系统的能控性能观测性稳定性分析.docx
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系统的能控性能观测性稳定性分析
实验报告
课程线性系统理论基础实验日期年月日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析;
2、系统的稳定性分析;
3、系统的最小实现。
二、实验内容
(1)能控性、能观测性及系统实现
(a)了解以下命令的功能;自选对象模型,进行运算,并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal;
(b)已知连续系统的传递函数模型,
,当a分别取-1,0,1时,判别系统的能控性与能观测性;
(c)已知系统矩阵为
,
,
,判别系统的能控性与能观测性;
(d)求系统
的最小实现。
(2)稳定性
(a)代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为:
,试对系统闭环判别其稳定性
(b)根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
,试在系统的闭环根轨迹图上选择一点,求出该点的增益及其系统的闭环极点位置,并判断在该点系统闭环的稳定性。
(c)Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
三、实验环境
1、计算机120台;
2、MATLAB6.X软件1套。
四、实验原理(或程序框图)及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如(1-1)所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础,包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是:
对于线性连续定常系统(1-1),若存在一个分段连续的输入函数u(t),在有限的时间(t1-t0)内,能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1),则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的,则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
状态能控性分为一般判别和直接判别法,后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,状态能控性判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为:
(2-1)
状态能控性判别式为:
(2-2)
系统状态能观测性的定义:
对于线性连续定常系统(2-1),如果对t0时刻存在ta,t0,根据[t0,ta]上的y(t)的测量值,能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0,则称系统在t0时刻是状态完全能观测的,或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法,后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,状态能观性判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为:
(2-3)
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述,求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式,称为实现。
实现的方式不唯一,实现也不唯一。
其中,当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现,此时实现具有最简形式。
五、程序源代码
1.(a)了解以下命令的功能;自选对象模型,进行运算,并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal;
gram:
求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵
num=[6-0.6-0.12];
den=[1-10.250.25-0.125];
H=tf(num,den,'Ts',0.1)
Lc=gram(ss(H),'c')
H=6z^2-0.6z-0.12
-------------------------------------
z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125
Sampletime:
0.1seconds
Discrete-timetransferfunction.
Lc=10.76517.87693.6759-0.0000
7.876910.76517.87691.8379
3.67597.876910.76513.9385
-0.00001.83793.93852.6913
Ctrb:
计算矩阵可控性
A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]
B=[69;46;44;84];
Tc=ctrb(A,B);
rank(Tc)
A=-2.2000-0.70001.5000-1.0000
0.2000-6.30006.0000-1.5000
0.6000-0.9000-2.0000-0.5000
1.4000-0.1000-1.0000-3.5000
ans=
3
Obsv:
计算可观察性矩阵
A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]
B=[69;46;44;84];
C=[1234];
Qo=obsv(A,C);
Ro=rank(Qo)
A=-2.2000-0.70001.5000-1.0000
0.2000-6.30006.0000-1.5000
0.6000-0.9000-2.0000-0.5000
1.4000-0.1000-1.0000-3.5000
Ro=
4
Lyap:
解lyapunov方程
A=[00-6;10-11;01-6];
B=[123;456;780];
X=lyap(A,B)
X=
-3.2833-3.9000-0.1167
-5.5000-8.6500-0.4000
0.2833-0.0000-0.0333
Ctrbf:
对线性系统进行能控性分解
A=[00-6;10-11;01-6];
B=[3;1;0];
C=[001];
[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C)
Abar=
-3.00000.0000-0.0000
9.4868-3.30000.9539
8.6189-3.13440.3000
Bbar=
-0.0000
-0.0000
3.1623
Cbar=-0.94350.33150
T=-0.10480.3145-0.9435
-0.29830.89500.3315
0.94870.31620
K=
110
Obsvf:
对线性系统进行能观性分解
A=[-21;1-2];
B=[1;0];
C=[1-1];
[AO,BO,CO,T,K]=obsvf(A,B,C)
AO=-1.00000
0.0000-3.0000
BO=0.7071
0.7071
CO=01.4142
T=0.70710.7071
0.7071-0.7071
K=
10
Minreal最小实现
num=[11];
den=[1520];
sys=tf(num,den)
[ABCD]=tf2ss(num,den)
sys=ss(A,B,C,D);
sysr=minreal(sys)
sys=
s+1
--------------
s^2+5s+20
Continuous-timetransferfunction.
A=-5-20
10
B=
1
0
C=
11
D=
0
sysr=
a=x1x2
x1-5-20
x210
b=u1
x11
x20
c=x1x2
y111
d=u1
y10
Continuous-timestate-spacemodel.
(b)已知连续系统的传递函数模型,
,当a分别取-1,0,1时,判别系统的能控性与能观测性;
a=-1
num=[1,-1];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
n=length(a)
Qc=ctrb(a,b)
nc=rank(Qc)
ifn==nc,disp('系统可控'),
elsedisp('系统不可控'),end
Qo=obsv(a,c)
no=rank(Qo)
ifn==no,disp('系统可观'),
elsedisp('系统不可观'),end
a=0
num=[1,0];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
n=length(a)
Qc=ctrb(a,b)
nc=rank(Qc)
ifn==nc,disp('系统可控'),
elsedisp('系统不可控'),end
Qo=obsv(a,c)
no=rank(Qo)
ifn==no,disp('系统可观'),
elsedisp('系统不可观'),end
a=1
num=[1,1];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
n=length(a)
Qc=ctrb(a,b)
nc=rank(Qc)
ifn==nc,disp('系统可控'),
elsedisp('系统不可控'),end
Qo=obsv(a,c)
no=rank(Qo)
ifn==no,disp('系统可观'),
elsedisp('系统不可观'),end
矩阵为
,
,
,判别系统的能控性与能观测性;
a=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];
b=[0;1;1];
c=[102];
d=0;
n=length(a)
Qc=ctrb(a,b)
nc=rank(Qc)
ifn==nc,disp('系统可控'),
elsedisp('系统不可控'),end
Qo=obsv(a,c)
no=rank(Qo)
ifn==no,disp('系统可观'),
elsedisp('系统不可观'),end
(d)求系统
的最小实现。
num=[11];
den=[1102718];
G=tf(num,den);
Gs=ss(G);
Gm=minreal(Gs);
Am=Gm.a
Bm=Gm.b
Cm=Gm.c
Dm=Gm.d
1stateremoved.
Am=
3.5391-12.1540
5.1323-12.5391
Bm=
0.0606
-0.2425
Cm=
0.25000.0625
Dm=
0
(2)稳定性
(a)代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为:
,试对系统闭环判别其稳定性
num=[00100200];
den=[121200];
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
z=
-2
p=
0
-20
-1
k=
100
(b)根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
,试在系统的闭环根轨迹图上选择一点,求出该点的增益及其系统的闭环极点位置,并判断在该点系统闭环的稳定性。
n1=[1,3];
d1=conv([1,0],conv([1,5],conv([1,6],[1,2,2])));
s1=tf(n1,d1);
rlocus(s1);
[k,poles]=rlocfind(s1)
(c)Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
G1(s)
num=2.7;
den=[1,5,4,0];
w=logspace(-1,2,47);
[mag,pha]=bode(num,den,w);
magdB=20*log10(mag);
subplot(211);
semilogx(w,magdB);
gridon;
title('BodeDiagram');
xlabel('Frequency(rad/sec)');
ylabel('GaindB');
subplot(212);
semilogx(w,pha);
gridon;
xlabel('Frequency(rad/sec)');
ylabel('phasedeg')
G2(s)
num=2.7;
den=[1,5,-4,0];
w=logspace(-1,2,47);
[mag,pha]=bode(num,den,w);
magdB=20*log10(mag);
subplot(211);
semilogx(w,magdB);
gridon;
title('BodeDiagram');
xlabel('Frequency(rad/sec)');
ylabel('GaindB');
subplot(212);
semilogx(w,pha);
gridon;
xlabel('Frequency(rad/sec)');
ylabel('phasedeg')
(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
A=[010;001;2500-5];
B=[0;0;10];
C=[-2550];
D=0;
[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)
六、实验数据、结果分析
(b)a=-1
a=
-10-27-18
100
010
b=
1
0
0
c=
01-1
d=
0
n=
3
Qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
系统可控
Qo=
01-1
1-10
-11-27-18
no=
3
系统可观
a=0
a=
-10-27-18
100
010
b=
1
0
0
c=
010
d=
0
n=
3
Qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
系统可控
Qo=
010
100
-10-27-18
no=
3
系统可观
a=1
a=
-10-27-18
100
010
b=
1
0
0
c=
011
d=
0
n=
3
Qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
系统可控
Qo=
011
110
-9-27-18
no=
2
(c)已知系统矩阵为
,
,
,判别系统的能控性与能观测性;
n=
3
Qc=
0-11.0000-84.9926
1.00001.0000-8.0000
1.00003.00007.0000
nc=
3
系统可控
Qo=
1.000002.0000
6.6660-8.66673.6667
35.7689-67.4375-3.5551
no=
3
系统可观
(d)求系统
的最小实现。
Am=
3.5391-12.1540
5.1323-12.5391
Bm=
0.0606
-0.2425
Cm=
0.25000.0625
Dm=
0
(2)稳定性
(a)代数法稳定性判据
z=
-2
p=
0
-20
-1
k=
100
(b)根轨迹法判断系统稳定性
selected_point=
-7.7666+4.5820i
k=
selected_point=
2.4076e+03
poles=
-7.8112+4.5449i
-7.8112-4.5449i
2.7927+4.6955i
2.7927-4.6955i
-2.9630+0.0000i
(c)Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
G1(s)
G2(s)
(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
z=
5.0000
p=
5.0000
-5.0000+5.0000i
-5.0000-5.0000i
k=
50.0000
[P,D]=eig(A)
P=
0.0392-0.0000-0.0198i-0.0000+0.0198i
0.19600.0990+0.0990i0.0990-0.0990i
0.9798-0.9900-0.9900
D=
5.000000
0-5.0000+5.0000i0
00-5.0000-5.0000i