高中数学教师实系数一元二次方程.docx

1、高中数学教师实系数一元二次方程高中数学 备课组教师 班级学生日期上课时间学生情况：主课题：实系数一元二次方程教学内容知识精要1 复数的平方根与立方根：2和实数一样，复数 a bi 和 c di a,b,c,d R ,若满足 a bi c di ，则称 a bi 是2c di 的平方根。因为 a bi c di ，所以 c di 的平方根是 a bi 两个数。( 1)求法：利用复数相等求复数的平方根2) 1 的立方根： 1, 1 3 i, 1 3 i,22 221 3i 1的常用结论： ； 1,1 2 0； 22思考：当 n Z 时， n 取何值？2 实系数一元二次方程ax2 bx c0 a,b

2、,c R 且 a 0 在复数集中恒有解当判别式2b 4ac 0时，方程有两个实数解x1,2b b2 4ac 2时，方程有两个虚根，且互为共轭 x1,2b 4ac b2i2a 2a( 1)在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根， 它们是两个实根或者是一对共轭虚根。 此性质可推广到实系数一元 n 次方程在复数集中的情况也成立。( 2)实系数一元二次方程 ax2 bx c 0 a,b,c R 且 a 0 在复数范围内，韦达定理仍然成立。热身练习1. 、 是一元二次方程 x2 6x 10 0的根，则 ( )2 42 11 112.在复数范围内分解因式 4x

3、x 5 _4(x 79i)( x 79i ) 88 883.已知复数 、 满足 2 且 1 ，则 23 23 _ 2i ， 2i4.方程 z z 3z 4 0的解集是 _ 15.方程 x2 ix i 1 0的两根为 _1、 1 ii(1 i)56.已知 a 3 是实系数方程 x(1 3i)31px q 0 的根，则 pq _ 27.复数 3 4i 的平方根是（ 2 i ）8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？1)若 a,b,c R,a220, 且 b 4ac 0 ，则方程 axbx c 0有两个实数根。2）若 a,b,cR,a 0, 且 x1, x2 是 方 程 ax bxc 0的 两 个

4、根 ，bc x1 x2 , x1 x2 ；aa3）若 a,b,cR,a 0, 且 x1, x2 是 方 程 ax2bx c 0 的 两 个 根 ，22x1 x2 x1 x2 ；（ 4）若 a,b,c R,a 0, 且 是方程 ax2 bx c 0的根，则 也是方程的根。答案： （ 1 ） 、 （ 2） （ 4）正确， （ 3）不正确例 1关于 x 的方程 3x 2精解名题6（m 1）x m2 1 0的两根的模的和为 2，求实数 m 的值。解：解： 6(m 1) 2 4 3(m2 1) 24(m2 3m 1)2(1)当 0 ，即 m 3m 1 0 时， x1、 x2 R12m R ，且 x1x2

5、 (m 1) 03x1 与 x2同号0 m2 3m 1 0由得x1 x2 2 2(m 1) 2m0(2)当 0，即 m2 3m 1 0时， x1与 x2为一对共轭复数，得 x1 x2又 x1 x2 2 ， x1 x2 1 ， x1 x2 x1 x2 1 ， x1 x2 12m 3m 1 012(m 1) 1综上所述，得 m 0或 m 252 ，求一个以 z例 2已知复数 满足 4 (3 2 )i ( i 为虚数单位) ， z 5为根的实系数一元二次方程。解： (1 2i ) 4 3i4 3i1 2i5 z2i2ii 3i若实系数一元二次方程有虚根 z 3 i ，则必有共轭虚根 z 3 i z

6、z 6， z z 102x 6x 10 0例 3设非零复数 z1、 z2 满足 100 z122 z2zkz1 z2 k R ，并且 是虚数。z1(1)求证： z2 10 z1(2)若 k N* ，当 k在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数z2z1解：令z2z1x ，则原方程可化为 x 2 kx100 0(1)12 k2 (400k2)10 ，即z210，z1z210z1(2)k N*， k 1,2,3,19k ，故所求的和为2319190例 4. 求与自身的平方共轭的复数解：设 z x yi,( x, y R) ,依题意有： xyiyi,x解之得：y00,1x0, y123,21232

7、所求复数为0,1,例 5.已知复数z 是 8 6i 的平方根，求16z100的值。解：设 zyi,(x, y R),Q6iyi28 6i, 即 xy2 2xyi8 6i,y 2xy8 可得16z例 6.设方程100z3 i 时，为602 2x解： Q0,得m1,m4174例 7.已知为实系数一元二次方程求 的值。29 x2 x8有 x29, 或 x1 （舍） ， x16 z210028 164m 0 的两根为2不一定成立，共轭0.z3i26i 164200z3 i 时，为 60 20i0时，ax2 bx0, 0 讨论。c 0 的两个根，3 ，求实数m 的值。为虚数，R,2,QR,Q 1,1 0

8、,例 8.若关于 x的方程 2x2 3ax a20 至少有一个模为 1 的根，求实数a 的值。解：分两种情况讨论：1 )若模为1 的根是实数根，则实数根x 1 ，此时 0 即 a 0 或 a将x1 代入方程中，得 a 22a 20, 此方程无实数解。将x1 代入方程中，得 a 24a 20,a 2 2 ，满足 02)若模为1 的根是虚根，则此时0,8a0所以设模为 1 的虚根为则另一根为2 aa,又 Q21,a2a22或 a例 9. ,是方程 x22x a0 的两个根，其中R, 求的值。解：当0a备选例题1) 0a 1,2; ( 2)0,4 4aa 1,222a1.对任意非零复数 z ，定义集

9、合 M z2n 1,n是方程2x 10 的一个根，试用例举法表示集合Ma解：是 x22x 121 2 (1i)或(1i)2i) 时，i,2n 11( 12 )n1ni11i1122 (1i),22 (1 i ),22 (12i), 2 (1 i)(1i) 时，有 MM2232.设复数 z a bi (a 0, b 0) 是实系数方程 x px q 0的根，又 z 为实数，求点( p,q) 的轨迹。解： z a bi 实系数方程的根， z a bi 也是此方程的根。zz pzz q2a p22abq3 33 2 2 3z (a bi ) a 3ab (3a b b )i 为实数 ( b 0)3a

10、2b b3 0，即 3a2 b2得 q 4a2, p2 q ，a 0 ，所以 p 0轨迹 x2 y方法提炼1 判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练2一元二次方程的系数含有虚数时， 判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。3分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。巩固练习1.若 1 i 是方程 x2 mx n 0 (m,n R) 的一个解，那么 m n ( -4 )32若虚数 z 满足 z8 ，则z2 2z3.在复数集内分解因式：(1)x2 6_(x 2)(x2)(x 3i)(x 3i)4.计算： ( 1)22) x 2xcos1

11、_(x cos i sin )(x cos i sin ) 19961i 11 3i 998 261 3i 151 3i12513 2 5 5i5.求证：在复数范围内，方程 z (1 i)z (1 i)z ( i 为虚数单位)无解。6.设 , 为方程 x2 2x t 0 t R 的两个根， f t , 求 ( 1) f t 的解析式；( 2)证明关于 t的方程 f t m,当 m 2时，恰有两个不等的根，且两根之和为定值。2 t,t 0.解： ( 1 ) 2,0 t 12 1 t,t 01(2)证明：函数 y f t 的图像关于直线 t 对称，当 t 1, 时， f t 为增函数，且2f t

12、2, ， 所以当 m 2 时，在 区 间 ,0 上 也 有 唯 一 解 t2 ， 则f t 2, ； 当 t ,0 时， f t 为减函数，方 程 f t m 在 区 间 1, 有 唯 一 解 t1 ，1t1 t2 2 121 n1 *7.已知 z 1,求 z n , n N2 n 3k k N *= 1 n 3k 1 k N*1 n 3k 2 k N*zz1 13 3解：由 z 1,得： z i ,得 z 1 ，原式z 221 79i自我测试822.已知 a、 b R，若方程 2x 3ax b 0的一个根为 3 i ，则 ab _80 23.已知一元二次方程 x2 (1 i )x a 2i

13、0有实数根，则 a 6 4.满足方程 z z i 2009的复数 z有 0 个1.在复数范围内解方程 4x2 x 5 0，解集是25.已知 满足等式0.解：所以等式成立。1 ）计算2）3）计算：2）4 1；求证：对任意复数 u ，有恒等式303u33) 2nz1、2n40501,n30 407.设等比数列50；43 u3 143 43u23u3u3u2 21 ）求 a , b 的值；z2313k kN*是关于 x 的一元二次方程z1 、 z2 的最大值与最小值3k 1 k3k 2 ktansincot0 的两个根，且z1, z2,z3,L zn,L 其中 z1 1, z2 abi,z3 baia,bR, a 02）试求使 z1 z2 z3 L zn 0 的最小自然数解：3）对于（ 2）中的 n ，求 z ,z2,z3,L zn的值。2 bib ai 解之得：3 2,b12,且公比 q 23z1z2z3 Lzn3) z , z2,z3,Lznz1n31i22312qqL23i66 q，所以最小自然数为12