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1、完整版高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案推荐文档函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数 y = f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y = f (x) 的零点。（2）方程 f (x) = 0 有实根 函数 y = f (x) 的图像与 x 轴有交点 函数 y = f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是f (x) 的零点（3）变号零点与不变号零点若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函

2、数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。若函数 f (x) 在区间a, b上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数 y = f (x) 在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 y = f (x) 有 2 个零点 f (x) = 0 有两个不等实根； = 0 y = f (x) 有 1 个零点 f (x) = 0 有两个相等实根

3、； 0 y = f (x) 无零点 f (x) = 0 无实根；对于二次函数在区间a, b上的零点个数， 要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间a, b 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y = f (x),通过不断地把函数 y = f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间a, b,验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ;求区间(a, b) 的中点c ;计算 f (c) ;()若 f (c) = 0 ,则c 就是函数的零点;() 若 f

4、 (a) f (c) 0 ,则令b = c (此时零点x0 (a, c) );() 若 f (c) f (b) 0 ,则令a = c (此时零点x0 (c, b) );判断是否达到精确度 ,即 a - b 0 且 a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4设函数 f(x) (x R) 满足 f( -x )=f(x)，f(x)=f(2 - x)，且当 x 0,1 时，f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos( x)|，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在- 1 32 2上的零点个数为 （ ）A、5 B、6 C、7 D、8 5函数 f (x) = x cos x2 在区间0,4上的零

5、点个数为 （ ）A、4 B、5 C、6 D、7 6函数 f (x) = - cos x 在0, +) 内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点7对实数 a 和 b，定义运算“?”：a?bError!设函数 f(x)(x22)?(xx2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( )1，3 1，3A、(，2 B、(，21 1 3 1 4 (1，4)( ，)(1，4) ，)C、 D、 48已知函数f（x = loga x + x - b(a0，且 a 1). 当 2a3b4 时，函数f（） 的零点 x0

6、(n, n +1), n N* ,则n= .9.求下列函数的零点：（1） f (x) = x3 - 2x2 - x + 2 ； （2） f (x) = x - 4 .x10.判断函数 yx3x1 在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)【课堂练习】1、在下列区间中，函数 f (x) = ex + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ）A、(- 1 , 0) B、 1 C 1 1 D 1 3 (0, )4 4、( , )4 2、( , )2 42、若 x0 是方程lg x + x = 2 的解，则 x0 属于区间 （ ）A、(0,1) B、(1,1.25) C、(

7、1.25,1.75) D、(1.75, 2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、函数 f (x)=2 x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）5、设函数 f (x)=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是（ ）A、-4,-2 B、-2,0 C、0,2 D、2,46、函数 f (x)= - cos x 在0， + 内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点7、若函数 f (x) 的零点与 g(x) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值

8、不超过 0.25，则f (x) 可以是（ ）A 、 f (x) = 4x -1f (x) = ln(x - 1 )2B、 f (x) = (x -1)2 C、 f (x) = ex -1 D、8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、 f (x) = x3 - 8f (x) = -x2 + 4x +1B、 f (x) = ln x + 3 C 、 f (x) = x2 + 2 2x + 2 D、9、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 （ ）A、 1 , 1 B、 1 , 1 C、 1 D、(1,2) 8 4 4 2 ,1 2 10、lg x - 1 = 0 有解的区域是

9、 （ ）xA、(0, 1 B、(1, 10 C、(10, 100 D、(100, + )11、在下列区间中，函数 f (x) = ex + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ）A、(- 1 , 0)4B 、 (01, )4C、1 (1, )4 2D、1 (3, )2 412、函数 f (x) = x+ log2 x 的零点所在区间为（ ）1A、 0, 81 1B、 , 8 41 1C、 , 4 21D、 ,1213、设 f (x)= 3x + 3x - 8 ,用二分法求方程3x + 3x - 8 = 0在x (1,2)内近似解的过程中得 f (1) 0, f (1.25) 0 ， 零点个数

10、为（ ）A、3 B、2 C、1D、0 16、若函数 f (x) = x3 + x2 - 2x - 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1) = 2f (1.5) = 0.625f (1.25) =0.984f(1.375) =f(1.4375) =f(1.40625) =0.2600.1620.054那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0 的一个近似根（精确到 0.1）为 （ ）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.517、方程2-x + x2 = 3 的实数解的个数为 .18、已知函数 f (x) = x2 + (a2 -1)x + a - 2

11、的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数a 的取值范围。19、判断函数 f (x) = 4x + x2 - 2 x3 在区间-1,1 上零点的个数，并说明理由。320 、求函数 f (x) = x3 + 2x2 - 3x - 6 的一个正数零点(精确度 0.1)【课后作业】1、下列函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设 f (x) = 3x - x2 ，则在下列区间中，使函数 f (x) 有零点的区间是 ( )A、0,1 B、1,2 C、2，1 D、1,03、已知 f (x) 唯一的零点在区间(1,3) 、(1,4) 、(1,5) 内，那么下面命题错误

12、的 （）A、函数 f (x) 在(1, 2) 或2, 3)内有零点 B、函数 f (x) 在(3, 5) 内无零点C、函数 f (x) 在(2, 5) 内有零点 D、函数 f (x) 在(2, 4) 内不一定有零点4、若函数 f (x) = x3 - 3x + a 有 3 个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （）A、(-2, 2) B、-2, 2 C、(-, -1) D、(1, +) 5、函数 f (x) = x + ln x 的零点所在的区间为 （）A、（1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e）6、求函数 f (x) = 2x3 - 3x + 1 零点的个数为 （ ）A、1

13、 B、 2 C、3 D、4 7、如果二次函数 y = x2 + x + m + 3 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A、 11B、(- 11C、(- 11( , +), ) , )4 2 4D、 11( , +)28、方程lg x - x = 0 根的个数为 （ ） A、无穷多f(3) B、3C、1 D、09、用二分法求方程 f (x) = 0 在(1,2)内近似解的过程中得f (1) 0, f (1.25) 0 f(1) 0) ，则函数 y =2f (x) ( )A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，

14、(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数 f (x) = x3 + 3x -1的零点时，第一次经计算 f (0) 0 ， 可得其中一个零点 x0 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A、（0，0.5）， f (0.25) B、（0，1）， f (0.25) C、（0.5，1）， f (0.75)D、（0，0.5）， f (0.125)13、函数 f (x) = 2 x + x3 - 2 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A、0 B、1 C、2 D、314、（已知函数 f (x) = loga x + x - b(a

15、0, 且a 1).当2 a 3 4 是，函数 f (x) 的零点x0 (n, n +1), n N *, 则 n= .15、用二分法求函数 y = f (x) 在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)f(4)0，给定精确24度 0.01，取区间(2,4)的中点 x1 点 x0 2 3，计算得 f(2)f(x1)0，则此时零16、已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 17、函数 f (x) = x 2 - 5x + 6 的零点组成的集合是 .18、用“二分法”求方程 x3 - 2x - 5 = 0 在区间2, 3 内的实根，取区间

16、中点为x0 = 2.5 ，那么下一个有根的区间是 19、函数 f (x) = ln x - x + 2 的零点个数为 .20、证明方程 63x2x 在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)【考纲说明】函数与方程2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数 y = f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y = f (x) 的零点。（2）方程 f (x) = 0 有实根 函数 y = f (x) 的图像与 x 轴有交点

17、 函数 y = f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是f (x) 的零点（3）变号零点与不变号零点若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。若函数 f (x) 在区间a, b上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。2、函数

18、零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数 y = f (x) 在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 y = f (x) 有 2 个零点 f (x) = 0 有两个不等实根； = 0 y = f (x) 有 1 个零点 f (x) = 0 有两个相等实根； 0 y = f (x) 无零点 f (x) = 0 无实根；对于二次函数在区间a, b上的零点个数， 要结合图像进行确定.4、二分法（1）二分法的定义:对于在区间a, b 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y = f (x),通过不断地把函数 y = f (x) 的零点所在的区间一分为二,使

19、区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间a, b,验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ;求区间(a, b) 的中点c ;计算 f (c) ;()若 f (c) = 0 ,则c 就是函数的零点;() 若 f (a) f (c) 0 ,则令b = c (此时零点x0 (a, c) );() 若 f (c) f (b) 0 ,则令a = c (此时零点x0 (c, b) );判断是否达到精确度 ,即 a - b ,则得到零点近似值为a (或b );否则重复至步.【经典例题】【例 1】 函数 f (x)=2x +x3

20、- 2 在区间(0,1) 内的零点个数是（）A、0 B、1 C、2D、3【答案】B【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 - 2= -1， f (1)=2+23 - 2=8 ，即 f (0) f (1)0 且函数f (x) 在(0,1) 内连续不断，故 f (x) 在(0,1) 内的零点个数是 1.解法 2：设 1y =2x ， 2 y =2 - x3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.【例 2】 函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 ( )A、(2，1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)【答案】B5【解析】 f(1)213(1)20， f(1

21、) f(0) 0 且 a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .( a 0 且 a 1)有两个零点， 方程ax - x - a = 0 有两个不相等的实数根，即两个函数 y = a x 与 y = x + a 的图像有两个不同的交点，当0 a 1 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例 4】设函数 f(x) (x R) 满足 f( -x )=f(x)，f(x)=f(2 - x)，且当 x 0,1 时，f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos( x)|，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在- 1 32 2上的零点个数为 （ ）A、5 B、6 C、7 D、8【答案】B【解析】因为

22、当 x 0,1 时，f(x)=x3. 所以当 x 1, 2 时， (2 - x) 0,1 ， f (x) = f (2 - x) = (2 - x)3 ，1 1 3当x 0, 时， g(x) = x cos( x) ；当 x , 时， g(x) = -x cos( x) ，注意到函数2 2 2f(x)、 g(x)都是偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， g( 1 ) = g( 3) = 0 ，作出2 2函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间- 1 , 0、 1 1 , 1、 3 上各有一个零点，共有 6 个零点，故选

23、B0, 、, 2 2 2 2【例 5】函数 f (x) = x cos x2 在区间0,4上的零点个数为 （ ）A、4 B、5 C、6 D、7【答案】C【解析】：f(x)=0，则 x=0 或 cosx2=0，x2=k+ 2 ,kZ，又 x0,4，k=0,1,2,3,4，所以共有 6 个解选 C【例 6】函数 f (x) = - cos x 在0, +) 内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令 f (x) = - cos x = 0 ，则 = cos x ，设函数y = 和 y = cos x ，它们在0,

24、+) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 f (x) = - cos x 在0, +) 内有且仅有一个零点；解法二：在 x +) 上，21 ， cos x 1 ，所以 f (x) = - cos x 0 ； 在x (0, ， f(x) =21 + sin x 0 ，所以函数 f (x) = - cos x 是增函数，又因为f (0) = -1， 2= 0 ，所以 f (x) = - cos x 在 x 0, 2上有且只有一个零点【例 7】对实数 a 和 b，定义运算“?”：a?bError!设函数 f(x)(x22)?(xx2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( )1，3 1，321 1 3 1 4C、(1，4)(4，)【答案】B【解析】f(x)Error! Error! 则 f (x)的图象如图D、(1，4)4，) yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， yf(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，3由图象知 c2，或1c4.【例 8】已知函数f（） = loga x + x - b(a0，且 a 1). 当 2a3b4 时，函数f（） 的零点 x0 (n, n +1), n N *,则n= .【答案】5