高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版.docx
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高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（全国新课标卷I）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2013课标全国Ⅰ，理1）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则（ ）．
A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB
2．（2013课标全国Ⅰ，理2）若复数z满足（3－4i）z＝|4＋3i|，则z的虚部为（ ）．
A．－4B．C．4D．
3．（2013课标全国Ⅰ，理3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）．
A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样
4．（2013课标全国Ⅰ，理4）已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）．
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x
5．（2013课标全国Ⅰ，理5）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于（ ）．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
6．（2013课标全国Ⅰ，理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）．
A．cm3B．cm3
C．cm3D．cm3
7．（2013课标全国Ⅰ，理7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝（ ）．
A．3B．4C．5D．6
8．（2013课标全国Ⅰ，理8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
9．（2013课标全国Ⅰ，理9）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝（ ）．
A．5B．6C．7D．8
10．（2013课标全国Ⅰ，理10）已知椭圆E：
（a＞b＞0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（ ）．
A．B．C．D．
11．（2013课标全国Ⅰ，理11）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）．
A．（－∞，0]B．（－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]
12．（2013课标全国Ⅰ，理12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（ ）．
A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．（2013课标全国Ⅰ，理13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则t＝__________.
14．（2013课标全国Ⅰ，理14）若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.
15．（2013课标全国Ⅰ，理15）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.
16．（2013课标全国Ⅰ，理16）若函数f（x）＝（1－x2）（x2＋ax＋b）的图像关于直线x＝－2对称，则f（x）的最大值为__________．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2013课标全国Ⅰ，理17）（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
（1）若PB＝，求PA；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
18．（2013课标全国Ⅰ，理18）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
（1）证明：
AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．（2013课标全国Ⅰ，理19）（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望．
20．（2013课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）已知圆M：
（x＋1）2＋y2＝1，圆N：
（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．（2013课标全国Ⅰ，理21）（本小题满分12分）设函数f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝ex（cx＋d）．若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0,2），且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x≥－2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（2013课标全国Ⅰ，理22）（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
（1）证明：
DB＝DC；
（2）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．（2013课标全国Ⅰ，理23）（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．
24．（2013课标全国Ⅰ，理24）（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲：
已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（全国卷I新课标）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：
B
解析：
∵x（x－2）＞0，∴x＜0或x＞2.
∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B.
2．
答案：
D
解析：
∵（3－4i）z＝|4＋3i|，
∴.
故z的虚部为，选D.
3．
答案：
C
解析：
因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．
答案：
C
解析：
∵，∴.
∴a2＝4b2，.
∴渐近线方程为.
5．
答案：
A
解析：
若t∈[－1,1），则执行s＝3t，故s∈[－3,3）．
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.
6．
答案：
A
解析：
设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由R2＝（R－2）2＋42，得R＝5，
所以球的体积为（cm3），故选A.
7．
答案：
C
解析：
∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－（－2）＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.
又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.
∴m＝5.故选C.
8．
答案：
A
解析：
由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.
9．
答案：
B
解析：
由题意可知，a＝，b＝，
又∵13a＝7b，∴，
即.解得m＝6.故选B.
10．
答案：
D
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在椭圆上，
∴
①－②，得
，
即，
∵AB的中点为（1，－1），∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
而＝kAB＝，∴.
又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为.故选D.
11．
答案：
D
解析：
由y＝|f（x）|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f（x）|≥ax，可排除B，C.
②当x≤0时，y＝|f（x）|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f（x）|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：
a∈[－2,0]．
12．
答案：
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：
2
解析：
∵c＝ta＋（1－t）b，
∴b·c＝ta·b＋（1－t）|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos60°＋（1－t），
0＝＋1－t.
∴t＝2.
14．答案：
（－2）n－1
解析：
∵，①
∴当n≥2时，.②
①－②，得，
即＝－2.
∵a1＝S1＝，
∴a1＝1.
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝（－2）n－1.
15．答案：
解析：
f（x）＝sinx－2cosx
＝，
令cosα＝，sinα＝，
则f（x）＝sin（α＋x），
当x＝2kπ＋－α（k∈Z）时，sin（α＋x）有最大值1，f（x）有最大值，
即θ＝2kπ＋－α（k∈Z），
所以cosθ＝＝＝sinα＝.
16．答案：
16
解析：
∵函数f（x）的图像关于直线x＝－2对称，
∴f（x）满足f（0）＝f（－4），f（－1）＝f（－3），
即
解得
∴f（
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