概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学.docx

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概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学

概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：



（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C至少有一个发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C不都发生；

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】

（1）ABC

（2）ABC（3）ABC

（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=AUBUC（6）ABC（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C

（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（A-B）=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P（A）-P（A-B）]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：



（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？



（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？



【解】

（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

1

=11113++-=443124

23.设P（）=0.3,P（B）=0.4,P（A）=0.5，求P（B｜A∪）

【解】P（BAUB）=

=P（AB）PA（-）PAB（）=P（AUB）P（A）+P（B）-P（AB）0.7-0.51=0.7+0.6-0.54

111，，，求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

的概率.

【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

P（UAi）=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）i=13

=1-423´´=0.6534

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：

飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P（A）=åP（A|Bi）P（Bi）

i=03

=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+

（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7

=0.458

.

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

X=3,4,5

P（X=3）=

P（X=4）=1=0.1C353=0.3C3

5

C2

4P（X=5）=3=0.6C5

2

故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：

（1）X的分布律；

（2）X的分布函数并作图；（3）

133

P{X£P{1

222

【解】

X=0,1,2.

3

C1322

P（X=0）=3=.

C15352C112

2C13

P（X=1）=3=.

C1535

C11

P（X=2）=13=.3

C1535

（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）=

2235

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函数

3435

x<0ì0,

ï22

ï,0£x<1ï35F（x）=í

ï34,1£x<2ï35ï1,x³2î

（3）

3

1122P（X£）=F（）=,

2235333434

P（1

（1）=-=0

223535

3312

P（1£X£）=P（X=1）+P（1

2235

341

P（1

（2）-F

（1）-P（X=2）=1--=0.

3535

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P（X=0）=（0.2）3=0.008

2

P（X=1）=C130.8（0.2）=0.096

P（X=2）=C（0.8）0.2=0.384P（X=3）=（0.8）3=0.512

2

3

2

x<0ì0,

ï0.008,0£x<1ïï

F（x）=í0.104,1£x<2

ï0.488,2£x<3ï

x³3ïî1,P（X³2）=P（X=2）+P（X=3）=0.896

4.

（1）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a

lk

k!

，

其中k=0，1，2，„，λ＞0为常数，试确定常数a.

（2）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N，k=1，2，„，N，

试确定常数a.【解】

（1）由分布律的性质知

1=åP（X=k）=aå

k=0

k=0

¥¥

lk

k!

-l

=agel

4

故a=e

（2）由分布律的性质知

NN

1=åP（X=k）=åk=1k=1a=aN

即a=1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

（1）两人投中次数相等的概率;

（2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b（3,0.7）

（1）P（X=Y）=P（X=0,Y=0）+P（X=1,Y=1）+P（X=2,Y=2）+

P（X=3,Y=3）

212=（0.4）3（0.3）3+C1

30.6（0.4）C30.7（0.3）+

22C3（0.6）20.4C3（0.7）20.3+（0.6）3（0.7）3

=0.32076

（2）P（X>Y）=P（X=1,Y=0）+P（X=2,Y=0）+P（X=3,Y=0）+

P（X=2,Y=1）+P（X=3,Y=1）+P（X=3,Y=2）

23223=C1

30.6（0.4）（0.3）+C3（0.6）0.4（0.3）+

22（0.6）3（0.3）3+C3（0.6）20.4C1

30.7（0.3）+

2322（0.6）3C1

30.7（0.3）+（0.6）C3（0.7）0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，

则有

P（X>N）<0.01

即

利用泊松近似k=N+1åC200k200（0.02）k（0.98）200-k<0.01

l=np=200´0.02=4.

5

e-44k

P（X³N）gå<0.01k!

k=N+1¥

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段p=13

4所以P（X=4）=C5（）1

34210=.3243

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】

（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP（X³3）=åC5（0.3）k（0.7）5-k=0.16308

k=35

（2）令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP（Y³3）=åC7（0.3）k（0.7）7-k=0.35293

k=37

10.某公安局在长度为t的时间间隔

（2）P（X³1）=1-P（X=0）=1-e,k=0,1,2-5211.设P{X=k}=C2p（1-p）

P{Y=m}=C4p（1-p）mm4-m2-k,m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=5，试求P{Y≥1}.9

6

【解】因为P（X³1）=54，故P（X<1）=.99

而P（X<1）=P（X=0）=（1-p）2

4,9

1即p=.3故得（1-p）=2

从而P（Y³1）=1-P（Y=0）=1-（1-p）=465»0.8024781

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算,

l=np=2000´0.001=2

e-225

=0.0018得P（X=5）»5!

13.进行某种试验，成功的概率为31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

【解】X=1,2,L,k,L

13P（X=k）=（）k-144

P（X=2）+P（X=4）+L+P（X=2k）+L

131313=+（）3+L+（）2k-1+L444444

1

31==41-

（1）25

4

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

（1）保险公司亏本的概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.

设1年中死亡人数为X，则X~b（2500,0.002），则所求概率为

P（2000X>30000）=P（X>15）=1-P（X£14）

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

7

e-55k

P（X>15）»1-å»0.000069k!

14k=0

（2）P（保险公司获利不少于10000）

=P（30000-2000X³10000）=P（X£10）10

Ȍe-55k

»0.986305

k=0k!

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）=P（30000-2000X³20000）=P（X£5）

5

Ȍe-55k

k=0k!

»0.615961

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f（x）=Ae-|x|,-∞<x<+∞,

求：

（1）A值；

（2）P{0<X<1};（3）F（x）.

【解】

（1）由ò¥

-¥f（x）dx=1得

1=ò¥Ae-|x|dx=2ò¥

-¥0Ae-xdx=2A

故A=1

2.

（2）p（0

2ò1

0e-xdx=1-12（1-e）

（3）当x<0时，F（x）=òx1

-¥2exdx=1

2ex

当x≥0时，F（x）=òx1

-¥2e-|x|dx=ò01

-¥2xdx+òx1

02e-xdx

=1-1-x

2e

ì1xx<0

故F（x）=ïïí2e,

ï1-1

2e-x

ïîx³0

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

ì100

f（x）=ïíx2,x³100,

ïî0,x<100.

求：

（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

8

（3）F（x）.

【解】

1001dx=.ò100x23

28p1=[P（X>150）]3=（）3=327

41122

（2）p2=C3（）=339

（1）P（X£150）=150

（3）当x<100时F（x）=0

当x≥100时F（x）=

=

=òx-¥100f（t）dtf（t）dt+òx100ò-¥xf（t）dt100100t=1-ò100t2x

ì100,x³100ï1-故F（x）=íxïx<0î0,

17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，中任意小区间由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

ì1ï,0£x£af（x）=íaï其他î0,

故当x<0时F（x）=0

当0≤x≤a时F（x）=

当x>a时，F（x）=1

即分布函数òx-¥f（t）dt=òf（t）dt=ò0xx01xt=aa

ì0,ïxïF（x）=í,

ïa

ïî1,x<00£x£ax>a

18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率.

【解】X~U[2,5]，即

ì1ï,2£x£5f（x）=í3ï其他î0,

9

P（X>3）=ò

故所求概率为5312dx=33

23202221p=C3（）+C3（）=333327

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E（）.某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

【解】依题意知X~E（），即其密度函数为

xì1-5ïe,x>0f（x）=í5ï0,x£0î1515

该顾客未等到服务而离开的概率为

x1-5P（X>10）=òedx=e-2105¥

Y~b（5,e-2）,即其分布律为

kP（Y=k）=C5（e-2）k（1-e-2）5-k,k=0,1,2,3,4,5

P（Y³1）=1-P（Y=0）=1-（1-e）=0.5167-25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.

（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】

（1）若走第一条路，X~N（40，102），则

æx-4060-40öP（X<60）=Pç<÷=F

（2）=0.9772710øè10

若走第二条路，X~N（50，42），则

æX-5060-50öP（X<60）=Pç<÷=F（2.5）=0.9938++4øè4

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2）若X~N（40，102），则

æX-4045-40öP（X<45）=Pç<÷=F（0.5）=0.69151010èø

若X~N（50，42），则

æX-5045-50öP（X<45）=Pç<÷=F（-1.25）4øè4

10

=1-F（1.25）=0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1）求P{2<X≤5}，P{-4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};

（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.

【解】

（1）P（2

æ1öæ1ö=F

（1）-Fç-÷=F

（1）-1+Fç÷è2øè2ø

=0.8413-1+0.6915=0.5328

æ-4-3X-310-3öP（-4

=Fçæ7öæ7ö-F÷ç-÷=0.9996è2øè2ø

P（|X|>2）=P（X>2）+P（X<-2）

æX-32-3öæX-3-2-3ö=Pç>+P<÷ç÷2222øèøè

æ1öæ5öæ1öæ5ö=1-Fç-÷+Fç-÷=Fç÷+1-Fç÷è2øè2øè2øè2ø

=0.6915+1-0.9938=0.6977

P（X>3）=P（X-33-3>）=1-F（0）=0.522

（2）c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P（|X-10.05|>0.12）=PçæX-10.050.12ö>÷0.060.06èø

=1-F

（2）+F（-2）=2[1-F

（2）]

=0.0456

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？

【解】P（120

11

æ40öæ-40öæ40ö=Fçès÷ø-Fçès÷ø=2Fçès÷ø-1³0.8

故s£40

1.29=31.25

24.设随机变量X分布函数为

F（x）=ìíA+Be-xt,x³0,

î0,x<0.（l>0）,

（1）求常数A，B；

（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；

（3）求分布密度f（x）.

ìlimF（x）=1

【解】

（1）由ïíx®+¥得ì

ïîxlim®0+F（x）=íA=1xlim®0-F（x）îB=-1

（2）P（X£2）=F

（2）=1-e-2l

P（X>3）=1-F（3）=1-（1-e-3l）=e-3l

（3）f（x）=F¢（x）=ìíle-lx,x³0

î0,x<0

25.设随机变量X的概率密度为

ì0£x<1,

f（x）=ïx,

í2-x,1£x<2,

ïî0,其他.

求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F（x）=òxx

-¥f（t）dt=ò0-¥f（t）dt+ò0f（t）dt

xx2

=ò0tdt=2

当1≤x<2时F（x）=òx

-¥f（t）dt

=ò0f（t）dt=ò1x

-¥0f（t）dt+ò1f（t）dt

=ò1

0tdt+òx1（2-t）dt

=1+2xx23

2-2-2

-x2

=2+2x-1

12

当x≥2时F（x）=

ò

x

-¥

f（t）dt=1

x<00£x<1

ì0,ï2ïx,ï2

故F（x）=í2

ï-x+2x-1,ï2ïî1,

1£x<2x³2

26.设随机变量X的密度函数为

（1）f（x）=ae-l|x|,λ>0;

ìbx0

（2）f（x）=ï,í1

1£x<2,ïx2,

î0,

其他.

试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】

（1）由

ò

¥

¥

ò¥

-¥

f（x）dx=1知1=òae-l|x|dx=2ae-lxd2a

-¥

x=

l

故a=

l

2

ì即密度函数为f（x）=ïlïí2

e-lx

x>0ïlïî2

elxx£0当x≤0时F（x）=ò

x

-¥

f（x）dx=ò

x

l

-¥2lxdx=12

elx当x>0时F（x）=

ò

x

-¥

f（x）dx=ò0

l

lx-¥

2

lx

dx+ò

x

l

2

-dx

=1-

1-lx

2

e故其分布函数

ì1-1-lx

F（x）=ïïí2

e,x>01

ï2

elxïî,x£0

（2）由1=

ò

¥

-¥

f（x）dx=ò1bxdx+2

1b0

ò

1

x2dx=2+1

2

得b=1

即X的密度函数为

13

0

ïx

其他ïî0,

当x≤0时F（x）=0

x0x当0<x<1时F（x）=ò-¥f（x）dx=ò-¥f（x）dx+ò0f（x）dx

=òx

0dx=x2x2

当1≤x<2时F（x）=òx

-¥f（x）dx=ò00dx+ò1xdx+x1-¥0ò1x2dx

=3

2-1

x

当x≥2时F（x）=1

故其分布函数为

ìï0,x£0

ïx2

0

F（x）=ïí2

ï3-1

ï,1£x<2

ï2x

î1,x³2

27.求标准正态分布的上a分位点，

（1）a=0.01，求za;

（2）a=0.003，求za，za/2.

【解】

（1）P（X>za）=0.01

即1-F（za）=0.01即F（za）=0.09故za=2.33

（2）由P（X>za）=0.003得

1-F（za）=0.003

即F（za）=0.997查表得za=2.7514

由P（X>za/2）=0.0015得

1-F（za/2）=0.0015

即F（za/2）=0.9985

查表得za/2=2.96

求Y=X的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P（Y=0）=P（X=0）=

1

5

117+=61530P（Y=1）=P（X=-1）+P（X=1）=1P（Y=4）=P（X=-2）=5

11P（Y=9）=P（X=3）=30

故Y的分布律为

29.设P{X=k}=（k）,k=1,2,„,令2

ì1,当X取偶数时Y=í-1,当X取奇数时.î

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P（Y=1）=P（X=2）+P（X=4）+L+P（X=2k）+L

111=（）2+（）4+L+（）2k+L222111=（）/（1-）=443

P（Y=-1）=1-P（Y=1）=

30.设X~N（0，1）.

（1）求Y=eX的概率密度；

（2）求Y=2X2+1的概率密度；

（3）求Y=｜X｜的概率密度.

1523

【解】

（1）当y≤0时，FY（y）=P（Y£y）=0

当y>0时，FY（y）=P（Y£y）=P（ex£y）=P（X£lny）

=òlny

-¥fX（x）dx

故

fdFY（y）1-ln2y/

Y（y）=dy=yf（lny）=2

x,y>0

（2）P（Y=2X2+1³1）=1

当y≤1时FY（y）=P（Y£y）=0当y>1时FY（y）=P（Y£y）=P（2X2+1£y）

=PçæX2£y-1ö=Pæè2÷øççX£

è

=fX（x）dx

故

fdY（y）=fædyFY（y）=X+f

Xççèù

úú

û