线性代数重要公式.docx

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线性代数重要公式

线性代数重要公式

【线性代数重要公式】

展开后有/项，可分解为2”行列式;

1＞行列式

1•〃行列式共有沪个元素，

2.代数余子式的性质：

1、如和厲的大小无关;

2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|州；

3.代数余子式和余子式的关系：

Mti=（一1）®角令=（-l）J+^Vf..

4.设”行列式

将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为0,贝恂=（T）咛。

;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为如则卩=（一1）咛D；将。

主对角线翻转后（转置），所得行列式为0,则0=0；

将。

主副角线翻转后，所得行列式为0,则—°；

5.行列式的重要公式：

1、主对角行列式：

主对角元素的乘积；

2、副对角行列式：

副对角元素的乘积X（-1）^；

3、上、下三角行列式（m=M）:

主对角元素的乘积;

4、LI和|引：

副对角元素的乘积x（-i）^2:

5、拉普拉斯展开式:

就以冷小:

:

十严I咖

6、范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积；

7、特征值；

6.对于“阶行列式国,恒有：

\ae-a\=An,其中乂为&阶主子式;

7.证明|A|=0的方法：

1、心同；

2、反证法；

3、构造齐次方程组Ar=0,证明其有非零解；

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4、利用秩，证明f（A）

5、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.A是”阶可逆矩阵：

o|a|hO（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

oA的行（列）向量组线性无关；

O齐次方程组Ar=0有非零解；

u>gRn9Ax=b总有唯一解；

oA与E等价；

oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

o"A是正定矩阵；

04的行（列）向量组是川的一组基；

oA是R”中某两组基的过渡矩阵；

2•对于“阶矩阵A:

AA-=A'A=\A\E无条件恒成立；

3.（A-*）*=（AT*（A~'）T=（At）-*（A*）r=（Ar）•

（AB）t=BtAt（AB）'=B'A*（AB）-'=B'A'

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、〃可逆：

若人=A-.，贝9：

<儿丿

I、lAl=lAi||A2h-|A|；

II、宀〕；

A；1

t✓

线性代数重要公式

2md；（主对角分块）

3、©:

即；（副对角分块）

4、C了鳥J；门；（拉普拉斯）

（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个""矩阵心总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

弋刖;

等价类:

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B,若心）=小）0A〜〃；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非0元素必须为

3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3•初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

1、若G4.E）［（E.X）,贝A可逆，且X=Ax；

2、对矩阵（4⑵做初等行变化，当A变为E时，B就变成犷叭即：

③、求解线形方程组：

对于"个未知数"个方程Av",如果（A.b）〜（E,x）9则4可逆，且一旦；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

线性代数重要公式

*

2、A=人.,左乘矩阵A,人乘4的各行元素；右乘，人乘A的

■

各列元素；

（1Y'（[}

3、对调两行或两列，符号E（i.j）,且E（iJ）"=E（iJ）,例如：

1=1；

④、倍乘某行或某列，符号E（i（k",且£（<（*））-*=E（i（l））,例如：

71

VZ

⑤、倍加某行或某列，符号E（ij（k））,且E（u（k）y'=E（ij（-k））,如：

k

-1

<1

—k

=

1

]丿

1

1

✓

伙h0）；

5.

①、

矩阵秩的基本性质:

0

②、r（AT）=r（A）；

3、若A-B,贝勺"4）=r（B）；

4

、若尸、。

可逆，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

5

、

⑦、

8、如果A是必“矩阵，〃是“矩阵，且AB=O,贝U：

（探）

I、〃的列向量全部是齐次方程组忒“解（转置运算后的结论）;

11、r（A）^r（B）

⑨、若A、〃均为”阶方阵，则r（AB）>r（A）+r（B）-n；

6.三种特殊矩阵的方幕：

线性代数重要公式

1、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量）x行矩阵（向量）的形式，再釆用结合律；

__flac

2、型如0—的矩阵：

利用二项展开式；

〔001,

二项展开式：

S+力r+…矿+…+C「'a'bZ=丈c：

a唧卜川；

IW-0

③、A-=|A|A-*>|A*|=|A|h-*

8.关于A矩阵秩的描述：

1、心）=“小中有”阶子式不为0,心阶子式全部为0;（两句话）

2、心）<”，A中有“阶子式全部为0；

3、心）“，A中有〃阶子式不为0；

9.线性方程组tAx=b9其中A为〃"矩阵，则：

1、加与方程的个数相同，即方程组有加个方程；

2、"与方程组得未知数个数相同，方程组为〃元方程；10・线性方程组Ax=b的求解：

1、对增广矩阵〃进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

3、特解：

自由变量赋初值后求得；

11.由〃个未知数加个方程的方程组构成”元线性方程：

线性代数重要公式

"11ai2・••a\H

②、

ai\a22'••am

••••

x.

■

■

=

b、

■

•

•

■

OAx=b（向更方程，A为mxn矩阵，加个方程，n

6TIMi•••,

uiim2mn

bfn/'

①、

"|!

兀1+・=S

021"1+a21X2+••・^a2HXH=g

%斗+%”2+・・+%斗=®

个未知数）

纠

（全部按列分块，其中"％）;

IJ

（线性表出）

⑤、有解的充要条件：

r（A）=r（A.fi）

4、向量组的线性相关性

1•加个n维列向更所组成的向車组4:

鸟心,…,％构成“X加矩阵4=（久逐,•••,％）；

0：

加个“维行向量所组成的向量组B：

尿,码…，肉构成心矩阵B=0；；

0二含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.①、向量组的线性相关、无关OAx=0有、无非零解；（齐次线性方程组）

2、向量的线性表出<^>Ax=b是否有解；（线性方程组）

3、向量组的相互线性表示<^AX=B是否有解;（矩阵方程）

3.矩阵九.”与陥行向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组Ar=0和&=0同解；（S,列14）

4.r（ArA）=r（A）；（P⑹例15）

5•“维向量线性相关的几何意义：

1、。

线性相关<=>a=0；

2、“线性相关。

心坐标成比例或共线（平行）；

3、a.07线性相关oa.处共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

线性代数重要公式

若8心,…,a,线性相关，则久逐,…心,a”〕必线性相关；

若久吆…心线性无关，则如冷“也必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若「维向量组4的每个向量上添上”个分量，构成〃维向量组〃：

若A线性无关，贝心也线性无关；反之若〃线性相关，贝心也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：

无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为J能由向量组〃（个数为$）线性表示，且A线性

无关，则ys（二版沧定理7）;

向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）

向量组A能由向量组B线性表示

<=>AX=B有解；

<=>r（A）=r（A.B）5定理2）

向量组A能由向量组B等价07•⑷=r（B）=r（A.B）（/>5定理2推论）

&方阵A可逆。

存在有限个初等矩阵片£，.*,使A=g…巧；

1、矩阵行等价:

A：

BOPA=B（左乘，尸可逆）oAr=0与Bx=0同解

2、矩阵列等价：

（右乘，。

可逆）；

3、矩阵等价：

4~BOPAQ=BG、。

可逆）；

9.对于矩阵仏与陥：

1、若A与〃行等价，贝叫与〃的行秩相等；

2、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且4与〃的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵A的行秩等于列秩；

10-若则：

1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，M为系数矩阵；（转置）

行・齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=Q的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

线性代数重要公式

（3）、ABx=Q只有零解=>Bx=O只有零解；

②、灰=0有非零解=>ABx=0一定存在非零解；

12.设向量组Bn,r:

bt厶,…,®可由向量组线性表示为：

（昨。

题19

结论）

（bl.b2,--.br）=（ai.a2,---,as）K（B=AK）

其中K为"，且A线性无关，贝心组线性无关。

心）=「；（〃与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：

vr=r（B）=r（AK）

反证法）

注：

当一$时，K为方阵，可当作定理使用；

13・①、对矩阵仏"存在Q“,AQ=EmOr（A）=加、Q的列向量线性无关;5）

②、对矩阵仏"，存在化询，PA=E„0/•⑷=”、P的行向量线性无关；

14・…q线性相关

o存在■^组不全为0的数k’k「…、ks,使得g+心冬+・+&<爼=0成立；（定义）

、

<=>（q.®,…，乞）7=°有非零解，即Ax=0有非零解；

og./W,系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设必“的矩阵4的秩为r,贝叽元齐次线性方程组Ar=0的解集S的秩为:

r（S）=n-r；

16・若〃•为Ar"的一个解，.U为Ar=0的一个基础解系，则…，乩线性无关；（片口题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1•正交矩阵0/4"或A-l=AT（定义），性质：

①、4的列向量都是单位向量，且两两正交，即

2、若A为正交矩阵，则屮也为正交阵，且|A|=±1；

3、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：

求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;

2.施密特正交化：

0.“2,…®）

线性代数重要公式

br=巴凹1小一匕出丄“一…一”一"」吻,；

\bM［优厶1・I^A.J

3•对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4•①、A与B等价OA经过初等变换得到B；

<^PAQ=B,P、Q可逆；<^r（A）=r（B）,AyB同型；

2、A与B合同OCUC=B,其中可逆；

。

*心与有相同的正、负惯性指数；

3、A与B相似OP-\4P=B；

5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CtAC=B=A〜B,（合同、相似的约束条件不同,相似的更严格）；

6.A为对称阵，贝心为二次型矩阵；

7•〃元二次型”山为正定：

OA的正惯性指数为〃；

OA与E合同，即存在可逆矩阵C,使CtAC=E；

OA的所有特征值均为正数；

OA的各阶顺序主子式均大于0；

*>0.|4|>0；（必要条件）