翻译ParticleBased Anisotropic Surface Meshing.docx
《翻译ParticleBased Anisotropic Surface Meshing.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《翻译ParticleBased Anisotropic Surface Meshing.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
翻译ParticleBasedAnisotropicSurfaceMeshing
Particle-BasedAnisotropicSurfaceMeshing
摘要
本文介绍了一种基于粒子的各向异性表面网格划分方法。
给定一个输入多边形网格赋予了一个黎曼度量和指定数量的顶点，该方法生成一个度量适应网格。
主要思想包括映射
各向异性空间为高维各向同性的一个，称为“嵌入空间”。
网格的顶点是由均匀采样的表面，在这个高维嵌入空间，并通过优化的能量函数的准牛顿算法的采样进一步正规化。
所有的计算可以重新表示在嵌入的点积空间，和连接不同空间的映射的矩阵。
这种转换使得它不需要显式表示嵌入空间中的坐标，并提供有效计算的所有必需的能量和力的表达式。
通过能量优化，它自然会导致在原来的空间所需的各向异性粒子分布。
通过计算的限制的各向异性，然后生成的三角形Voronoi图和其对偶Delaunay三角剖分。
我们比较我们的研究结果定性和定量与国家的最先进的在各向异性表面网格划分的几个例子，使用标准的测量标准。
1引言
各向异性啮合提供了一种高度灵活的控制方式网格生成，通过让用户规定一个方向和密度场，肉牛的形状，大小和网格对齐。
在流体动力学模拟中，通常需要有细长的网格单元，具有期望方向和长宽比由一个黎曼度量张量场[alauzet和loseille给定2010]。
对于曲面造型，在逼近理论中证明了二者的最佳逼近光滑曲面有一个给定的三角形的数目时，实现的各向异性三角形遵循曲率特征值和特征向量张量[辛普森1994；Heckbert和花环1999]。
这可以从图2中的椭球面容易看出的两个主曲率Kmax/平方公里的比例接近1靠近椭球的两端，高达100中间部分。
沿方向的各向异性三角形在椭球体中部最小曲率提供最好的近似，而各向同性的三角形是必要的，在其两端。
在本文中，我们提出了一种新的各向异性网格划分方法表面赋予了一个黎曼度量。
我们依靠particlebased的方案，其中每对相邻颗粒的装备高斯能量。
它已被证明[威肯和Heckbert1994]把这个成对的高斯能量最小化，导致粒子的均匀各向同性分布。
计算各向异性网格上配备的黎曼度量概念的表面，我们利用一个高维的“嵌入空间”[纳什1954；柯伊伯1955]。
我们的方法优化的位置顶点，或颗粒，通过均匀采样的输入表面的高维嵌入。
这个嵌入是设计的这样一种方式，当投影回原来的空间（通常是二维或三维），均匀采样变各向异性的尊重输入度量。
直接引用到更高的三维嵌入是避免重新表达所有的计算中的条款在高维空间中的点积，以及连接不同空间的映射的矩阵。
基于此重新表达式，我们得到原则的能量和力模型，有效地计算在原来的流形上的准牛顿优化算法。
最后，三角形是由计算限制各向异性Voronoi图和提取其连接部件的双重。
本文提出了以下的贡献，有效地产生高品质的各向异性网格：
它介绍了一种新的基于粒子的各向异性制剂啮合。
它定义成对的高斯能量和力量在粒子之间，并制定能源优化的高维“嵌入空间”。
我们进一步展示了如何各向异性啮合可以转化为各向同性的啮合在这个高维嵌入空间（美国证券交易委员会。
3.1）。
这个能量被设计成这样一种方式，粒子均匀地分布在这个高维空间的表面上。
当能量被优化，相应的粒子在原来的歧管将实现所需输入度量的各向异性采样。
它提出了一种计算上可行的和有效的方法
为我们的能量优化（美国证券交易委员会。
3.2）。
高维能量函数和它的梯度被映射回原来的空间，其中的粒子可以直接优化。
这种计算方法避免了计算的需要高维嵌入空间。
这样的能量优化策略显示了非常快速的收敛速度，而不任何需要明确控制粒子的人口（例如，
插入或删除粒子以满足所需的各向异性。
2背景及相关作品
2.1各向异性的定义
各向异性表示距离和角度扭曲。
几何，距离和角度可以用点积测量：
⟨V，W⟩，这是一个双线性函数映射对矢量对点产品是对称的，积极的，明确的（SPD）。
如果点积与另一个SPD双线性形式所取代，然后各向异性空间的定义。
我们认为，一个度量M（。
），即一个SPD双线性形式，定义在域Ω⊂RM。
换句话说，在一个给定的点x∈Ω，点积两向量V和W之间的⟨V，W⟩M（X）。
在实践中，度量可以表示为一个对称的米×米矩阵米（×），在这种情况下，点产品成为：
⟨v,w⟩M（x）=vTM（x）w.
（1）
ThemetricmatrixM（x）canbedecomposedwithSingularValueDecomposition（SVD）into:
M（x）=R（x）TS（x）2R（x）,
（2）
wherethediagonalmatrixS（x）2containsitsorderedeigenvalues,
andtheorthogonalmatrixR（x）containsitseigenvectors.Wenote
thatagloballysmoothfieldR（x）maynotexistforsurfacesof
arbitrarytopology.
对于度量设计，我们使用以下2个选项：
（1）在我们的一些实验中，我们开始设计一个平滑的
缩放场（×）和一个旋转磁场的旋转（×），这是光滑的区域以外的那些奇点，并组成他们到（×）=（×）（×）和米（×）=（×）×（×），这和杜等人是一样的铝。
[2005]。
它们被定义在曲面的切空间上。
假设S1和S2在两对角项（x）对应的切空间的两个特征向量，≤S2和S1。
我们简单的叫S2S1作为拉伸比。
这个过程将发挥作用后来当用户指定所需的输入度量（美国证券交易委员会。
5）。
（2）注意到，如果用户由用户提供，则分解为
问（×）是非唯一的。
等效分解法（×）=问：
（x）（x）是不去任何给定矩阵Qo（x）=O（x）Q（x），（×）是一个米×米的正交矩阵。
换句话说，问（×）
是唯一的旋转。
然而，它很容易证明，如果SPD度量m（x）是给定的，它的平方根′Q（x）=√M（X）也是一个SPD矩阵，和这种分解是唯一的（[1985]的喇叭和约翰逊7.2.6定理）和光滑（[1968]的Freidlin2定理）。
（×）是一个对称的仿射映射：
q（×）=（×）（×）×）=q（×）。
在美国证券交易委员会。
5.1，我们使用“网格字体”的例子来显示，在我们的框架中，q（×）可以很好地工作，给出一个用户指定的光滑度量字段米（×）。
Itisinterestingtonotethatifthemetrictensorfieldisgivenas:
M（x）=ρ（x）m2·I,
whereρ（x）:
Ω→RandIistheidentitymatrix,thenM（x）definesanisotropicmetricgradedwiththedensityfunctionρ（x）.
给出的度量字段M（x）和一个开放的曲线C⊂Ω，长度被定义为切向量的长度的积分
用公制米（×）。
然后，各向异性距离2点之间的数据，可以被定义为长度的（可能是非唯一）最短的曲线，连接和Y。
2.2以前的作品
各向异性Voronoi图：
通过用公制定义的一个点的产品来代替，各向异性可以计算几何中，引入标准概念的定义例如，Voronoi图和Delaunay三角剖分。
最一般的设置是由曼Voronoi图[2000]，取代leibon和Letscher定义的各向异性距离数据挖掘（×）的距离。
一些理论上的结果是众所周知的，尤其是曼Voronoi图承认有效的双只有2维[boissonnat等人。
2012]。
然而，一个实际的执行情况仍在达到[Peyre等人。
2010]。
为此，两简化用于计算各发电机的Voronoi单元西：
VorLabelle（xi）={y|dxi（xi,y）≤dxj（xj,y）,∀j}
VorDu（xi）={y|dy（xi,y）≤dy（xj,y）,∀j}
where:
dx（y,z）=√（z−y）TM（x）（z−y）.
第一个定义vorlabelle[2003]Shewchuk贝儿和容易分析的理论。
二次曲面的平分线，
已知的封闭形式，和一个可证明的正确的Delaunay细化算法可以定义。
如此定义的各向异性Voronoi图（AVD）也可以看作一个投影高维动力图[boissonnat等人。
2008A]。
这个
第二定义vordu[杜、王2005]是最适合于劳埃德松弛法在计算中的应用各向异性Voronoi结构。
质心Voronoi及其各向异性的版本：
一个质心Voronoi（无级变速器）是一个Voronoi图
这样每个点西恰逢其Voronoi质心细胞。
无级变速器可以通过劳埃德松弛[劳埃德1982]或准牛顿能量优化求解[刘等人计算。
2009]。
它产生一个常规采样[杜等人。
1999，从中一个很好的形状各向同性元素Delaunay三角网被提取。
在表面啮合的情况下，可以推广这个定义通过使用短程Voronoi图[2004]科恩Peyre和表面。
使计算更简单便宜的，它有可能取代短程Voronoi图与受限Voronoi图（RVD）或约束Delaunay三角网（RDT），在[1994]定义Edelsbrunner和Shah并通过几个网格算法，看到他们和雷[2010]此处参考文献。
因此受限Voronoi镶嵌可以定义[杜等人。
2003]。
随着计算受限Voronoi图的一种有效算法，限制无级变速器可用于各向同性表面网格[燕等人。
2009]。
CVT是无级变速器（装甲战车技术进一步推广到各向异性）杜等。
[2005]用定义vordu在式（4）。
在每一个劳埃德
迭代，各向异性Delaunay三角剖分与给定的黎曼度量需要建构，这是一个耗时的运行。
瓦莱特等人。
[2008]提出了一种离散逼近通过聚类的密集预三角的顶点的装甲战车技术
域。
这个离散的版本比杜等人快得多。
连续的装甲战车技术方法，在轻度退化为代价
网格质量。
太阳等。
[2011]介绍了六角形的闵可夫斯基度量为装甲战车技术优化，为了抑制钝角三角形。
相比这些装甲战车技术方法，我们基于粒子在能量优化方案避免了中间的迭代AVD的建设，从而显示了更好的性能在美国证券交易委员会。
6.1
高维空间中的曲面网格划分：
嵌入在高维空间中的一致啮合面
也已在文献[卡纳斯和Gortler2006˜Kovacs等人的研究。
2010；征收bonneel2012´]。
Levy和´工作bonneel[2012]是我们最相关的，因为两者都可以被看作是在高维嵌入空间中的能量优化框架。
他们延长了CVT的计算一个6D空间以达到曲率适应。
特别是，在三维表面上的各向异性啮合转化为各向同性表面上嵌入在6D空间，可CVT配备Voronoi平行直线枚举[征收bonneel2012´]有效地计算。
然而，它不为用户提供灵活的控制，通过输入度量张量场的各向异性。
我们的方法是设计来处理更多一般各向异性啮合的情况下，用户所需的度量是规定。
基于Delaunay三角剖分细化：
在Delaunay三角网的点插入各向异性版本已成功地应用于许多实际应用[borouchaki等人。
这borouchaki等人。
1997b；Dobrzynski和弗雷2008]。
boissonnat等人。
[2011]2008b；介绍了Delaunay细化的框架，它是基于目标制定围绕每一个顶点的恒星组成的三角形
正三角与西度量。
整齐为“缝合”相邻的顶点的星星，提出了细化算法，以增加新的顶点，逐步实现最终各向异性啮合。
我们的方法是不同的，包括优化的网格中的所有顶点。
另一个区别是我们计算的连接组件的双重交会对接[燕等人。
2009]代替RDT。
在美国证券交易委员会6.3的结果进行了比较。
基于粒子的各向异性网格划分：
土耳其[1992]介绍了排斥点网格的样本多边形网格的目的。
后来扩展Witkin和Heckbert[1994]谁用配成对的粒子
高斯能量样本与控制隐式曲面。
迈耶等。
[2005]制定能源核作为一种改进的有限支持余切函数，显示核心几乎是尺度不变相比，高斯核。
后来扩展到处理自适应，各向同性网格的计算机辅助设计模型[布朗森等。
2012]随着粒子在参数中的移动每一个曲面的空间。
所有这些方法都只是针对表面各向同性采样。
处理各向异性网格，博森Heckbert[1996]纳入度量张量为距离函数d（x，y），和
用F（x，y）=（1−D（x，y）4）·exp（−D（x，y）4）模型的粒子之间的吸引力和排斥力作用。
岛田和他的同事们提出了基于物理的“泡沫”标准的二阶系统组成的群众，阻尼器，和线性弹簧[岛田和乐队的1995；该等。
1997；山川和岛2000]。
他们用一个有界立方函数的距离来模拟气泡间的作用力，并进一步把球泡转换为各向异性啮合的扩展到椭球形的。
两博森等人。
与岛田等人的作品。
需要动态的人口控制计划，自适应插入或删除某些区域中的粒子/气泡。
因此，如果初始没有一个很好的估计所需粒子数要填充域，它需要很长的时间来收敛。
本文提出的方法是非常相似的想法自适应平滑粒子流体动力学（ASPH）[夏皮罗
等。
1996]利用粒子间的高斯核各向异性平滑张量。
然而，在美国证券交易委员会。
3.3，
ASPH直接制定能源在原来的空间没有利用嵌入空间概念。
来计算力颗粒，不同的度量张量的梯度，必须被忽略由于数值困难。
这种治疗将导致不准确的在计算网格中的各向异性如图4所示，当有轻微或显着的变化的度量。
逼近理论的关系：
它已经在逼近[d'azevedo理论研究1991，2002]；Shewchuk各向异性与一个给定的分段线性函数的最佳逼近的数量相关
三角元素。
最优网格的各向异性特点，优化算法，可以设计到最好的近似给定函数。
通过loseille和alauzet[2011A介绍连续网格的概念；由于]提供线性插值误差和网格方之间的关系，这导致了高效的各向异性网格自适应算法。
各向异性网格和近似理论之间的关系也被研究了高阶有限元素[米尔博和科恩2010；米尔博和科恩2012]，这导致了一个高效的贪婪的分割算法生成最优网格。
其他相关工作：
本文仅侧重于各向异性的三角网格划分不同于其他处理各向异性的四个主网格阿里亚兹等人[。
2003；Kovacsetal.。
2010；征收与刘´
2010；张等。
2010]。
各向异性的概念也被适用于蓝色噪声样本生成[李等人。
2010]。
3粒子方法
考虑到每一个顶点作为一个粒子，粒子间的势能决定了粒子间的作用力。
当每一个粒子的作用力就变成了平衡，粒子达到最佳平衡状态的均匀分布。
处理各向异性网格，利用概念“嵌入空间”[1955]纳什1954；柯伊伯。
在这样的高维嵌入空间，度量是一致的和各向同性的。
当力量在这个嵌入空间中的每一个粒子达到平衡，原始流形上的粒子分布将表现出
所需各向异性。
基本框架：
给定的氮粒子与它们的位置=={西|我=1。
..n}表面上Ω这是嵌入在RM的空间，我们定义粒子之间的粒子间的能量，我和：
−eij=E∥西−XJ∥24σ2
。
（5）这里σ，称为内核的宽度，是固定的标准偏差高斯核。
在美国证券交易委员会。
4.1我们将讨论如何选择一个σ适当大小的。
显然，eij=俄籍。
关于XJ的梯度的概念可以认为是力基金粒子在粒子上的应用：
∂fij＝概念∂XJ=（十一−XJ）2σ2E−∥西−XJ∥24σ2
。
（6）类似于牛顿的运动第三定律，我们−fij＝fij。
我们要注意，公式公式（6）是相似的粒子斥力和吸引力的威肯和Heckbert[1994思想]。
通过最小化总能量E=∑我∑J̸=我的概念与LBFGS[刘和Nocedal1989]，我们可以得到一个均匀各向同性采样，其中每个粒子的作用力达到平衡。
它是在附录中显示，这个粒子为基础的能量配方基本上是相当于法塔勒的核的配方[2011]，为均匀各向同性。
不过法塔勒的方法不处理各向异性的情况。
非均匀各向同性的情况下，我们的分析在附录中显示的差异尊重人的做法，从理论观点和
实验结果。
3.1各向异性情况
图3的左上方图像显示一个二维度量的表示
字段米显示一组点（黑点）和他们的相关单位圆（的豆形曲线，对应于集等距的点到每个黑点）。
左下角
图3显示了由这样的度量域控制的理想网格：
三角形边的长度，在各向异性的距离，是接近相等。
对于这个简单的例子，图3，可以看到，左上方的图像可以被视为表面的顶部图像“看到”从上面。
换句话说，通过嵌入平面二维域
作为一个曲面在三维，可以重铸的各向异性网格为各向同性的啮合表面嵌入在高维空间问题。
在一般情况下，对于一个任意的度量米，高维空间需要[纳什1954；柯伊伯1955]。
我们现在认为表面Ω映射到Ω是嵌入在一个更高的维度
空间RM。
我们只称RM作为本文的嵌入空间。
假设映射函数ϕ：
Ω→Ω，哪里Ω⊂RM，
Ω⊂RM，和M≤M.我们表示粒子的位置上这面ΩX={西|西=ϕ（西），i=1。
..氮}。
均匀采样Ω可以通过改变粒子间的计算能量函数的概念（5）公式如下，因此定义的概念：
eij=E−∥系−σ2J∥x2。
（7）关于XJ的概念，即梯度，在嵌入力基金
空间，可以定义为：
∂fij＝概念∂XJ=（十一−XJ）2σ2E−∥西−XJ∥2
4σ2。
（8）
3.2我们的计算方法
我们在本节没有提到如何优化的概念
在嵌入空间的坐标Ω。
从美国证券交易委员会的介绍。
2.1，我们已经看到了介绍
各向异性意味着改变点积的定义。
如果我们考虑了两种小位移V和W从一个给定的位置∈ΩX，然后转化为v=J（x）VW=J（x）W，其中J（x）表示ϕJacobian矩阵在X。
在体积和瓦之间的点积：
⟨V，W⟩=VTJ（x）TJ（x）W=VTM（x）W（9）换句话说，给定的嵌入功能ϕ，各向异性M对应于ϕ第一基本形式。
如果我们现在假设各向异性米（×）是已知的，但不是嵌入函数ϕ，它仍然是可以计算两个向量之间的内积在一个给定的点上嵌入空间。
我们的力量近似背后的想法可以解释如下。
我在一个给定的粒子，不同的相邻的一对（我，J1）和（我，J2）可以配备不同的指标（如mij1和mij2以及不同的雅可比矩阵J
ij1和jij2）。
两者之间的区别J喷墨编码局部粒子即度量的变化Jij包括“度量”的一部分（qij）和“嵌入”旋转部分（我们）（方程（19））。
我们将在中用来切平面嵌入空间中的原始空间。
我们的方法采用邻近度量qij的精确变化，和接近嵌入旋转wij无线在式（19）。
因此，嵌入旋转的变化被忽略在每个粒子的附近，但度量的变化。
综上所述，我们可以优化的均匀各向同性采样Ω与近似的能量方程（12）和力（21）采用L-BFGS算法公式。
他们都使用粒子计算Ω位置X，连同度量M.如果M是由用户，我们利用它的平方根问′代替Q在式（21）。
虽然我们利用优雅的“嵌入空间”的概念，以帮助开发我们制定的各向异性啮合，我们不需要计算这样一个嵌入空间。
3.3嵌入空间的重要性
各向异性网格的局部定义的黎曼度量m，仿射变换的三角形为“单位”的空间，而执法
转化为均匀的等边三角形。
因此，它是自然的，直接定义的能量优化问题，在这个“单元”
空间。
然而，每个点上的指标可以是不同的。
没有建立一个连贯的“单位”的空间，我们无法描述这些本地的“单位”空间的仿射副本可以“缝合”在一起。
我们的方法一致认为所有这些地方“单位”的空间表面Ω嵌入到高维空间。
我们的能量在式（7）的设计是通过定义“各向异性”的–仿射变换的三角形在Ω应均匀等边（应均匀分布的颗粒）。
这个定义也
导致军队式的非常有效的计算（21）。
我们要强调的是：
不使用这个嵌入空间，能量函数的定义和相应的力公式与各向异性的定义是不一致的网格，从而导致不正确的结果。
如果我们不使用这个高维嵌入空间，能量最直观的表述将式（12）。
我们详细说明，并给出一些比较下面。
忽略度量的梯度（ASPH的方法）：
我们需要注意的是公制米ij在式（12）是依赖于粒子xi和xj的位置。
因此，力的制定将涉及我关于XJ的梯度，这是数值很难计算。
在自适应方法光滑粒子流体动力学（ASPH）[夏皮罗等人。
1996]，他们用粒子高斯核和纳入各向异性平滑内核定义粒子间的势能，这
类似于方程（12）。
然而，在他们的论文中提到（美国证券交易委员会。
2.2.4[夏皮罗等人。
1996）公制术语的梯度
计算梯度等粒子间能量时忽略。
从而导致以下ASPH力公式：
bij≈Mij（xi−xj）2σ2e−（xi−xj）TMij（xi−xj）4σ2
不难看出，公式（24）与式（21）只需更换
qij与我。
因此，如果度量领域是不恒定的，这两者
力将导致不同的局部极小。
我们的方法在公式（21）只忽略了在每个粒子的邻域嵌入旋转的变化，而变化的指标
占。
正如我们在图4实验中所证实的那样，这有一个
可测网格质量的可测性。
忽略了矩阵的变化：
另一个近似是应用伪逆的矩阵
在方程的矩阵表示（14）。
在式（14）是不同的，你知道
不同的邻居如果我们近似JIJ吉在式（14），
然后运用集伪逆，我们到达配方（无领导吗或qij）如下：
FBij≈（西−XJ）
2σ2E
我们强调差异与我们的方法：
这种变化是近似JIJ吉在式（14），而我们的方法逼近我们的无线在式（19）。
正如上面提到的，你知道有“度量”部分和“嵌入”旋转qij部分我们。
因此，姬JIJ近似将“擦除”相邻颗粒间度量的变化。
要看他们对各向异性网格生成的不同影响，我们在二维正方形域进行能量优化三选择的力量：
（1）我们的力量在式（21）；
（2）的在式（24）和pH的力；（3）式中的力（25）。
如图在图4中，二维正方形域配备背景
张量场：
M（x）=诊断{伸展（x）2,1}，其中场拉伸（x）是在0.577,9[范围]。
在这个实验中，我们使用空间非均匀性度量领域，如果米（×）是空间均匀的，然后所有的三个力量将导致相同的粒子配置。
生成质量的比较测量各向异性网格显示在图4，与三角形区域的质量
加雷亚，角度直方图，GMIN，gavg，θmin，θAVG，%＜30◦，这是在美国证券交易委员会的定义。
4.5。
颜色编码三角区我们的方法的质量显示，计算三角形的面积
使用我们的力量是均匀的（所有接近1），这意味着三角形的大小是符合所定义的所需的密度度量张量。
从这个实验中，我们可以看到表演式中使用我们的能量优化（21）生成的理想
各向异性网格，同时使用其他2个优化的能量在式（24）和替代力量方程（25）不能，这说明在嵌入空间中制定能量优化我们的近似导致间的力量的原则制定。
4实现和算法细节
我们的基于粒子的方法是归纳算法。
1下面。
帮助
再现我们的结果，我们进一步详细的每个组件的算法和实施问题。
4.1内核宽度
粒子间的能量定义在式（5）取决于选择该固定核宽σ。
在√2σ距离这个能量峰的斜坡，它是接近零更小或更大距离。
如果σ选择过小则颗粒几乎停止当他们传播分离约5√2σ，因为有几乎没有粒子之间的力量。
如果σ选得太大附近的颗粒不能互相排斥和由此产生的采样模式将是穷人。
在这项工作中，我们选择σ成比例平均每个粒子的“半径”当他们在Ω均匀分布：
σ=Cσ√|Ω|/n，其中|Ω|表示的区域在嵌入空间表面Ω，N是粒子数，和
Cσ是一个常系数。
注意我们的目标是让粒子均匀、各向同性采样Ω。
从我们的广泛
实验中，我们发现最好的各向同性网格质量对Ω可以实现在Cσ≈0.3。
任何输入度量场M（X），对Ω面积：
|Ω|=∫Ω√detM（x）DS。
在这项工作中，输入曲面都是三角形网格，在每个顶点上定义了度量。
对于每一个三角形△ABC的顶点A，
升级会员 