线性代数重要公式.docx

1、线性代数重要公式线性代数重要公式【线性代数重要公式】展开后有/项，可分解为2”行列式;1行列式1 行列式共有沪个元素，2.代数余子式的性质：1、如和厲的大小无关;2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|州；3.代数余子式和余子式的关系： Mti = （一 1） 角 令=（-l）J+Vf.4.设”行列式将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为0,贝恂=（T）咛。; 将D顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为如则卩=（一1）咛D； 将。主对角线翻转后（转置），所得行列式为0,则0=0；将。主副角线翻转后，所得行列式为0,则；5.

2、行列式的重要公式：1、主对角行列式：主对角元素的乘积；2、副对角行列式：副对角元素的乘积X（-1） ；3、上、下三角行列式（m=M）:主对角元素的乘积;4、LI和|引：副对角元素的乘积x（-i）2:5、拉普拉斯展开式:就以 冷小:十严I咖6、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；7、特征值；6.对于“阶行列式国,恒有： ae-a = An , 其中乂为&阶主子式;7.证明|A| = 0的方法：1、心同；2、反证法；3、构造齐次方程组 Ar =0 , 证明其有非零解；线性代数重要公式4、利用秩，证明 f(A) g Rn 9 Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A可表示成若干个初等矩阵的

3、乘积；的特征值全不为0；o A是正定矩阵；0 4的行(列)向量组是川的一组基；o A是R”中某两组基的过渡矩阵；2对于“阶矩阵A : AA-=AA=AE无条件恒成立；3.(A-*)*= (AT* (A )T = (At )-* (A*)r=(Ar )(AB)t = BtAt (AB) = BA* (AB)- = BA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代 数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、可逆：若人=A-.，贝9 ： 儿丿I、 lAl = lAi|A2h-|A| ；II、 宀；A；1t 线性代数重要公式2md；（主对角分块）3、:即；（副对角分块）4、C 了鳥J

4、；门；（拉普拉斯）（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵心总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的：弋刖;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类； 标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B ,若心）=小）0 A；2.行最简形矩阵：1、只能通过初等行变换获得；2、每行首个非0元素必须为3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变 换）1、若G4.E） （E.X）,贝A 可逆，且X=A x ；2、对矩阵（4做初等行变化，当A变为E时，B就变成犷叭即：、求解线形方程组：对于个未知数个方程Av

5、,如果 （A.b）（E,x） 9 则4可逆，且一旦；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等 行矩阵、右乘为初等列矩阵；线性代数重要公式*2、A=人.,左乘矩阵A,人乘4的各行元素；右乘，人乘A的各列元素；(1 Y ( 3、对调两行或两列，符号 E(i.j),且 E(iJ)=E(iJ), 例如：1 =1 ；、倍乘某行或某列，符号 E(i(k,且 (*)-* =E(i(l), 例如：7 1V Z、倍加某行或某列，符号 E(ij(k), 且 E(u(k)y= E(ij(-k), 如：k-11k=1丿11伙 h0)；5.、矩阵秩的基本性质: 0 r(AO

6、TxH) min(jn.n)；、r(AT)=r(A)；3、若 A-B,贝勺4) =r(B)；4、若尸、。可逆，则 r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)； (可逆矩阵不影响矩阵的 秩)5、8、如果A是必“矩阵，是“矩阵，且AB = O,贝U：(探)I、的列向量全部是齐次方程组忒“解(转置运算后的结论);11、r(A)r(B) r(A)+r(B)-n ；6.三种特殊矩阵的方幕：线性代数重要公式1、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）x行矩阵（向 量）的形式，再釆用结合律；_ fl a c2、型如0 的矩阵：利用二项展开式；0 0 1,二项展开式： S+力r + 矿 +

7、+CabZ =丈c：a唧卜川；IW-0、A-=|A|A-* |A*| = |A|h-*8.关于A矩阵秩的描述：1、心）=“小中有”阶子式不为0,心阶子式全部为0;（两句话）2、心）”，A中有“阶子式全部为0；3、心）“，A中有阶子式不为0；9.线性方程组 t Ax=b 9 其中A为矩阵，则：1、加与方程的个数相同，即方程组有加个方程；2、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程； 10线性方程组 Ax=b 的求解：1、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；2、齐次解为对应齐次方程组的解；3、特解：自由变量赋初值后求得；11.由个未知数加个方程的方程组构成”元线性方程：线性代数重要公式

8、11 ai2 aH、ai a22 am x.=b、O Ax =b （向更方程，A为mxn矩阵，加个方程，n6TIMi ,ui i m2 mnbfn /、|!兀1 +=S0211 +a21X2 + a2H XH =g%斗+%”2+%斗=个未知数）纠（全部按列分块，其中）;IJ（线性表出）、有解的充要条件： r（A） = r（A.fi）n （“为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 加个n维列向更所组成的向車组4 :鸟心,构成“X加矩阵4 =（久逐,）；0：加个“维行向量所组成的向量组B ：尿,码，肉构成心矩阵B=0；0二 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、

9、无关 OAx =0 有、无非零解；（齐次线 性方程组）2、向量的线性表出 Ax=b 是否有解；（线性方程组）3、向量组的相互线性表示 AX=B 是否有解;（矩阵方程）3.矩阵九.”与陥行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ar=0和 & = 0 同解；（S,列14）4.r（ArA） = r（A） ；（P例 15）5“维向量线性相关的几何意义：1、。线性相关 a=0 ；2、“线性相关。心坐标成比例或共线（平行）；3、a.07线性相关o a.处共面；6.线性相关与无关的两套定理：线性代数重要公式若8心,a,线性相关，则久逐,心,a”必线性相关；若久吆心线性无关，则如冷“也必线性无关；（向量的个数

10、加加减 减，二者为对偶）若维向量组4的每个向量上添上”个分量，构成维向量组：若A线性无关，贝心也线性无关；反之若线性相关，贝心也线性 相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A （个数为J能由向量组（个数为$）线性表示，且A线性无关，则ys （二版沧定理7）;向量组A能由向量组B线性表示，则 r（A）r（B）； 伉定理3）向量组A能由向量组B线性表示AX=B 有解；r（A） = r（A.B） 5定理2）向量组A能由向量组B等价07= r（B） = r（A.B） （ /5定理2推论）&方阵A可逆。存在有限个初等矩阵片，.*,使A = g巧；1、矩阵行等价

11、 :A：B O PA=B （左乘，尸可逆） oAr=0 与 Bx = 0 同解2、矩阵列等价： （右乘，。可逆）；3、矩阵等价： 4 B O PAQ = B G、。可逆）；9.对于矩阵仏与陥：1、若A与行等价，贝叫与的行秩相等；2、若A与B行等价，则 Ax=0 与 Bx=0 同解，且4与的任何对应的列 向量组具有相同的线性相关性；3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；4、矩阵A的行秩等于列秩；10-若 则：1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，M为系数矩阵；（转 置）行齐次方程组 Bx=0 的解一定是 ABx=Q 的解，考试中可以直接作为

12、定 理使用，而无需证明；线性代数重要公式(3)、ABx=Q只有零解 = Bx = O 只有零解；、灰=0有非零解 = ABx=0 一定存在非零解；12.设向量组 Bn,r :bt厶, 可由向量组 线性表示为：(昨。题19结论)(bl.b2,- .br) = (ai.a2,-,as)K ( B = AK )其中K为，且A线性无关，贝心组线性无关。心)=；(与K的列 向量组具有相同线性相关性)(必要性： v r = r(B) = r(AK) r(K),r(K) r,r(K) = r ； 充分性：反证法)注：当一$时，K为方阵，可当作定理使用；13、对矩阵仏存在 Q“ , AQ = Em Or(A)

13、 =加、Q 的列向量线性无关; 5)、对矩阵仏，存在化询，PA = E 0/=”、P的行向量线性无关；14q线性相关o存在组不全为0的数kk、ks ,使得g+心冬+&爼=0成立；(定义)、 (q.,，乞)7 = 有非零解，即 Ax=0 有非零解；og./W,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设必“的矩阵4的秩为r,贝叽元齐次线性方程组Ar=0的解集S的 秩为: r(S) = n-r ；16若为Ar的一个解，.U为Ar = 0的一个基础解系，则 ，乩线性无关；(片口题33结论)5、相似矩阵和二次型1 正交矩阵0/4或A-l=AT (定义)，性质：、4的列向量都是单位向量，且两两正交，即2、若A为正交矩阵，则屮也为正交阵，且|A| = 1；3、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;2.施密特正交化：0.“2,)线性代数重要公式br = 巴凹1小一匕出丄“一一 ”一吻,；bM 优厶 1 IA.J3对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4 、A与B等价OA经过初等变换得到B；PAQ = B , P、Q 可逆； 0.|4|0 ；(必要条件)