正余弦定理应用举例.docx
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正余弦定理应用举例
课题：
§2.2解三角形应用举例1
•教学目标
知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦泄理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：
首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几肖课做良好铺垫。
苴次结合学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：
激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值：
同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
•教学重点：
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
•教学难点：
根据题意建立数学模型，画出示意图
•教学过程
I.课题导入
1、［复习旧知］复习提问什么是正弦定理、余弦迫理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、［设置情境］
请学生回答完后再提问：
前而引言第一章''解三角形”中，我们遇到这么一个问题，"遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？
”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算岀了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上而介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦圮理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
II•讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
［例题讲解］
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选左一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC二51。
，ZACB=75O»求A、B两点的距离（精确到0.Im）
B
图1.2-1
启发提问1：
zXABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：
运用该定理解题还需要那些边和角呢？
请学生回答。
分析：
这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和泄理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦泄理算出AB边。
解：
根据正弦定理，得M二
AB=ACsinZACg二55sinZACB二55sin75°二55sin75°657（m）
sinZABCsinZABCsin（180°-51°-75°）sin54°'
答:
A、B两点间的距离为65.7米
变式练刃：
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东3（/,灯塔B在观
察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
迈akm
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测虽A、B两点间距离的方法。
分析：
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确左C、D两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
图1.2-2
解：
测量者可以在河岸边选泄两点C、D,测得CD二a,并且在C、D两点分别测得ZBCA二°,
ZACD二0,ZCDB=Y,ZBDA在AADC和ABDC中，应用正弦立理得
”sin（7+5）
sin[l8O°-（/7+/+J）]
BC二“siny
sin[l80。
-（a+0+力]
讣算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦泄理计算出AB两点间的距离
AB二y/AC2+BC2-2ACxBCcosa
分组讨论：
还没有其它的方法呢？
师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练:
若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得ZBCA=60*,ZACD=30*,ZCDB=45*,ZBDA=60
略解：
将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB二20石
评注：
可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
m.课堂练习课本第13页练习第1、2题
IV.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：
理解题意，分淸已知与未知，画出示意图
（2）建模：
根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：
利用正弦泄理或余弦怎理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：
检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
V.课后作业课本第19页第1、2、3题
课题：
§2.2解三角形应用举例2
•教学目标
知识与技能：
能够运用正弦左理、余弦怎理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体髙度测虽:
的问题
过程与方法：
本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、槪括的能力•教学重点：
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
•教学难点：
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
•教学过程
I.课题导入
提问：
现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物髙度呢？
又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔髙度呢？
今天我们就来共同探讨这方而的问题
H.讲授新课
［范例讲解］
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：
求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求岀C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解:
选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条宜线上。
由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是c、
0,CD=a，测角仪器的髙是h,那么，在AACD中，根
据正弦左理可得
AC=“sin/?
AB=AE+h=ACsina+h=sin（a-0）
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地而上一点A的俯角°二5440',在塔底
C处测得A处的俯角0二已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山髙
CD（精确到1m）
师:
根据已知条件，大家能设il•出解题方案吗？
（给时间给学生讨论思考）若
在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？
生：
需求出BD边。
师：
那如何求BD边呢？
生：
可首先求出AB边，再根据ZBAD二c求得。
解：
在/XABC中，ZBCA二90°+0,ZABC二90°-c,ZBAC二c-/7,ZBAD
•根据正弦左理，—^―=一—一所以AB二肚汕％二叱卩
sin（a-0）sin（9O°+0）sin（a-0）sin（a-“）
答：
山的髙度约为1047米
in.课堂练习
课本第15页练习第1、2、3题
IV.课时小结
利用正弦定理和余弦赵理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
V.课后作业
1、课本第19页练习第6、7、8题
2、为测某塔AB的髙度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的
俯角为45°,则塔AB的髙度为多少m?
第6课时
课题：
§2.2解三角形应用举例
•教学目标
知识与技能：
能够运用正弦定理、余眩左理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这肖课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
•教学重点
能根据正弦定理、余弦左理的特点找到已知条件和所求角的关系
•教学难点
灵活运用正弦左理和余弦定理解关于角度的问题
•教学过程
I.课题导入
［创设情境］
提问：
前而我们学习了如何测量距离和髙度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求苴余边的问题。
然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海而上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
今天我们接着探讨这方面的测戢问题。
U.讲授新课
［范例讲解］
例6、如图，一艘海轮从A岀发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿
北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的
方向航行,需要航行多少距离？
（角度精确到0.1°,距离精确到0.Olnndle）
图1.2-7
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：
首先根据三角形的内角和左理求岀AC边所对的角ZABC,即可用余弦左理算出AC边，再根据正弦定理算岀AC边和AB边的夹角ZCAB.
解:
在AABC中，ZABC=180*-75*+32*=137*,根据余弦定理,
AC二yjAB2+BC2-2ABxBCxcosZABC
=>/67.52+54.02-2x67.5x54.0xcosl37°
根据正弦宦理,
sinZCAB二竺曰£AC
二54・0sinl37°113.15-
心0・3255,
75°-ZCAB=56.0
答:
此船应该沿北偏东56.1的方向航行，需要航行113.15nmile
补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为0,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的
师：
请大家根据题意画岀方位图.
生：
上台板演方位图（上图）
请三位同学用三种不同方法板演，然后教师
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习,补充讲评。
解法一：
（用正弦立理求解）由已知可得在4ACD中，
AC=BC=30,
AD二DC二10Q
ZADC二180°-40,・10苗二30
sin2^sin（180°-4&）°
因为sin48=2sin26>cos2&
・・.cos2&二二，得2&二30
2
二在RtAADE中，AE=ADsin60d=15
答：
所求角&为15°,建筑物髙度为15m
解法二：
（设方程来求解）设DE二X,AE二h
在RtAACE中，（10VJ+x）2+h2=302
两式相减,得x=5>/3,h=15
IP
.••在RtzXACE中,tan28二一=—=—
10V3+X3
・・.2&二30°,&二15
答：
所求角&为15°,建筑物髙度为15m
解法三：
（用倍角公式求解）设建筑物髙为AE二8,由题意，得
ZBAC=6>,ZCAD=26>,
AC=BC=30m,AD=CD二10屁
在RtAACE中，sin26>=—①
30
4
在RtAADE中，sin4&二,②
10V3
②壬①得cos2^=—,2&二30°,&二15°,AE=ADsin606=15
2
答：
所求角&为15°,建筑物髙度为15m补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10
海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？
需要多少时间才追赶上该走私船？
师：
你能根据题意画岀方位图？
教师启发学生做图建立数学模型分析：
这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：
如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB二10x,AB二14x,AC二9,ZACB=75°+45°=120°
/.（14x）2=92+（10x）2-2x9x10xcosl20°
a39
..化简得32—3077=0,即勺,或飞（舍去）
所以BC二10x=15,AB=14x=21,
又因为sinZBAC二
..38°13'+45。
二83°13’
答：
巡逻艇应该沿北偏东83°13‘方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：
在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的泄义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得岀实际问题的解
m.课堂练习
课本第16页练习
IV.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦左理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
V.课后作业
1、课本第20页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏四5（F相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10。
的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
（角度用反三角函数表示）
第7课时
课题：
§2.2解三角形应用举例
•教学目标
知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：
本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结岀该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本巧课的证明题体现了前而所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦赵理和余弦圮理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两立理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：
让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学立理的理解，提髙创新能力：
进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
•教学重点
推导三角形的而积公式并解决简单的相关题目
•教学难点
利用正弦立理、余弦定理来求证简单的证明题
•教学过程
I•课题导入
［创设情境］
师：
以前我们就已经接触过了三角形的而积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在
△ABC中，边BC、CA、AB上的髙分别记为h.、叽、h（.,那么它们如何用已知边和角表示？
生:
ha=bsinC=csinB
h/?
=csinA=asinC
hf=asinB:
zbsinaA
师：
根据以前学过的三角形而积公式S=|ah,应用以上求出的髙的公式如h“二bsinC代入，可以推导岀下
乙
而的三角形面积公式，S二［absinC,大家能推出其它的几个公式吗？
2
生：
同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB
22
师：
除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求岀三角形的而积呢？
生：
如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
H.讲授新课
［范例讲解］
例7、在AABC中，根据下列条件，求三角形的而积S（精确到0.1cm2）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5*;
（2）已知B二62.7°,C二65.8°,b二3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b二27.3cm,c=38.7cm
分析：
这是一适在不同已知条件下求三角形的而积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形而积的知识，观察已知什么，尚缺什么？
求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：
（1）应用S=lacsinB,得
2
S=ix14.8x23.5xsinl48.5°^90.9（cm2）
2
（2）根据正弦定理,
b二c
sinBsinC
c-fesinC
sinB
S=IbcsinA二lb2smCind
22sinB
A=180*-（B+0=180°-（62・7°+65.8*）=5!
.5*
oo
1rsin65.8sin51.5z八
S=-x3.16-x；^4.0（cm-）
2sin62.7
（3）根据余弦左理的推论，得
er/一沪cosB=
lea
38.72+41.42-27.32
2x38.7x41.4
~0・7697
sinB二71-cos2B宀Jl-0.769725.6384
应用S=-acsinB,得
2
Sx41.4x38.7x0.6384^511.4（cm2）
2
例8.如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形
区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的而积是多少？
（稱确到0.1cm2）?
师：
你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结」
解：
设护68m,b二88m,c二127m,根据余弦泄理的推论,2宀―2
2ca
辺土g土"7532
2x127x68
sinB=Vl-0.75322«0.6578
应用S二一acsinB
2
S-x68x127x0.6578^2840.38（m2）2
答：
这个区域的而积是2840.38m2o
例3.在AABC中，求证:
（1）
a2+b2_sin2A+sin2Bsin2C
（2）a2+h2+c2-2（bccosA+cacosB-abcosC）
分析：
这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点.联想到用正弦立理来证明
证明：
（1）根据正弦泄理，可设
a=b二c二
sinAsinBsinC
显然k=0,所以
左边二
a2+h2
k2sin2A+k2sin2B
k2s\n2C
（2）根据余弦泄理的推论,
=（b2+c2-a2）+（c2+a2-b2）+（a2+b2-c2）
=a2+b2+c2=左边
变式练习1：
已知在AABC中，ZB=30\b=6,c=6>/3，求&及AABC的而积S
提示：
解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案:
a=6,S=9>/3;a=12,S=18V3
变式练习2：
判断满足下列条件的三角形形状,
（1）
acosA=bcosB
（2）
.厂sinA+sinB
sinC二
cosA+cosB
提示：
利用正弦立理或余弦是理，“化边为角”或“化角为边”
（1）师：
大家尝试分别用两个左理进行证明。
生1:
（余弦定理）得
b2+c2-a2c2+a2-b2
ax=bx
The2ca
:
.c2（a2-b2）=a4-h4=（a2+h2）（a2-b2）
:
.a2=庆或=a2+b2
:
.根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：
（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
.・.sin2A=sin2B,
・•.2A=2B,
・•.A二B
.••根据边的关系易得是等腰三角形
师：
根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：
第一位同学的正确匚第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互
补，即2A+2B二180°,A+B二90
（2）（解略）直角三角形
m.课堂练习
课本第18页练习第1、2题
IV.课时小结
利用正弦左理或余弦左理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确龙三角形的形状。
特別是有些条件既可用正弦左理也可用余弦左理甚至可以两者混用。
V・课后作业
课本第20页练习第12、14、15题
第4课时
课题：
§2.2解三角形应用举例
•教学目标
知识与技能：
能够运用正弦定理、余弦泄理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：
首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提岀问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：
激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值：
同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
•教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
•教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
•教学过程I・课题导入
1、［复习旧知］
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、［设置情境］
请学生回答完后再提问：
前而引言第一章''解三角形”中，我们遇到这么一个问题，"遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？
”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算岀了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上而介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦圮理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
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