3、一元二次方程门卄十C--c—;的解
3.2(韦达定理)根与系数的关系:
b
C
≈l十込=-―、
a
2=一
a
3.3判别式:
>0万桂有祁异一买恨.
=0方程有相等二实根,
<0方程有共辄复数根.
4、某些数列的前n项和
4.1
1nC%(仇+1)
1十2十3十E-I-SI=
4.2
1十3+5十…十(2n—1)=h
4.3
2十4十6—十(加)—丸(n+1)
4.4
la+2z+3z+^+√=n^+l)(2n+l]
6
4,5
ι≡□≡_i_C3_LIfCn≡n{4nz-1)
1十3十5十"’十[2nIJ=
O
4.6I3+2s+3a+■■+nS=
na(n十I)Z
471"十3’十5’十■■■十(2说一=—1)
4.8
1.2+2.3十…十伦伍十l)=ri5+l>3+勿5、二项式展开公式
5.1(α十b=/十曲■叫十巩:
;1)屮-帖十讪_:
3_2)十一聊十…十十⑷-I)十-“1)严时十…十屮
Jcl
6基本求导公式:
(C)亠0(C为常数)
(X:
)■=:
•X:
J(--为实数)
(ax)∙=ax∣na(ex)=ex
H1.1
(IOgaX)(lnx)
XlnaX
(Sinx)■=cosX
(cosX)=-SinX
(tanX)=sec2X=—1-
cos2X
(cotX)--csc2Xa
(SeCX)=SeCXtanX
(CSCx)
(arcsin
Sin2X
=-CSCXcotX
X)—
(arccotx)-
1_x2
I
1
1
2
—X
1
1亠X
2
F
1
1
(arccos
(arctan
x)'
x)'
1■X2
7、基本积分公式:
OdX=C
X时
XdXC—
L鳥門
1
dx=InXC
X
exdx=exC
X
axdx—C
lna
CoSXdX=SinXC
SinXdX=-cosxC
JSeCXdX=lnsecx+tanx+C
ILCSCXdX=lnCSCx—cotx+C
dx
2=arctanXC
1x2
ILtdx=arcsinx+C
J2-X2
dx
J2
cos
dx
」・2
Sin
sec2Xd^=tanxC
csc2XdX--COtXC
SeCXtanXdX=SeCXC
CSCXcotXdX--CSCXC
8、一些初等函数:
两个重要极限:
X.X
双曲正弦:
shx=e—
2
X-X
双曲余弦:
ChX=
2
IimSnZ
XeX
=1
Iim(11)x=e=2.718281828459045∙∙∙
jX
」X-X
双曲正切:
thx=空=学N
ChXe+earshx=In(xx21)
archx=In(x..x2「1)
arthx
111X
In
21-x
9、三角函数公式:
•和差角公式:
•诱导公式:
、\函数角
Sin
CQS
tan
CQt
-α
-Sinα
CQSα
-tanα
-CQtα
90O-α
CQSα
Sinα
CQtα
tanα
90°α
CQSα
-Sinα
-CQtα
-tanα
180°α
Sinα
-CQSα
-tanα
-CQtα
180°+α
-Sinα
-CQSα
tanα
CQtα
270O-α
-CQSα
-Sinα
CQtα
tQtα
270°α
-CQSα
Sinα
-CQtα
-tanα
360O-α
-Sinα
CQSα
-tanα
-CQtα
360°α
Sinα
CQSα
tanα
CQtα
•和差化积公式:
Sin(卅二I)=Sin:
COSL=COSSinLCOSG^=CO^cos:
「sin:
SinL
tan;-tanL
1^tan:
tan:
tan(:
:
)
ZIRXCOtGCOtPτ1
CotG-厂
COtP±cot°f
Rα+βα-β
sin:
Sin=2sincos—
22
Rα+βα-P
sin:
-Sin-2cosSin
2
Rα+P
COS:
COS-=2COS
2
α-β
COS
22
Rα
cos:
-COS-=2sin
+βCt-B
Sin
22
•倍角公式:
•半角公式:
α
1-cos:
Sin
=±J
2
V2
α
1-cos:
1-cos:
Sin笃
tan—
-+J
——
2
11cos:
SinG1+cosα
cos—
2
1cos:
±J
cot—.1cos
21-cos:
1cos:
sin:
Sin:
1-cos:
sin2:
=2sin:
cos:
π
arctanxarccotX
2
J[
•反三角函数性质:
arcsinX=—arccosx
2
10、高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:
n
(n)k(n~k)(k)
(UV)CnUV
k=0
=U(n)VnU(ni)Vn^^U(n^)^n(n一1)(n-k叽®)UV(n)
2!
k!
11、中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)-f(a)=f()(b-a)
柯西中值定理:
f(b)-f(a)
F(b)-F(a)F徉)
当F(X)=X时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
12、空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d=MiM2=J(X2-Xi)2+卜2-yι)2+(Z2-z∣)2向量在轴上的投影:
PrjuAB=ABcos®®是AB与U轴的夹角。
Prju(Qa?
)=PrjaiPrja2
a^=IabCOSe=axbx+ayby+azbz,是--个数量,
两向量之间的夹角:
COSJ=
aχbχaybyazbz
-ijc=aχb=axay
bχby
k
az,c=∣a∙bsi例:
线速度:
v=w=bz
axay
向量的混合积:
〔abcj=(*b)c=bxby
az
bz=a×^bGCO^a为锐角时,
CXCy
CZ
代表平行六面体的体积
平面的方程:
1、点法式:
A(X-Xo)B(y-y°)C(Z-Zo)=0,其中n={A,B,C},Mo(x°,y°,Zo)
2、一般方程:
AXByCZD=0
3、截距世方程:
--=1
abC
平面外任意一点到该平面的距离:
d」AXo+Byo+CZo+D]
Ja2+b2+c2
FX=X0+mt
空间直线的方程:
—_=—=_=t,其中s={m,n,p};参数方程:
y=y0+nt
ImnP
JZ=Z0+Pt
二次曲面:
222
1、椭球面:
Xr每Zr=1
abC
22
2、抛物面:
'L=z,(p,q同号)
P2q
3、双曲面:
222
单叶双曲面:
x2⅛-⅛=1
abC
222
双叶双曲面:
x2-y2z2=1(马鞍面)
abC
13、多元函数微分法及应用
全微分:
dz=^dx+^dydu=砂dx+EUdy十EUdZ
Jn_Jn
-XJy:
X:
y:
Z
全微分的近似计算:
:
Z■■-dz=fx(χ,y):
Xfy(X,y):
y多元复合函数的求导法:
dz√z√uIZ:
V
11τ-t11T”
Z=f[u(t),v(t)]
dt;uΛ;vft
z=f[u(x,y),v(x,y)]
.:
Z
.:
UIZ:
V
+
当u=u(x,y),V=v(x,y)时,
dudxdy
dv
;:
v
CVdxdy
.x;:
y
.x
Cy
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)=0,
dy
FX
d2y
2-
FX:
:
X)+(-
-FX)dy
dx
卜y
dx
JX
Fy:
y
Fydx
隐函数F(x,y,z)=。
√Z
FX
;:
z
Fy
X
FZ
:
y
FZ
CF
CF
隐函数方程组:
:
F(x,y,u,v)=0
IC(F,G)
J——
瓦
CV-
FUFV
G(x,y,u,v)=0
8(u,v)
CG
CG
GUGV
CU
CV
1
点(F,G)
=—
1
E(F,G)
CX
J
欽x,v)
CX
J
6(u,x)
1
f(F,G)
矽
1
/(F,G)
J
£(y,v)
Cy
J
β(u,y)
微分法在几何上的应用:
」_X=(t)
空间曲线y=*(t)在点M(xo,yo,z0)处的切线方程:
气X)=晋)=盲°Z-(t)000
若空间曲线方程为:
在点M处的法平面方程:
「(to)(x-Xo)丄(to)(y-y。
)「「(to)(z-Zo)=0
Fy
FZ
FZ
FX
FX
Fy
Gy
GZ
Gz
Gχ,
GX
Gy
}
鳥X则切向量-{
曲面F(x,y,z)=O上一点M(Xo,y°,Zo),则:
1、过此点的法向量:
n={Fχ(X。
,y。
z。
),Fy(x°,y°,Zo),Fz(x。
,y°,z°)}
2、过此点的切平面方程:
Fx(X^ysZo)(X-Xo)Fy(冷』。
,乙。
)(丫-丫。
)Fz(X^ycnZo)(Z-Zo)=O
3、过此点的法线方程:
x_x。
_y_y。
_z-z。
Fχ(Xo,y。
,Z。
)Fy(X。
,y。
,z。
)FZ(x。
,y。
,z。
)
14、多元函数的极值及其求法:
交错级数U1-U2.U3-U4•…(或-u1u2-u3.…
Un占Un十
l.C,那么级数收敛且其和S≤U1,其余项rn的绝对值rn≤U
IImUn=Onn
如果交错级数满足丿
Ln-⅛PC
un0)的审敛法莱布尼兹定理:
n∙1o
15、级数
绝对收敛与条件收敛:
(I)U1U?
:
:
;…:
:
;'Uns其中Un为任意实数;
⑵Ui+U2∣+U3∣+…+∣Un+…
如果
(2)收敛,则⑴肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果
(2)发散,而
(1)收敛,则称⑴为条件收敛级数。
调和级数:
:
•1发散,而∙∏L收敛;
nn
1
级数:
:
•-2收敛;
P级数:
np
p_1时发散
P∙1时收敛
n
幕级数:
函数展开成泰勒级数:
f(χnf2XO)(XF2fn(XO)(XFn
X0=0时即为麦克劳林公式:
一些函数展开成幕级数:
f(X)=f(0)f(0)x
2!
f(n)(0)
n!
+"L
函数展开成幕级数:
f(n十)(E)
余项:
RnJLJ(X-χ°)n1,f(χ河以展开成泰勒级数的充要条件是:
(n+1)!
nimRn
=0
“丄、m丿丄丄m(mT)2亠丄m(mT)…(m—n+1)n亠…八
(1+x)m=1+mx+、丿χ2+∙.+∖JV丿xn+"∙(_1cx<1)
2!
n!
352n4
SinX=X-XX(T)n'X(-二:
X:
:
:
)
3!
5!
(2n-1)!
欧拉公式:
ix
eCOSXISlnX
ix,JXe+e
COSX=
或
ixJX
e-e
SinX=
16、微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
y"=f(χ,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式,解法:
g(y)dy=jf(x)dx得:
G(y)=F(x)∙C称为隐式通解。
齐次方程:
一阶微分方程可以写成dy=f(x,y)=(x,y),即写成—的函数,解法:
dxX
设U=Y,贝Udy=UXdU,UdU=(u),dxdu—分离变量,积分后将—代替u,
XdxdxdxX(U)-UX
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程:
dy-P(X)^Q(X)
dx
J当Q(X)=O时,为齐次方程,y=Ce^P(X)血
•.当Q(X)=O时,为非齐次方程,y=(Q(x)e
P(x)dx…P(x)dx
dx+C)eJ
2贝努力方程:
dyP(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)
dx
二阶微分方程:
d2y
dxr
P(X)dyQ(X)^f(X),
f(x)≡0时为齐次
f(X)=0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)yPyqy=0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1写出特征方程:
(.))r2pr^0,其中r2,r的系数及常数项恰好是
2、求出Ci)式的两个根r1,r2
(*)式中y,y,y的系数;
r1,r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根(p2-4q>0)
rιx丄r^x
y=c1e1+c2e2
两个相等实根(P2—4q_0)
y=(c1+c2x)e"x
一对共轭复根(p2—4q<0)
「1=G+iB,「2=口-iP
Of=P,「J4q—p2
22
y=eox(c1CoSPX+c2Sin0x)
3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
二阶常系数非齐次线性微分方程:
yPyqy=f(x),p,q为常数
f(x)=exPm(X)型,■为常数;
f(x)=e'X[P(X)CoS⑷X+Pn(x)sint)χ]型