高数b常用公式手册docx.docx

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常用高数公式

«1、乘法与因式分解公式

*2、三角不等式

«3、一元二次方程火」一滋-卜=一U的解

«4、某些数列的前n项和

*5、二项式展开公式

«6、基本求导公式

«7、基本积分公式

・8—些初等函数两个重要极限

・9、三角函数公式正余弦定理

*10、莱布尼兹公式

*11、中值定理

*12、空间解析几何和向量代数

*13、多元函数微分法及应用

*14、多元函数的极值

*15、级数

*16、微分方程的相关概念

1、乘法与因式分解公式

1.1。

'一护=〔□一b）（仇十占）

1.2

αε±b®=（α±∂）（αa干α⅛十巧

（α-6）（αri^1+αre"⅛+αfl^⅛s+…十α⅛re"2+δr1"1）

（α+6）（flri^1÷αre-⅛-αfl^⅛a+-+α⅛re-2-⅛re-1）

1.4anbn=（ab）（an4-an^ban'b2--abn，bn4）（n为奇数）2、三角不等式

2.1:

■'■-τlIH

2.3■—I∣∙r

2.4_

2.6

IaIl≤b令一b

3、一元二次方程门卄十C--c—；的解

3.2（韦达定理）根与系数的关系:

≈l十込=-―、

2=一

3.3判别式:

>0万桂有祁异一买恨.

=0方程有相等二实根,

<0方程有共辄复数根.

4、某些数列的前n项和

4.1

1nC%（仇+1）

1十2十3十E-I-SI=

4.2

1十3+5十…十（2n—1）=h

4.3

2十4十6—十（加）—丸（n+1）

4.4

la+2z+3z+^+√=n^+l）（2n+l]

4,5

ι≡□≡_i_C3_LIfCn≡n{4nz-1）

1十3十5十"’十[2nIJ=

4.6I3+2s+3a+■■+nS=

na（n十I）Z

471"十3’十5’十■■■十（2说一=—1）

4.8

1.2+2.3十…十伦伍十l）=ri5+l>3+勿5、二项式展开公式

5.1（α十b=/十曲■叫十巩：

；1）屮-帖十讪_：

3_2）十一聊十…十十⑷-I）十-“1）严时十…十屮

Jcl

6基本求导公式：

（C）亠0（C为常数）

（X：

）■=：

•X:

J（--为实数）

（ax）∙=ax∣na（ex）=ex

H1.1

（IOgaX）（lnx）

XlnaX

（Sinx）■=cosX

（cosX）=-SinX

（tanX）=sec2X=—1-

cos2X

（cotX）--csc2Xa

（SeCX）=SeCXtanX

（CSCx）

（arcsin

Sin2X

=-CSCXcotX

X）—

（arccotx）-

1_x2

—X

1亠X

（arccos

（arctan

x）'

1■X2

7、基本积分公式：

OdX=C

X时

XdXC—

L鳥門

dx=InXC

exdx=exC

axdx—C

lna

CoSXdX=SinXC

SinXdX=-cosxC

JSeCXdX=lnsecx+tanx+C

ILCSCXdX=lnCSCx—cotx+C

2=arctanXC

1x2

ILtdx=arcsinx+C

J2-X2

cos

」・2

Sin

sec2Xd^=tanxC

csc2XdX--COtXC

SeCXtanXdX=SeCXC

CSCXcotXdX--CSCXC

8、一些初等函数:

两个重要极限:

X.X

双曲正弦：

shx=e—

X-X

双曲余弦:

ChX=

IimSnZ

XeX

Iim（11）x=e=2.718281828459045∙∙∙

」X-X

双曲正切：

thx=空=学N

ChXe+earshx=In（xx21）

archx=In（x..x2「1）

arthx

111X

21-x

9、三角函数公式:

•和差角公式:

•诱导公式：

、\函数角

Sin

CQS

tan

CQt

-α

-Sinα

CQSα

-tanα

-CQtα

90O-α

CQSα

Sinα

CQtα

tanα

90°α

CQSα

-Sinα

-CQtα

-tanα

180°α

Sinα

-CQSα

-tanα

-CQtα

180°+α

-Sinα

-CQSα

tanα

CQtα

270O-α

-CQSα

-Sinα

CQtα

tQtα

270°α

-CQSα

Sinα

-CQtα

-tanα

360O-α

-Sinα

CQSα

-tanα

-CQtα

360°α

Sinα

CQSα

tanα

CQtα

•和差化积公式:

Sin（卅二I）=Sin：

COSL=COSSinLCOSG^=CO^cos：

「sin：

SinL

tan；-tanL

1^tan：

tan:

tan（：

：

）

ZIRXCOtGCOtPτ1

CotG-厂

COtP±cot°f

Rα+βα-β

sin：

Sin=2sincos—

Rα+βα-P

sin：

-Sin-2cosSin

Rα+P

COS：

COS-=2COS

α-β

COS

Rα

cos：

-COS-=2sin

+βCt-B

Sin

•倍角公式:

•半角公式：

1-cos：

Sin

=±J

1-cos：

Sin笃

tan—

-+J

——

11cos：

SinG1+cosα

cos—

1cos：

±J

cot—.1cos

21-cos：

1cos：

sin：

Sin：

1-cos：

sin2：

=2sin：

cos：

arctanxarccotX

•反三角函数性质：

arcsinX=—arccosx

10、高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：

（n）k（n~k）（k）

（UV）CnUV

k=0

=U（n）VnU（ni）Vn^^U（n^）^n（n一1）（n-k叽®）UV（n）

11、中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）-f（a）=f（）（b-a）

柯西中值定理：

f（b）-f（a）

F（b）-F（a）F徉）

当F（X）=X时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

12、空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：

d=MiM2=J（X2-Xi）2+卜2-yι）2+（Z2-z∣）2向量在轴上的投影：

PrjuAB=ABcos®®是AB与U轴的夹角。

Prju（Qa?

）=PrjaiPrja2

a^=IabCOSe=axbx+ayby+azbz,是--个数量，

两向量之间的夹角:

COSJ=

aχbχaybyazbz

-ijc=aχb=axay

bχby

az,c=∣a∙bsi例：

线速度：

v=w=

axay

向量的混合积：

〔abcj=（*b）c=bxby

bz=a×^bGCO^a为锐角时,

CXCy

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:

A（X-Xo）B（y-y°）C（Z-Zo）=0,其中n={A,B,C},Mo（x°,y°,Zo）

2、一般方程：

AXByCZD=0

3、截距世方程：

--=1

abC

平面外任意一点到该平面的距离：

d」AXo+Byo+CZo+D]

Ja2+b2+c2

FX=X0+mt

空间直线的方程：

—_=—=_=t,其中s={m,n,p};参数方程：

y=y0+nt

ImnP

JZ=Z0+Pt

二次曲面：

222

1、椭球面:

Xr每Zr=1

abC

2、抛物面：

'L=z,（p,q同号）

P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面：

x2⅛-⅛=1

abC

222

双叶双曲面：

x2-y2z2=1（马鞍面）

abC

13、多元函数微分法及应用

全微分：

dz=^dx+^dydu=砂dx+EUdy十EUdZ

Jn_Jn

-XJy:

全微分的近似计算：

Z■■-dz=fx（χ,y）：

Xfy（X,y）：

y多元复合函数的求导法：

dz√z√uIZ：

11τ-t11T”

Z=f[u（t）,v（t）]

dt；uΛ；vft

z=f[u（x,y）,v（x,y）]

UIZ:

当u=u（x,y）,V=v（x,y）时,

dudxdy

；:

CVdxdy

.x；:

隐函数的求导公式：

隐函数F（x，y）=0,

d2y

FX：

：

X）+（-

-FX）dy

卜y

Fy:

Fydx

隐函数F（x，y，z）=。

√Z

；:

隐函数方程组：

：

F（x,y,u,v）=0

IC（F,G）

J——

瓦

CV-

FUFV

G（x,y,u,v）=0

8（u,v）

GUGV

点（F,G）

=—

E（F,G）

欽x,v）

6（u,x）

f（F,G）

矽

/（F,G）

£（y,v）

β（u,y）

微分法在几何上的应用:

」_X=（t）

空间曲线y=*（t）在点M（xo,yo,z0）处的切线方程：

气X）=晋）=盲°Z-（t）000

若空间曲线方程为:

在点M处的法平面方程：

「（to）（x-Xo）丄（to）（y-y。

）「「（to）（z-Zo）=0

Gχ,

}

鳥X则切向量-{

曲面F（x,y,z）=O上一点M（Xo,y°,Zo）,则:

1、过此点的法向量:

n={Fχ（X。

，y。

z。

）,Fy（x°,y°,Zo）,Fz（x。

，y°,z°）}

2、过此点的切平面方程:

Fx（X^ysZo）（X-Xo）Fy（冷』。

，乙。

）（丫-丫。

）Fz（X^ycnZo）（Z-Zo）=O

3、过此点的法线方程:

x_x。

_y_y。

_z-z。

Fχ（Xo,y。

，Z。

）Fy（X。

，y。

，z。

）FZ（x。

，y。

，z。

）

14、多元函数的极值及其求法:

交错级数U1-U2.U3-U4•…（或-u1u2-u3.…

Un占Un十

l.C,那么级数收敛且其和S≤U1,其余项rn的绝对值rn≤U

IImUn=Onn

如果交错级数满足丿

Ln-⅛PC

un0）的审敛法莱布尼兹定理:

n∙1o

15、级数

绝对收敛与条件收敛:

（I）U1U?

：

；…：

：

；'Uns其中Un为任意实数;

⑵Ui+U2∣+U3∣+…+∣Un+…

如果

（2）收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果

（2）发散，而

（1）收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数：

：

•1发散，而∙∏L收敛；

级数：

：

•-2收敛;

P级数：

p_1时发散

P∙1时收敛

幕级数:

函数展开成泰勒级数：

f（χnf2XO）（XF2fn（XO）（XFn

X0=0时即为麦克劳林公式:

一些函数展开成幕级数：

f（X）=f（0）f（0）x

f（n）（0）

+"L

函数展开成幕级数:

f（n十）（E）

余项：

RnJLJ（X-χ°）n1,f（χ河以展开成泰勒级数的充要条件是:

（n+1）!

nimRn

“丄、m丿丄丄m（mT）2亠丄m（mT）…（m—n+1）n亠…八

（1+x）m=1+mx+、丿χ2+∙.+∖JV丿xn+"∙（_1cx<1）

352n4

SinX=X-XX（T）n'X（-二：

X：

：

）

（2n-1）!

欧拉公式:

eCOSXISlnX

ix,JXe+e

COSX=

或

ixJX

e-e

SinX=

16、微分方程的相关概念：

一阶微分方程：

y"=f（χ,y）或P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0

可分离变量的微分方程：

一阶微分方程可以化为g（y）dy=f（x）dx的形式，解法：

g（y）dy=jf（x）dx得：

G（y）=F（x）∙C称为隐式通解。

齐次方程：

一阶微分方程可以写成dy=f（x,y）=（x,y）,即写成—的函数，解法：

dxX

设U=Y,贝Udy=UXdU,UdU=（u）,dxdu—分离变量，积分后将—代替u,

XdxdxdxX（U）-UX

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程：

dy-P（X）^Q（X）

J当Q（X）=O时,为齐次方程，y=Ce^P（X）血

•.当Q（X）=O时，为非齐次方程，y=（Q（x）e

P（x）dx…P（x）dx

dx+C）eJ

2贝努力方程：

dyP（x）y=Q（x）yn,（n=0,1）

二阶微分方程:

d2y

dxr

P（X）dyQ（X）^f（X）,

f（x）≡0时为齐次

f（X）=0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）yPyqy=0,其中p,q为常数;

求解步骤：

1写出特征方程：

（.））r2pr^0,其中r2,r的系数及常数项恰好是

2、求出Ci）式的两个根r1,r2

（*）式中y,y,y的系数;

r1，r2的形式

（*）式的通解

两个不相等实根（p2-4q>0）

rιx丄r^x

y=c1e1+c2e2

两个相等实根（P2—4q_0）

y=（c1+c2x）e"x

一对共轭复根（p2—4q<0）

「1=G+iB，「2=口-iP

Of=P,「J4q—p2

y=eox（c1CoSPX+c2Sin0x）

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

二阶常系数非齐次线性微分方程：

yPyqy=f（x），p,q为常数

f（x）=exPm（X）型，■为常数；

f（x）=e'X[P（X）CoS⑷X+Pn（x）sint）χ]型

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