鲁京辽201X201x学年高中数学 第一章 立体几何初步 113 圆柱圆锥圆台和球学案.docx

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鲁京辽201X201x学年高中数学第一章立体几何初步113圆柱圆锥圆台和球学案

1.1.3　圆柱、圆锥、圆台和球

学习目标

　1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．

知识点一　圆柱、圆锥、圆台

圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征

（1）定义

分别看作以

所在的直线为旋转轴，将

分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体．

（2）相关概念

①高：

在轴上的这条边（或它的长度）．

②底面：

垂直于轴的边旋转而成的圆面．

③侧面：

不垂直于轴的边旋转而成的曲面．

④母线：

绕轴旋转的边．

（3）图形表示

知识点二　球

1．定义：

一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球．

2．相关概念

（1）球心：

形成球的半圆的圆心；球的半径：

连接球心和球面上一点的线段．

（2）球的直径：

连接球面上两点并且通过球心的线段．

（3）球的大圆：

球面被经过球心的平面截得的圆．

（4）球的小圆：

球面被不经过球心的平面截得的圆．

（5）两点的球面距离：

在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离．

3．球形表示

特别提醒：

球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．

知识点三　旋转体

1．定义：

由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．

2．轴：

这条直线叫做旋转体的轴．

知识点四　组合体

思考　组合体是由简单几何体堆砌（或叠加）而成的吗？

答案　不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．

梳理　由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．

1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．（　√　）

2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．（　×　）

3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．（　×　）

类型一　旋转体的结构特征

例1　下列命题正确的是________．（填序号）

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

答案　④⑤⑥

解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．

反思与感悟　

（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1　下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．

其中正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.

类型二　简单组合体的结构特征

例2　如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解　

（1）以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图

（1）所示．

（2）以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：

上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图

（2）所示．

（3）以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图（3）所示．

反思与感悟　

（1）平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．

（2）必要时作模型，培养动手能力．

跟踪训练2　如图

（1）、

（2）所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解　图

（1）、图

（2）旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．

类型三　旋转体中的有关计算

命题角度1　有关圆柱、圆锥、圆台的计算

例3　一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：

（1）圆台的高；

（2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

解　

（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图所示）．

由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.

又由题意知，腰长为12cm，

所以高AM＝

＝3

（cm）．

（2）如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得

＝

，解得l＝20cm.

即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

反思与感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

跟踪训练3　如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为

的圆柱，求圆柱的底面半径．

解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，

得

＝

，

即1－

＝

，解得r＝1.

即圆柱的底面半径为1.

命题角度2　球的截面的有关计算

例4　在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求此球的半径．

解　①若两截面位于球心的同侧，如图

（1）所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为Rcm，截面圆的半径分别为rcm，r1cm.

由πr

＝49π，得r1＝7（r1＝－7舍去），

由πr2＝400π，得r＝20（r＝－20舍去）．

在Rt△OB1C1中，OC1＝

＝

，

在Rt△OBC中，OC＝

＝

.

由题意可知OC1－OC＝9，即

－

＝9，

解此方程，取正值得R＝25.

②若球心在两截面之间，如图

（2）所示，OC1＝

，OC＝

.

由题意可知OC1＋OC＝9，即

＋

＝9.

整理，得

＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．

综上所述，此球的半径为25cm.

引申探究

若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是________．

答案　1或7

解析　画出球的截面图，如图所示．

两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：

①两个平行截面在球心的两侧，

②两个平行截面在球心的同侧．

对于①，m＝

＝4，n＝

＝3，

两平行截面间的距离是m＋n＝7；

对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.

反思与感悟　设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解．

跟踪训练4　设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于

πR.求A，B两地间的球面距离．

解　如图所示，A，B是北纬45°圈上的两点，AO′为它的半径，O为地球的球心，

∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′.

∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，

∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝

R.

设∠AO′B的度数为α，

则

·AO′＝

·

R＝

πR，∴α＝90°.

∴AB＝

＝

＝R.

在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，则△AOB为正三角形，

∴∠AOB＝60°.

∴A，B两地间的球面距离为

＝

R.

1．下列几何体是台体的是（　　）

考点　圆台的结构特征

题点　圆台的概念的应用

答案　D

解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．

2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是（　　）

答案　B

解析　由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．

3．下面几何体的截面一定是圆面的是（　　）

A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱

答案　B

解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为

，则这个圆锥的母线长为________．

考点　圆锥的结构特征

题点　与圆锥有关的运算

答案　2

解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝

AB2，∴

＝

AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.

5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则球的半径为________cm.

答案　13

解析　设球的半径为Rcm，

由题意知，截面圆的半径r＝12cm，球心距d＝（R－8）cm，

由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋（R－8）2，

即208－16R＝0，解得R＝13cm.

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

一、选择题

1．下列几何体中不是旋转体的是（　　）

答案　D

2．下列说法正确的是（　　）

A．到定点的距离等于定长的点的集合是球

B．球面上不同的三点可能在同一条直线上

C．用一个平面截球，其截面是一个圆

D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面

考点　球的结构特征

题点　球的概念的应用

答案　D

解析　对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.

3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（　　）

A．10B．20C．40D．15

答案　B

4．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　　）

A．10

cmB．20

cmC．20cmD．10cm

答案　A

解析　如图所示，在Rt△ABO中，AB＝20cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos30°＝20·

＝10

（cm）．

5．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是（　　）

A．24πB．16π

C．8πD．4π

答案　B

解析　截面圆的半径为

＝4，

面积为πr2＝16π.

6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（　　）

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

答案　D

解析　其中ABCD不是面，该几何体有8个面．

7．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（　　）

A．2B．2π

C.

或

D.

或

答案　C

解析　如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝

；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝

，故选C.

8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（　　）

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

答案　B

解析　圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B.

二、填空题

9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．

答案　两个圆锥

解析　连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．

10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．

答案　2

解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝

，

∴由题意可知

·2r·h＝r

＝8，

∴r2＝8，∴h＝2

.

11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．

考点　圆锥的结构特征

题点　与圆锥有关的运算

答案　

解析　由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝

＝

＝

.

三、解答题

12．A，B，C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的线段）AB＝18cm，BC＝24cm，AC＝30cm，平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径．

解　如图所示，

因为AB2＋BC2＝AC2，

所以△ABC是直角三角形．

所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的中点．

过A，B，C三点的平面截球O得圆O1的半径为

r＝15cm.

在Rt△OO1C中，R2＝

2＋r2.

所以R2＝

＋152，所以R2＝300，

所以R＝10

（cm）．

即球的半径为10

cm.

13．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．

解　设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，圆台上底面面积为S1，下底面面积为S2，两底面面积之和为S.

如图所示，∠ASO＝30°，

在Rt△SO′A′中，

＝sin30°，

∴SA′＝2r.在Rt△SOA中，

＝sin30°，∴SA＝4r.

又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.

∴S＝S1＋S2＝πr2＋π（2r）2＝5πr2＝5πa2.

∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.

四、探究与拓展

14．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（　　）

答案　B

解析　由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.

15．圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

考点　圆台的结构特征

题点　与圆台有关的运算

解　

（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，

设OB＝l，

则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10，

解得θ＝

，l＝20cm.

∴OA＝40cm，OM＝30cm.

∴AM＝

＝50cm.

即绳子最短长度为50cm.

（2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，

则PQ为所求的最短距离．

∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24cm.

故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.

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