（1,1.25）C、（1.25,1.75）D、（1.75,2）
3、下列函数中能用二分法求零点的是（）
4、函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）
5、设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是
（）
A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]
6、函数f（x）=-cosx在[0，+∞﹚内（）
A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点
7、若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f（x）可以是（）
A、f（x）=4x-1
f（x）=ln（x-1）
2
B、f（x）=（x-1）2C、f（x）=ex-1D、
8、下列函数零点不宜用二分法的是（）
A、f（x）=x3-8
f（x）=-x2+4x+1
B、f（x）=lnx+3C、f（x）=x2+22x+2D、
9、函数f（x）=log2x+2x-1的零点必落在区间（）
A、⎛1,1⎫B、⎛1,1⎫C、⎛1⎫D、（1,2）
ç⎪
⎝84⎭
ç⎪
⎝42⎭
ç,1⎪
⎝2⎭
10、lgx-1=0有解的区域是（）
x
A、（0,1]B、（1,10]C、（10,100]D、
（100,+∞）
11、在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为（）
A、（-1,0）
4
B、（01,）
4
C、1（1,）
42
D、1（3,）
24
12、函数f（x）=x+log2x的零点所在区间为（）
1
A、[0,]
8
11
B、[,]
84
11
C、[,]
42
1
D、[,1]
2
13、设f（x）=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1,2）内近似解的过程中
得f
（1）<0,f（1.5）>0,f（1.25）<0,则方程的根落在区间（）
A、（1,1.25）B、（1.25,1.5）C、（1.5,2）D、不能确定
14、设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（
）
A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]
⎧x2+2x-3,x≤0
15、函数f（x）=⎨-2+lnx,x>0，零点个数为（）A、3B、2C、1
D、0⎩
16、若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=
－0.984
f
（1.375）=
f
（1.4375）=
f
（1.40625）=
－0.260
0.162
－0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5
17、方程2-x+x2=3的实数解的个数为.
18、已知函数f（x）=x2+（a2-1）x+a-2的一个零点比1大，一个零点比1小，求
实数a的取值范围。
19、判断函数f（x）=4x+x2-2x3在区间[-1,1]上零点的个数，并说明理由。
3
20、求函数f（x）=x3+2x2-3x-6的一个正数零点（精确度0.1）．
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）
2、设f（x）=3x-x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）
A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]
3、已知f（x）唯一的零点在区间（1,3）、（1,4）、（1,5）内，那么下面命题错误的（
）
A、函数f（x）在（1,2）或[2,3）内有零点B、函数f（x）在（3,5）内无零点
C、函数f（x）在（2,5）内有零点D、函数f（x）在（2,4）内不一定有零点
4、若函数f（x）=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是（
）
A、（-2,2）B、[-2,2]C、（-∞,-1）D、（1,+∞）5、函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（
）
A、（－1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）
6、求函数f（x）=2x3-3x+1零点的个数为（）
A、1B、2C、3D、47、如果二次函数y=x2+x+m+3有两个不同的零点，则m的取值范围是
（）
A、11
B、（-∞11
C、（-∞11
（,+∞）
）,）
424
D、11
（,+∞）
2
8、方程lgx-x=0根的个数为（）A、无穷多f（3）B、3
C、1D、0
9、用二分法求方程f（x）=0在（1,2）内近似解的过程中得
f
（1）<0,f（1.5）>0,f（1.25）<0f
（1）<0，则方程的根在区间（）
A、（1.25,1.5）B、（1,1.25）C、（1.5,2）D、不能
确定
1
10、设函数f（x）1＝3x－lnx（x＞0），则y＝f（x）（）1
A、在区间（e，1），（1，e）内均有零点B、在区间（e，1），（1，e）内均无
零点11
C、在区间（e，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D、在区间（e，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
11、设函数f（x）=lnx-1x2+1（x>0），则函数y=
2
f（x）（）
A、在区间（0,1），（1,2）内均有零点B、在区间（0,1）内有零点，在区间（1,2）内无零点
C、在区间（0,1），（1,2）内均无零点D、在区间（0,1）内无零点，在区间（1,2）内有零点
12、用二分法研究函数f（x）=x3+3x-1的零点时，第一次经计算f（0）<0，f（0.5）>0，可得其中一个零点x0∈，第二次应计算.以上横线上应填的
内容为（）
A、（0，0.5），f（0.25）B、（0，1），f（0.25）C、（0.5，1），f（0.75）
D、（0，0.5），f（0.125）
13、函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是（）
A、0B、1C、2D、3
14、（已知函数f（x）=logax+x-b（a>0,且a≠1）.当2x0∈（n,n+1）,n∈N*,则n=.
15、用二分法求函数y=f（x）在区间（2,4）上的近似解，验证f
（2）·f（4）<0，给定精确
2＋4
度ε＝0.01，取区间（2,4）的中点x1＝点x0∈．
2＝3，计算得f
（2）·f（x1）<0，则此时零
16、已知函数f（x）＝Error!
若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是．
17、函数f（x）=x2-5x+6的零点组成的集合是.
18、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为
x0=2.5，那么下一个有根的区间是
19、函数f（x）=lnx-x+2的零点个数为.
20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度0.1）．
【考纲说明】
函数与方程
2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数y=f（x），我们把方程f（x）=0的实数根叫做函数y=f（x）的零点。
（2）方程f（x）=0有实根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）=0是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：
解方程f（x）=0，所得实数根就是
f（x）的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数f（x）在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f（x）的变号零点。
②若函数f（x）在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f（x）的不变号零点。
③若函数f（x）在区间[a,b]上的图像是一条连续的曲线，则f（a）f（b）<0是f（x）在区间
（a,b）内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：
如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，
并且有f（a）⋅f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在x0∈（a,b），使
得f（x0）=0，这个x0也就是方程f（x）=0的根。
（2）函数y=f（x）零点个数（或方程f（x）=0实数根的个数）确定方法
①代数法：
函数y=f（x）的零点⇔f（x）=0的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
∆>0⇔y=f（x）有2个零点⇔f（x）=0有两个不等实根；
∆=0⇔y=f（x）有1个零点⇔f（x）=0有两个相等实根；
∆<0⇔y=f（x）无零点⇔f（x）=0无实根；对于二次函数在区间[a,b]上的零点个数，要结合图像进行确定.
4、二分法
（1）二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f（a）⋅f（b）<0的函数y=f（x）,通过不断地把函数y=f（x）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间[a,b],验证f（a）⋅f（b）<0,给定精确度;
②求区间（a,b）的中点c;
③计算f（c）;
（ⅰ）若f（c）=0,则c就是函数的零点;
（ⅱ）若f（a）⋅f（c）<0,则令b=c（此时零点x0∈（a,c））;
（ⅲ）若f（c）⋅f（b）<0,则令a=c（此时零点x0∈（c,b））;
④判断是否达到精确度,即a-b<,则得到零点近似值为a（或b）;否则重复②
至④步.
【经典例题】
【例1】函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是
（
）
A、0B、1C、2
D、3
【答案】B
【解析】解法1：
因为f（0）=1+0-2=-1，f
（1）=2+23-2=8，即f（0）⋅f
（1）<0且函数
f（x）在（0,1）内连续不断，故f（x）在（0,1）内的零点个数是1.
解法2：
设1y=2x，2y=2-x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：
可知
B正确.
【例2】函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（）
A、（－2，－1）B、（－1,0）C、（0,1）D、（1,2）
【答案】B
5
【解析】∵f（－1）＝2－1＋3×（－1）＝－2<0，f（0）＝20＋0＝1>0，
∴f（－1）f（0）<0.
∴f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间为（－1,0）．
【例3】若函数f（x）=ax-x-a
【答案】（1，+∞）
【解析】函数f（x）=ax-x-a
（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.
（a>0且a≠1）有两个零点，方程ax-x-a=0有两个不相等
的实数根，即两个函数y=ax与y=x+a的图像有两个不同的交点，当01时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例4】设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0,1]时，
f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（x）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-13
22
上的零点
个数为（）
A、5B、6C、7D、8
【答案】B
【解析】因为当x∈[0,1]时，f（x）=x3.所以当x∈[1,2]时，（2-x）∈[0,1]，f（x）=f（2-x）=（2-x）3，
113
当x∈[0,]时，g（x）=xcos（x）；当x∈[,]时，g（x）=-xcos（x），注意到函数
222
f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f
（1）=g
（1），g
（1）=g（3）=0，作出
22
函数f（x）、g（x）的大致图象，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[-1,0]、[1][1,1]、3上各有一个零点，共有6个零点，故选B
0,、
2222
【例5】函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（）
A、4B、5C、6D、7
【答案】C
π
【解析】：
f（x）=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+2,k∈Z，又x∈[0,4]，
k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．
【例6】函数f（x）=-cosx在[0,+∞）内（）
A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点
【答案】B
【解析】解法一：
数形结合法，令f（x）=-cosx=0，则=cosx，设函数
y=和y=cosx，它们在[0,+∞）的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f（x）=-cosx在[0,+∞）内有且仅有一个零点；
解法二：
在x∈+∞）上，
2
>
1，cosx≤1，所以f（x）=-cosx>0；
在x∈（0,]，f'（x）=
2
1+sinx>0，所以函数f（x）=-cosx是增函数，又因为
f（0）=-1，
2
=>0，所以f（x）=-cosx在x∈
[0,]
2
上有且只有一个零
点．
【例7】对实数a和b，定义运算“?
”：
a?
b＝Error!
设函数f（x）＝（x2－2）?
（x－x2），
x∈R，若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）
－1，3－1，－3
2
11314
C、（－1，4）∪（4，＋∞）
【答案】B
【解析】f（x）＝Error!
＝Error!
则f（x）的图象如图
D、（－1，－4）∪[4，＋∞）
∵y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y＝f（x）与y＝c的图象恰有两个公共点，
3
由图象知c≤－2，或－1【例8】已知函数f（）=logax+x-b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数
f（）的零点x0∈（n,n+1）,n∈N*,则n=.
【答案】5
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