要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球.docx
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要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球
21
2013061022
李年亮
男
数学（2013）
2、炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。
一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。
原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。
问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？
一般来说，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可以使这种汽油日销量增加10桶。
问如何安排生产计划和广告计划使利润最大？
原油类别
买入价（元/桶）
买入量（桶/天）
辛烷值（％）
硫含量（％）
A
45
≤5000
12
0.5
B
35
≤5000
6
2.0
C
25
≤5000
8
3.0
汽油类别
卖出价（元/桶）
需求量（桶/天）
辛烷值（％）
硫含量（％）
甲
70
3000
≥10
≤1.0
乙
60
2000
≥8
≤1
丙
50
1000
≥6
≤1.0
符号说明：
X1,X2,X3分别为A类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量。
Y1,Y2,Y3分别为B类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量
Z1,Z2,Z3分别为C类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量
PA,PB,PC分别为甲，乙，丙三种汽油中投入广告的花费
一、不考虑广告投入时的模型求解：
由以上述条件可知：
PA=PB=PC=0;
总利润为：
70*3000+60*2000+50*1000-45*（X1+X2+X3）-35*（Y1+Y2+Y3）-25*（Z1+Z2+Z3）-4*（X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3）
针对买入量与总产量得条件①：
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3≤14000;
X1+X2+X3≤5000;
Y1+Y2+Y3≤5000;
Z1+Z2+Z3≤5000;
针对需求量得条件②：
X1+Y1+Z1≥3000;
X2+Y2+Z2≥2000;
X3+Y3+Z3≥1000;
针对辛烷值得条件③：
12%*X1+6%*Y1+8%*Z1≥10%*（X1+Y1+Z1）;
12%*X2+6%*Y2+8%*Z2≥2%*（X2+Y2+Z2）;
12%*X3+6%*Y3+8%*Z3≥6%*（X3+Y3+Z3）;
针对硫含量得条件④：
0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z1≤1.0%*（X1+Y1+Z1）;
0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z2≤0.8%*（X2+Y2+Z2）;
0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z3≤1.0%*（X3+Y3+Z3）;
X1,X2,X3，Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均为非负整数；
结果分析与检验
利用LING09.0求解在上述四条件下利润的最大值得：
不考虑广告投入时用LINGO9.0求解利润最大值所用程序：
max=70*3000+60*2000+50*1000-45*（X1+X2+X3）-35*（Y1+Y2+Y3）-25*（Z1+Z2+Z3）-4*（X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3）;
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;
X1+X2+X3<=5000;
Y1+Y2+Y3<=5000;
Z1+Z2+Z3<=5000;
X1+Y1+Z1>=3000;
X2+Y2+Z2>=2000;
X3+Y3+Z3>=1000;
0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*（X1+Y1+Z1）;
0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*（X2+Y2+Z2）;
0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*（X3+Y3+Z3）;
0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*（X1+Y1+Z1）;
0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*（X2+Y2+Z2）;
0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*（X3+Y3+Z3）;
@gin（X1）;@gin（X2）;@gin（X3）;@gin（Y1）;@gin（Y2）;@gin（Y3）;@gin（Z1）;@gin（Z2）;@gin（Z3）;
直接求解结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
110000.0
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCostX12400.0000.000000X21600.0000.000000X3800.00000.000000Y10.0000002.000000Y20.0000002.000000Y30.0000002.000000Z1600.00000.000000Z2400.00000.000000Z3200.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice1110000.01.00000028000.0000.0000003200.00000.00000045000.0000.00000053800.0000.00000060.000000-45.0000070.000000-45.0000080.000000-45.00000936.000000.00000010184.00000.0000001152.000000.000000120.000000800.0000130.000000800.0000140.000000800.0000
当X1=2400,X2=1600,X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200,其余变量值为0；即用A类原油生产2400桶甲类汽油，生产1600桶乙类石油，生产800桶丙类石油，用C类原油生产600桶甲类汽油，用C类原油生产400桶乙类汽油，用C类原油生产200桶丙类汽油时，总利润达到最大值为110000元。
二、考虑广告投入时的模型求解：
对甲、乙、丙三种汽油的广告投入分别设为PA、PB、PC.
总利润变:
70*（3000+10*PA）+60*（2000+10*PB）+50*（1000+10*PC）-45*（X1+X2+X3）-35*（Y1+Y2+Y3）-25*（Z1+Z2+Z3）-4*（X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3）-PA-PB-PC;
针对需求量得到的条件②变为：
X1+Y1+Z1≥3000+10*PA;
X2+Y2+Z2≥2000+10*PB;
X3+Y3+Z3≥1000+10*PC;
其余条件与不考虑广告投入时相同.
结果分析与检验
利用LING09.0求解在上述条件下利润的最大值得：
考虑广告投入时利用LINGO9.0求解利润最大值所用程序：
max=70*（3000+10*PA）+60*（2000+10*PB）+50*（1000+10*PC）-45*（X1+X2+X3）-35*（Y1+Y2
+Y3）-25*（Z1+Z2+Z3）-4*（X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3）-PA-PB-PC;
X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;
X1+X2+X3<=5000;
Y1+Y2+Y3<=5000;
Z1+Z2+Z3<=5000;
X1+Y1+Z1>=3000+10*PA;
X2+Y2+Z2>=2000+10*PB;
X3+Y3+Z3>=1000+10*PC;
0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*（X1+Y1+Z1）;
0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*（X2+Y2+Z2）;
0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*（X3+Y3+Z3）;
0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*（X1+Y1+Z1）;
0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*（X2+Y2+Z2）;
0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*（X3+Y3+Z3）;
@gin（X1）;@gin（X2）;@gin（X3）;@gin（Y1）;@gin（Y2）;@gin（Y3）;@gin（Z1）;@gin（Z2）;@gin（Z3）;
直接求解结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
129959.1
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
18
VariableValueReducedCostPA109.90000.000000PB0.0000000.000000PC0.0000000.000000X12733.000-20.90000X21600.000-10.90000X3667.0000-0.9000000Y11366.000-30.90000Y2400.0000-20.90000Y3333.0000-10.90000Z10.000000-40.90000Z20.000000-30.90000Z30.000000-20.90000
RowSlackorSurplusDualPrice1129959.11.00000026901.0000.00000030.0000000.00000042901.0000.00000055000.0000.00000060.000000-69.90000
当PA=109,PB=0,PC=0,X1=2733,X2=1600,X3=667,Y1=1366,Y2=400,Y3=333,即对甲类汽油投入广告费109元，对乙,丙类汽油不投入广告费，同时用A类原油生产甲类汽油2733桶，生产乙类汽油1600桶，生产丙汽油667桶，用B类原油生产甲类汽油1366桶，生产乙类汽油400桶，生产丙类汽油333桶，不用C类原油时，总利润可得最大为129959.1元.
3.要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球。
对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能到达的高度和所携带仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。
根据过去的经验作出的结论，是求极大满意性能函数
，此处V是体积，w是仪器重量。
承包项目的预算限额为1040美元，与体积v有关的费用是2v，与设备有关的费用是4W，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间合理平衡，设计者要满足约束条件80W≥100W，找出由体积和设备重量来表达的最优设计，并用线性化方法求解。
解：
由题意可以问题的V和W应满足的约束条件为
s.t.
然后求解目标函数
的最大值。
我们可以用非线性规划的线性逼近的方法将目标函数转化成近似的线性函数然后用线性规划的求解的方法即可得出结果。
根据题意建立模型：
Maxf=100
-0.3
+80W
-0.2
s.t.
设置变量为：
体积V：
x1设备重量W：
x2
模型求解的Matlab程序如下：
（1）建立非线性目标函数文件
functionf=qiqiu01（x）
f=0.3*x
（1）^2-100*x
（1）+0.2*x
（2）^2-80*x
（2）;
（2）建立主程序求解
x0=[1;1];
A=[1,2;5,-4];
b=[520;0];
Aeq=[];beq=[];
vlb=[0;0];vub=[];
[x,fval]=fmincon（'qiqiu01',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）;
x
fval
%求出的结果为：
x=
148.5714
185.7143
fval=
1.6194e+004
由上可知体积V为148.5714，重量为185,7143时为最优的设计。
4.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为
（元），其中x是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．
解：
分析：
问题的关键在于由于工厂的生产能力足以满足每个季度用户的需求，但是为了使总费用最少，那么利用每个季度生产费用的不同，可用利用上个生产费用低的季度多生产来为下个季度进行准备，前提是本月节省下的费用减去总的发动机存储费用还有剩余，这样生产才有价值，才可能满足合同的同时又能使总费用最低。
基本假设：
1、工厂的生产能力不受外界环境因素影响。
2、为使总费用最低，又能满足合同要求，各个季度之间的生产数量之间是有联系的。
3、第一季度开始时无存货。
4、工厂每季度的生关费用与本季度生产的发动机台数有关。
5、生产要按定单的数量来进行，生产的数量应和订单的数量相同，以避免生产出无用的机器。
符号规定：
X1―――第一季度生产发动机的数量
X2―――第二季度生产发动机的数量
X3―――第三季度生产发动机的数量
建模：
1、三个季度发动机的总的生产量为180台。
2、每个季度的生产量和库存机器的数量之和要大于等于本季度的交货数量。
3、每个月的生产数量要符合工厂的生产能力。
4、将实际问题转化为非线性规划问题，建立非线性规划模型
目标函数
minf（x）=50（x1+x2+x3）+0.2（x12+x22+x32）+4（x1-40）+4（x1+x2-100）
整理，得
minf（x）=50（x1+x2+x3）+0.2（x12+x22+x32）＋4（2x1+x2-140）
约束函数
s.tx1+x2≥100;
x1+x2+x3=180;
40≤x1≤100;
0≤x2≤100;
0≤x3≤100;
求解的Matlab程序代码：
M-文件fun.m:
functionf=fun（x）;
f=50*（x
（1）+x
（2）+x（3））+0.2*（x
（1）^2+x
（2）^2+x（3）^2）+4*（2*x
（1）+x
（2）-140）
主程序fxxgh.m：
x0=[60;60;60];
A=[-1-10];b=[-100];
Aeq=[111];beq=[180];
vlb=[40;0;0];vub=[100;100;100];
[x,fval]=fmincon（'fun',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
计算结果与问题分析讨论：
计算结果：
x=
50.0000
60.0000
70.0000
fval=
11280
问题分析讨论：
由运算结果得：
该厂第一季度、第二季度、第三季度的生产量分别是50台、60台和70台时，才能既满足合同又使总费用最低，费用最低为11280元。
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