16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用.docx
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16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
1、均匀分布1
2、正态分布〔高斯分布〕2
3、指数分布2
4、Beta分布〔分布〕2
5、Gamm分布3
6、倒Gamm分布.4.
7、威布尔分布〔Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布〕5
8、Pareto分布6
9、Cauchy分布〔柯西分布、柯西-洛伦兹分布〕7...
2
10、分布〔卡方分布〕.7.
11、t分布8
12、F分布9
13、二项分布10
14、泊松分布〔Poisson分布〕10..…
15、对数正态分布11
1.均匀分布
均匀分布X~U〔a,b〕就是无信息的,可作为无信息变量的先验分布
f(x)
E(X)
Var(X)世a)-
12
2.正态分布(高斯分布)
当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量很可能服从正态分布,记作X~N(,2)。
正态分布为方差的正态分布N(,2)的参数的共轭先验分布。
(x)2
f(x)
e22
E(X)
Var(X)
3.指数分布
指数分布X〜Exp()就是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间其中0为尺度参数。
指数分布的无记忆性:
PXst|XsP{Xt}o
f(x)ex,x0
1
E(X)-
Var(X)
4.Beta分布(分布)
Beta分布记为X〜Be(a,b),其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函数可凸也可凹。
如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验数据(事件A发生y次,非事件A发生n-y次),那么p的后验分布Beta(ay,bny),即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。
(x)0tx1etdt
E(X)
5.Gamm分布
Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的与的分布,解决的问
题就是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间〞,记为X~Ga(a,b)。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。
Gamma分布为指数分布Exp()的参数、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。
ba
f(x)—xa1ebx,x0
(a)
E(X)|
b
a
Var(X)
b2
6■倒Gamm分布
倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。
假设随机变量X~Ga(a,b),那么丄~IGa(a,b)。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。
倒Gamma分布为指数X
分布Exp()的参数丄、均值的正态分布N(,2)的参数2的共轭先验分
布。
E(X)
Var(X)
(a1)2(a2),a2
7.威布尔分布〔Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布〕
威布尔分布记为X~W〔m,〕。
其中m0为形状参数,0为尺度参数。
当m1,它就是指数分布;m2时,就是Rayleighdistributen〔瑞利分布〕。
常用于拟合风速分布,并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
E(X)
2
Var(X)1
/(x;A,k)=
U")
4
DO
1.3
A=05,f
1
a
b
a
x
ab
xb
布。
f(x)b
8.Pareto分布
Pareto分布记为X~Pa(a,b)。
其中b0为门限参数,a0为尺度参数。
Pareto
分布就是一种厚尾分布。
Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共轭先验分
Weibulld.s^uiian
E(X)
柑価呦raupC)
^i.k=i
Al■
Lk
■0.5
k■
1Tk
■1
—A■
1*k
-1,5
M=
1A
=5
Var(X)
ab
2
(a1)(a2)
9.Cauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)
10.
Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。
其中a为位置参数,b0为尺度参数。
中位数Mode(X)a,期望、方差都不存在。
如果X^Xz’I^Xn就是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量,那么算术平均数X,,X2,,Xn/n服从同样的柯西分布。
标准柯西分布Ca(0,1)就是t分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
(1.7
.5.OOAo.12.」
-■=XY7TToooF*
11.2分布(卡方分布)
n
设X1,X2,|||,Xn就是来自N(0,1)的样本,那么称统计量2Xi2服从自由度
i1
为n的2分布,记为2~2(n)。
1
n
22n
E(X)n
Var(X)2n
12.t分布
2X
设X~N(0,1),Y~(n),且X,Y相互独立,那么称随机变量t服从自由度
为n的t分布。
记为t~t(n)。
当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。
有时样本量很小,不知道总体的标准偏差,那么可以依赖t统计量(也称为t分数)的分布,其值
由下式给出:
仝~t(n1),其中X就是样本均值,卩就是总体均值,s就是样本的
s
n
标准偏差,n就是样本大小。
n1
~2
f(x)
E(X)0
Var(X),n2
n2
12.F分布
设U~2(nJ,V〜2(n2),且U,V相互独立,那么称随机变量F
为(ni,n2)的F分布,记为F〜Fg^)。
设X!
X2^|,X^与冷丫2,|||自正态总体N(!
2)与N(2,I)的样本,且这两个样本相互独立。
就是这两个样本的样本均值
;s2,s;分别就是这两个样本的样本方差
2
S2T~F(n!
叽
1
~2
2
2时,(X丫)厶
-11
Sw]——
\n1n2
2)〜tg
U
V服从自由度
Yn2分别就是来设X,Y分别
,那么有
122),其中
22
(m1)sg1)S2
qn22
n1n2
n1
ni
f(x)
n2
X
n,%
匹1“x
2n2
2
Var(X)带帯討4
13.二项分布
二项分布十分好理解,给您n次时机抛硬币,硬币正面向上的概率为p,问在这n次时机中有k次(k奇1)硬币朝上的概率为多少。
记为X~B(n,p)。
当n足够大,
且p不接近于0也不接近于1时,二项分布B(n,p)可用正态分布N(np,np(1p))来
近似。
p(xk)二pkdp)nk,p[0,1]
E(X)np
Var(X)np(1p)
ai^Tflbdtibn,rfSlOQrp=9
14.泊松分布(Poisson分布)
泊松分布解决的就是“在特定一段时间里发生n个事件的概率〞,记为
x~P()。
当二项分布满足np时,二项分布近似为泊松分布。
泊松分布P()
当足够大时,变成正态分布N(,)
k
e
P(Xk)
k!
E(X)
Var(X)
15.对数正态分布
对数正态分布就是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果丫就
是正态分布的随机变量,那么exp(Y)就是对数正态分布;同样,如果X就是对数正态分布,那么ln(X)为正态分布,如果一个变量可以瞧成就是许多很小独立因子的乘积,那么这个变量可以瞧作就是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为
X~LN(,2)。
(lnx)2
f(x)
~r-2~
E(X)
Var(X)(J1)e2
16.瑞利分布
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时这个向量的模呈瑞利分布。
f(x)
Var(X)
4
2
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