河南省专升本考试高等数学真题.docx

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河南省专升本考试高等数学真题

河南省专升本考试高等数学真题2016年

（总分：

150.00，做题时间：

90分钟）

一、单项选择题（总题数：

30，分数：

60.00）

1.函数的定义域是______

（分数：

2.00）

 A.（-∞，-1]

 B.（-∞，-1）

 C.（-∞，1]

 D.（-∞，1） √

解析：

[解析]要使函数有意义，则需1-x＞0，即x＜1，故应选D．

2.函数f（x）=x-2x3是______

（分数：

2.00）

 A.奇函数 √

 B.偶函数

 C.非奇非偶函数

 D.无法判断奇偶性

解析：

[解析]f（-x）=-x-2（-x）3=-x+2x3=-（x-2x3）=-f（x），故f（x）为奇函数，故应选A．

3.已知则f[f（x）]=______

A．x-1

B．

C．1-x

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：

[解析]故应选D．

4.下列极限不存在的是______

A．

B．

C．

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：

[解析]故应选D．

5.极限的值是______

（分数：

2.00）

 A.0

 B.1

 C.-1 √

 D.-2

解析：

[解析]故应选C．也可直接对分子分母的最高次项进行比较．

6.已知极限则a的值是______

A．1

B．-1

C．2

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：

[解析]

7.已知当x→0时，2-2cosx～ax2，则a的值是______

A．1

B．2

C．

D．-1

（分数：

2.00）

 A. √

 B.

 C.

 D.

解析：

[解析]

8.已知函数则在点x=1处，下列结论正确的是______

（分数：

2.00）

 A.a=2时，f（x）必连续

 B.a=2时，f（x）不连续 √

 C.a=-1时，f（x）连续

 D.a=1时，f（x）必连续

解析：

[解析]要使函数f（x）在x=1处连续，则有当a=2时，故当a=2时，f（x）不连续．故应选B．

9.已知函数φ（x）在点x=0处可导，函数f（x）=（x-1）φ（x-1），则f"

（1）=______

（分数：

2.00）

 A.φ"（0）

 B.φ"

（1）

 C.φ（0） √

 D.φ

（1）

解析：

[解析]由φ（x）在x=0处可导，可知φ（x）在x=0处连续，

故应选C．

10.函数f（x）=1-|x-1|在点x=1处______

（分数：

2.00）

 A.不连续

 B.连续且可导

 C.既不连续也不可导

 D.连续但不可导 √

解析：

[解析]显然f（x）在x=1处连续．而f"（1+）=-1，f"（1-）=1，故在x=1处不可导，故应选D．

11.若曲线f（x）=1-x3与曲线g（x）=lnx在自变量x=x0时的切线相互垂直，则x0应为______

A．

B．

C．

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]f"（x0）=（1-x3）|x=x0=-，由于切线相互垂直，则故应选C．

12.已知f（x）=1-x4在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理，则在开区间（-1，1）内使f"（ξ）=0成立的ξ=______

（分数：

2.00）

 A.0 √

 B.1

 C.-1

 D.2

解析：

[解析]f"（x）=-4x3，f"（ξ）=-4ξ=0，则ξ=0，故应选A．

13.设函数f（x）在区间（-1，1）内连续，若x∈（-1，0）时，f"（x）＜0；x∈（0，1）时，f"（x）＞0，则在区间（-1，1）内______

（分数：

2.00）

 A.f（0）是函数f（x）的极小值 √

 B.f（0）是函数f（x）的极大值

 C.f（0）不是函数f（x）的极值

 D.f（0）不一定是函数f（x）的极值

解析：

[解析]由极值第一判定定理，可知f（0）应为函数f（x）的极小值，故应选A．

14.设函数y=f（x）在区间（0，2）内具有二阶导数，若x∈（0，1）时，f"（x）＜0；x∈（1，2）时，f"（x）＞0，则______

（分数：

2.00）

 A.f

（1）是函数f（x）的极大值

 B.点（1，f

（1））是曲线y=f（x）的拐点 √

 C.f

（1）是函数f（x）的极小值

 D.点（1，f

（1））不是曲线y=f（x）的拐点

解析：

[解析]函数f（x）在（0，1）上为凸，在（1，2）上为凹，故（1，f

（1））应为函数f（x）的拐点，故应选B．

15.已知曲线y=x4，则______

∙A.在（-∞，0）内y=x4单调递减且形状为凸

∙B.在（-∞，0）内y=x4单调递增且形状为凹

∙C.在（0，+∞）内y=x4单调递减且形状为凸

∙D.在（0，+∞）内y=x4单调递增且形状为凹

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：

[解析]y"=4x3，当x＞0时，y"＞0；当x＜0时，y"＜0；y"=12x2，在（-∞，+∞）上有y"≥0，根据选项，可知应选D．

16.已知F（x）是f（x）的一个原函数，则不定积分∫f（x-1）dx=______

（分数：

2.00）

 A.F（x-1）+C √

 B.F（x）+C

 C.-F（x-1）+C

 D.-F（x）+C

解析：

[解析]由题可知∫f（x）dx=F（x）+C，∫f（x-1）dx=∫f（x-1）d（x-1）=F（x-1）+C，故应选A．

17.设函数则f"（x）=______

A．

B．-e-x+2x

C．e-x+x2

D．e-x+2x

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]故应选C．

18.定积分

∙A.2ae-a2

∙B.ae-a2

∙C.0

∙D.2a

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]令f（x）=xe-x2，f（-x）=-xe-x2=-f（x），可知f（x）为奇函数，故

19.由曲线y=e-x与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积是______

∙A.e-1

∙B.1

∙C.1-e-1

∙D.1+e-1

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]由题可知所求面积故应选C．

20.设定积分则______

（分数：

2.00）

 A.I1=I2

 B.I1＞I2 √

 C.I1＜I2

 D.不能确定，I1与I2的大小

解析：

[解析]当x∈（1，2）时，x2＞x．由定积分保序性可知即，I1＞I2故应选B．

21.向量a=j+k的方向角是______

A．

B．

C．

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：

[解析]向量a的坐标表示应为{0，1，1}，故方向余弦为则α，β，γ应为故应选D．

22.已知e-x是微分方程y"+3ay"+2y=0的一个解，则常数a=______

A．1

B．-1

C．3

D．

（分数：

2.00）

 A. √

 B.

 C.

 D.

解析：

[解析]令y=e-x，y"=-e-x，y"=e-x，代入有e-x-3ae-x+2e-x=0，由e-x≠0，

则有1-3a+2=0，a=1．故应选A．

23.下列微分方程中可进行分离变量的是______

∙A.y"=（x+y）ex+y

∙B.y"=xyex+y

∙C.y"=ayexy

∙D.y"=（x+y）exy

（分数：

2.00）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析：

[解析]对于B项，y"=xyex·ey，分离变量得故应选B．

24.设二元函数z=x3+xy2+y3，则

∙A.3y2

∙B.3x2

∙C.2y

∙D.2x

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]故应选C．

25.用钢板做成一个表面积为54m2的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为______

∙A.18m3

∙B.27m3

∙C.6m3

∙D.9m3

（分数：

2.00）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析：

[解析]设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，则有2xy+2yz+2xz=54，即xy+yz+xz=27，体积V=xyz，令F（x，y，z）=xyz+λ（xy+yz+xz-27），

解得x=3，y=3，z=3，

由于驻点（3，3，3）唯一，实际中确有最大值，故当x=3，y=3，z=3时长方体体积最大，最大值V=27．故应选B．

26.设D={（x，y）|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，则二重积分

（分数：

2.00）

 A.16π

 B.8π

 C.4π

 D.3π √

解析：

[解析]由二重积分的性质可知SD为D的面积．

27.已知则变换积分次序后

A．

B．

C．

D．

（分数：

2.00）

 A. √

 B.

 C.

 D.

解析：

[解析]积分区域为D：

0≤x≤1，0≤y≤x，也可表示为：

0≤y≤1，y≤x≤1，故交换积分次序后

28.设L为连接点（0，0）与点（1，）的直线段，则曲线积分∫Ly2ds=______

A．1

B．2

C．3

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析：

[解析]L可表示为

29.下列级数发散的是______

A．

B．

C．

D．

（分数：

2.00）

 A. √

 B.

 C.

 D.

解析：

[解析]选项A为调和级数，可知其发散．

30.已知级数则下列结论正确的是______

A．

B．若部分和数列{Sn}有界，则收敛

C．

D．

（分数：

2.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：

[解析]的必要条件，故应选C．选项B中，需要求为正项级数；选项D应改为若收敛，则收敛．

二、填空题（总题数：

10，分数：

20.00）

31.函数f（x）=x3的反函数是y=1．

（分数：

2.00）

解析：

[解析]令y=f（x）=x3，，故f（x）的反函数x∈R．

32.极限

（分数：

2.00）

解析：

[解析]

33.已知函数则点x=0是f（x）的1间断点．

（分数：

2.00）

解析：

可去[解析]，f（0）=1，故x=0是f（x）的可去间断点.

34.函数f（x）=e1-x在点x=0.99处的近似值为1．

（分数：

2.00）

解析：

1.01[解析]取x0=1，Δx=-0.01，有f（x0+Δx）=f（0.99）≈f（x0）+f"（x0）Δx=1-1·（-0.01）=1.01．

35.不定积分∫sin（x+1）dx=1．

（分数：

2.00）

解析：

-cos（x+1）+C[解析]∫sin（x+1）dx=∫sin（x+1）d（x+1）=-cos（x+1）+C.

36.定积分

（分数：

2.00）

解析：

ln2[解析]

37.函数z=xy-x2-y2在点（0，1）处的全微分dz|（0，1）=1.

（分数：

2.00）

解析：

dx-2dy[解析]

38.与向量{2，1，2}同向平行的单位向量是1．

（分数：

2.00）

解析：

[解析]故与{2，1，2}同向平行的单位向量为

39.微分方程y+xy2=0的通解是1．

（分数：

2.00）

解析：

[解析]方程分离变量得两边积分得其中C为任意常数.当y=0时，可知也为方程的解.

40.幂级数的收敛半径为1．

（分数：

2.00）

解析：

3[解析]

三、计算题（总题数：

10，分数：

50.00）

41.计算极限

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]

42.求函数的导数．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]令u=2-cosx，

43.计算不定积分

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]

44.计算定积分

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]

45.设直线求过点A（0，1，2）且平行于直线l的直线方程．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]设已知直线l的方向向量为n，则

由于所求直线与l平行，故其方向向量可取{1，-2，1}，又直线过点A（0，1，2），故所求直线方程为

46.已知函数z=f（x，y）由方程xz-yz-x+y=0所确定，求全微分dz．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]令F（x，y，z）=xz-yz-z+y，

则Fx=z-1，Fy=-z+1，Fz=x-y，

因此

47.已知D={（x，y）|0≤x2+y2≤4}，计算二重积分

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]积分区域D可用极坐标表示为0≤r≤2，0≤θ≤2π,故

48.求微分方程xy"+y-x=0的通解．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]方程化简为为一阶线性微分方程，由通解公式得

其中C为任意常数．

49.求幂级数的收敛区间．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]令t=x-1．则级数为不缺项的幂级数．故收敛半径R=1，则-1＜t＜1．即-1＜x-1＜1，0＜x＜2，故收敛区间为（0，2）．

50.求级数的和函数．

（分数：

5.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]收敛半径R=1，

令

四、应用题（总题数：

2，分数：

14.00）

51.求由直线x=1，x=e，y=0及曲线所围成平面图形的面积．

（分数：

7.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]如图所示，

即所求图形．则面积

52.某工厂生产计算器，若日产量为x台的成本函数为C（x）=7500+50x-0.02x2，收入函数为R（x）=80x-0.03x2，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大?

（分数：

7.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[解析]利润=收入-成本，故利润L（x）=R（x）-C（x）=80x-0.03x2-7500-50x+0.02x2=30x-0.01x2-7500．

令L"（x）=30-0.02x=0，x得x=1500，

且L"（1500）=-0.02＜0．

故x=1500为L（x）的极大值，又由实际问题，极值唯一，故x=1500为L（x）的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．

五、证明题（总题数：

1，分数：

6.00）

53.已知方程4x+3x3-x5=0有一负根x=-2，证明方程4+9x2-5x4=0必有一个大于-2的负根．

（分数：

6.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：

（）

解析：

[证明]令f（x）=4x+3x3-x5，由题可知f（-2）=0，又有f（0）=0，f（x）在[-2，0]上连续，存（-2，0）上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈（-2，0），使得f"（ξ）=4+9ξ2-5ξ1=0，

即方程4+9x2-5x4=0必有一个大于-2的负根．