高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案.docx

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高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案

§3.1　不等关系与不等式

【学习要求】

1．了解不等式（组）的实际背景．

2．掌握比较两个实数大小的方法．

3．掌握不等式的八条性质．

【学法指导】

1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式（组）表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．

2．作差法是比较两个数（或式）大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．

3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．

【知识要点】

1．不等式：

用数学符号<，≤，>，≥或≠表示的

式子叫做不等式．

2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换

大于

小于

大于等于

小于等于

至多

至少

不少于

不多于

>

<

≥

≤

≤

≥

≥

≤

3．比较实数a，b大小的依据

（1）文字叙述：

如果a－b是，那么a>b；如果a－b等于，那么a＝b；如果a－b是，那么a

（2）符号表示:

a－b>0⇔;a－b＝0⇔;a－b<0⇔.

4．常用的不等式的基本性质

（1）a>b⇔ba（对称性）；

（2）a>b，b>c⇒ac（传递性）；

（3）a>b⇒a＋cb＋c（可加性）；

（4）a>b，c>0⇒acbc；a>b，c<0⇒acbc；

（5）a>b，c>d⇒a＋cb＋d；

（6）a>b>0，c>d>0⇒acbd；

（7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒anbn；

（8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒.

【问题探究】

探究点一　实数比较大小

问题1　实数比较大小的依据

在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：

如果a－b是正数，那么；

如果a－b是负数，那么；

如果a－b等于零，那么.

以上结论反过来也成立，即a>b⇔；

a＝b⇔；a

探究　比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．

例如，已知a，b∈R＋.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

探究点二　不等式的基本性质

问题1　在实数大小比较的基础上，可以给出不等式8条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．

请借助前面的性质证明性质6：

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.

问题2　初学者对不等式的8条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形（证明不等式和求解不等式）的重要依据．请解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用．

解不等式：

－x＋

【典型例题】

例1　已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

甲

乙

丙

维生素A（单位/kg）

600

700

400

维生素B（单位/kg）

800

400

500

成本（元/kg）

11

9

4

若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系．

小结　

（1）当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．

（2）解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来．

（3）若有表格、图象等，读懂表格、图象对解决这类问题很关键．

跟踪训练1　某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：

软件数与磁盘数应满足什么条件？

例2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．

小结　作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．

跟踪训练2　

（1）比较（a＋3）（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小；

（2）设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

例3　已知a、b、c为实数，判断以下各命题的真假：

（1）若a>b，则ac

（2）若ac2>bc2，则a>b；

（3）若aab>b2；（4）若c>a>b>0，则>；

（5）若a>b，>，则a>0，b<0.

小结　在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或同除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．

跟踪训练3　判断下列各命题是否正确，并说明理由：

（1）若<且c>0，则a>b；

（2）若a>b>0且c>d>0，则>；

（3）若a>b，ab≠0，则<；（4）若a>b，c>d，则ac>bd.

【当堂检测】

1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）

A．a－b＞d－cB．a＋d＞b＋c

C．a－c＞b－cD．a－c＜a－d

2．设m＝x2＋y2＋2y，n＝2x－5，则m，n的大小关系是（　　）

A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．与x，y取值有关

3．下列不等式：

①x2＋3>2x（x∈R）；②a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R）；

③a2＋b2≥2（a－b－1）中正确的命题序号有________

4．试比较（x2－x＋1）（x2＋x＋1）与（x2－x＋1）（x2＋x＋1）的大小．

【课堂小结】

1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

2．作差比较的一般步骤

第一步：

作差；

第二步：

变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；

第三步：

定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.（不确定的要分情况讨论）

最后得结论．

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．

3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然．

【课后作业】

一、基础过关

1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（　　）

A．b2

C．>D．a|c|>b|c|

2．已知a、b为非零实数，且a

A．a2

C．

3．若x∈（e－1,1），a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则（　　）

A．a

C．b

4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．

5．若x∈R，则与的大小关系为________．

6．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.

7．已知12

二、能力提升

8．若a>0且a≠1，M＝loga（a3＋1），N＝loga（a2＋1），则M，N的大小关系为（　　）

A．MND．M≥N

9．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是（　　）

A．ab>acB．ac>bcC．a|b|>c|b|D．a2>b2>c2

10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．

11．设a>b>0，试比较与的大小．

三、探究与拓展

12．设f（x）＝1＋logx3，g（x）＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f（x）与g（x）的大小．

§3.2　一元二次不等式及其解法

（一）

【学习要求】

1．会解简单的一元二次不等式．

2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．

【学法指导】

1．利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论．

2．解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集．

【知识要点】

1．一元一次不等式

一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b（a≠0）的形式．

（1）若a>0，解集为；

（2）若a<0，解集为.

2．形如或的不等式（其中a≠0），叫做一元二次不等式；使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的_________组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．

3．一元二次方程的解

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2－4ac.当时，方程无实数解；当时，方程有两个相等的实数解x1＝x2＝；当Δ>0时，方程有两个不等的实数解x1、x2＝.

4．一元二次不等式的解集：

一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：

（1）ax2＋bx＋c>0（a>0）；

（2）ax2＋bx＋c<0（a>0）．

当Δ＝b2－4ac>0时，ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根x1、x2，且x10（a>0）的解集为

_______；则ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集为

【问题探究】

探究点一　一元二次不等式的解集

问题1　作出函数y＝x2－x－6的图象，根据图象完成下列问题：

①方程x2－x－6＝0的解集是________；

②不等式x2－x－6>0的解集是________；

③不等式x2－x－6<0的解集是________．

问题2　作出函数y＝－x2＋4x－3的图象，根据图象完成下列问题：

①方程－x2＋4x－3＝0的解集是________；

②不等式－x2＋4x－3>0的解集是________；

③不等式－x2＋4x－3<0的解集是________

探究　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当Δ＝b2－4ac>0时，有两个不等的实数根，记作x1，x2，且x10时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是_____________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集是_________；当a<0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是__________；不等式ax2＋bx＋c<0的解集是_____________．

探究点二　三个“二次”之间的关系

问题　下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等

式解集之间的联系，请补充完整.

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝

ax2＋bx＋c

（a>0）的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

（a>0）的根

有两不等实数根x1,2＝

（x1

有两相等实数根x1＝x2＝－

没有实数根

一元

二次

不等

式的

解集

ax2＋bx

＋c>0

（a>0）

ax2＋bx

＋c<0

（a>0）

注：

当一元二次不等式的二次项系数a小于零时，通过不等式两边同乘以－1，转化为二次项系数大于零后，再求解．

（1）从函数的观点来看：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0