高中数学教师实系数一元二次方程.docx
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高中数学教师实系数一元二次方程
高中数学备课组
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学生情况：
主课题：
实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
2
和实数一样，复数abi和cdia,b,c,dR,若满足abicdi，则称abi是
2
cdi的平方根。
因为abicdi，所以cdi的平方根是abi两个数。
（1）求法：
利用复数相等求复数的平方根
2）1的立方根：
1,13i,13i,
2222
13i1
的常用结论：
；1,120；2
2
思考：
当nZ时，n取何值？
2．实系数一元二次方程
ax2bxc
0a,b,cR且a0在复数集中恒有解．当判别式
2
b4ac0时，方程有两个实数解
x1,2
bb24ac2
时，方程有两个虚根，且互为共轭x1,2
b4acb2
i．
2a2a
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：
实系数一元二次方程在复数集中一定
有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。
此性质可推广到实系数一元n次方程在复
数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程ax2bxc0a,b,cR且a0在复数范围内，韦达定理仍然
成立。
热身练习
1.、是一元二次方程x26x100的根，则（）24
21111
2.在复数范围内分解因式4xx5_4（x79i）（x79i）
8888
3.已知复数、满足2且1，则2323__2i，2i
4.方程zz3z40的解集是_1
5.方程x2ixi10的两根为__1、1i
i（1i）5
6.已知a3是实系数方程x
（13i）3
1
pxq0的根，则pq_
2
7.复数34i的平方根是（2i）
8.下列命题在复数集中是否正确？
为什么？
1）若a,b,cR,a
22
0,且b4ac0，则方程ax
bxc0有两个实数根。
2）
若a,b,c
R,a0,且x1,x2是方程axbx
c0的两个根，
bcx1x2,x1x2；
aa
3）
若a,b,c
R,a0,且x1,x2是方程ax2
bxc0的两个根，
22
x1x2x1x2；
（4）若a,b,cR,a0,且是方程ax2bxc0的根，则也是方程的根。
答案：
（1）、
（2）（4）正确，（3）不正确
例1．关于x的方程3x2
精解名题
6（m1）xm210的两根的模的和为2，求实数m的值。
解：
解：
[6（m1）]243（m21）24（m23m1）
2
（1）当0，即m3m10时，x1、x2R
12
mR，且x1x2（m1）0
3
x1与x2同号
0m23m10
由得
x1x222（m1）2
m0
（2）当0，即m23m10时，x1与x2为一对共轭复数，得x1x2
又x1x22，x1x21，x1x2x1x21，x1x21
2
m3m10
12
（m1）1
综上所述，得m0或m2
5
2，求一个以z
例2．已知复数满足4（32）i（i为虚数单位），z5
为根的实系数一元二次方程。
解：
（12i）43i
43i
12i
5z
2i
2i
i3i
若实系数一元二次方程有虚根z3i，则必有共轭虚根z3izz6，zz10
2
x6x100
例3．设非零复数z1、z2满足100z12
2z2
z
kz1z2kR，并且是虚数。
z1
（1）求证：
z210z1
（2）若kN*，当k在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数
z2
z1
解：
令
z2
z1
x，则原方程可化为x2kx
1000
（1）
12k2（400
k2）
10，即
z2
10，
z1
z2
10z1
（2）
kN*，k1,2,3,
19
k，故所求的和为
23
19
190
例4.求与自身的平方共轭的复数
解：
设zxyi,（x,yR）,依题意有：
x
yi
yi,
x
解之得：
y
0
0,
1x
0,y
1
2
3,
2
1
2
3
2
所求复数为
0,1,
例5.已知复数
z是86i的平方根，求
16z
100
的值。
解：
设z
yi,（x,yR）,Q
6i
yi
2
86i,即x
y22xyi
86i,
y2xy
8可得
16z
例6.设方程
100
z
3i时，为
60
22x
解：
Q
0,
得m
1
m
4
17
4
例7.已知
为实系数一元二次方程
求的值。
29x2x
8有x2
9,或x
1（舍），x
16z2
100
2
8164
m0的两根为
2
不一定成立，
共轭
0.
z3i
2
6i164
200
z
3i时，为6020i
0时，
ax2bx
0,0讨论。
c0的两个根，
3，求实数
m的值。
为虚数，
R,
2
Q
R,
Q1,
10,
例8.若关于x的方程2x23axa2
0至少有一个模为1的根，求实数
a的值。
解：
分两种情况讨论：
1）若模为
1的根是实数根，则实数根
x1，此时0即a0或a
将x
1代入方程中，得a2
2a2
0,此方程无实数解。
将x
1代入方程中，得a2
4a2
0,
a22，满足0
2）若模为
1的根是虚根，则此时
0,
8a0
所以设模为1的虚根为
则另一根为
2aa
又Q
2
1,
a2
a2
2或a
例9.,
是方程x2
2xa
0的两个根，其中
R,求
的值。
解：
当
0a
备选例题
1）0
a1,
2;
（2）
0,
44a
a1,
22
2a
1.对任意非零复数z，定义集合Mz
2n1
n
是方程
2x1
0的一个根，试用例举法表示集合
Ma
解：
是x2
2x1
2
12（1
i）或
（1
i）
2
i）时，
i,
2n1
1
（12）n
1n
i
1
1i
11
2
2（1
i）,
2
2（1i）,
2
2（1
2
i）,2（1i）
（1
i）时，有M
M2
23
2.设复数zabi（a0,b0）是实系数方程xpxq0的根，又z为实数，求点
（p,q）的轨迹。
解：
zabi实系数方程的根，zabi也是此方程的根。
zzp
zzq
2ap
22
abq
333223
z（abi）a3ab（3abb）i为实数（b0）
3a2bb30，即3a2b2
得q4a2,p2q，
a0，所以p0
轨迹x2y
方法提炼
1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。
复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的
形式是不同的。
巩固练习
1.若1i是方程x2mxn0（m,nR）的一个解，那么mn（-4）
3
2．若虚数z满足z
8，则
z22z
3.在复数集内分解因式：
（1）
x26
_（x2）（x
2）（x3i）（x3i）
4.计算：
（1）
2
2）x2xcos
1_（xcosisin）（xcosisin）
1996
1i1
13i9982
6
13i15
13i
12
513
255i
5.求证：
在复数范围内，方程z（1i）z（1i）z（i为虚数单位）无解。
6.设,为方程x22xt0tR的两个根，ft,求
（1）ft的解析式；
（2）证明关于t的方程ftm,当m2时，恰有两个不等的根，且两根之和为定值。
2t,t0.
解：
（1）2,0t1
21t,t0
1
（2）证明：
函数yft的图像关于直线t对称，当t1,时，ft为增函数，且
2
ft2,，所以当m2时，
在区间,0上也有唯一解t2，则
ft2,；当t,0时，ft为减函数，
方程ftm在区间1,有唯一解t1，
1
t1t221
2
1n1*
7.已知z1,求zn,nN
2n3kkN*
=1n3k1kN*
1n3k2kN*
zz
1133
解：
由z1,得：
zi,得z1，原式
z22
179i
自我测试
8
2
2.已知a、bR，若方程2x3axb0的一个根为3i，则ab_80
2
3.已知一元二次方程x2（1i）xa2i0有实数根，则a6
4.满足方程zzi2009的复数z有0个
1.在复数范围内解方程4x2x50，解集是
2
5.已知满足等式
0.
解：
所以等式成立。
1）计算
2）
3）计算：
2）
41；
求证：
对任意复数u，有恒等式
30
3u3
3）2n
z1、
2n
40
50
1,n
3040
7.设等比数列
50
；
4
3u31
434
3u2
3u
3u
3u22
1）求a,b的值；
z2
31
3kk
N*
是关于x的一元二次方程
z1、z2的最大值与最小值
3k1k
3k2k
tan
sin
cot
0的两个根，且
z1,z2,z3,Lzn,L其中z11,z2a
bi,z3b
ai
a,b
R,a0
2）试求使z1z2z3Lzn0的最小自然数
解：
3）对于
（2）中的n，求z,z2,z3,Lzn的值。
2bi
bai解之得：
32,b
12,且公比q23
z1
z2
z3L
zn
3）z,z2,z3,L
zn
z1
n
31
i
22
31
2
qqL
23i
66q
，所以最小自然数为
12
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