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1、概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学概率论与数理统计习题及答案 习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生；（2） A与B发生，C不发生；（3） A，B，C都发生；（4） A，B，C至少有一个发生；（5） A，B，C都不发生；（6） A，B，C不都发生；（7） A，B，C至多有2个发生；（8） A，B，C至少有2个发生.【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC（4） ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC (5) ABC=AUBU

2、C (6) ABC (7) ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC(8) ABBCCA=ABCABCABCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】 P（AB）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，

3、C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1=11113+-= 44312423.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 P(BAUB)=P(AB)PA(-)PAB() =P(AUB)P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.51= 0.7+0.6-0.54111，求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.【解】 设Ai

4、=第i人能破译（i=1,2,3），则P(UAi)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3) i=13=1-423=0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)=P(A|Bi)P(Bi)i=03=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.5

5、0.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.458 .习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5P(X=3)=P(X=4)=1=0.1C353 =0.3C35C24P(X=5)=3=0.6C52故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图； (3)133PXP1XP1XP1X2.222【解】X=0,1,2.3C1322P(X=0)=3=.C

6、15352C1122C13P(X=1)=3=.C1535C11P(X=2)=13=.3C1535 （2） 当x<0时，F（x）=P（Xx）=0当0x<1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=22 35当1x<2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当x2时，F（x）=P（Xx）=1 故X的分布函数34 35x00,22,0x135F(x)=34,1x2351,x2(3)31122P(X)=F()=,2235333434P(1X)=F()-F(1)=-=0223535 3312P(1X)=P(X=1)+P(1X)=2235341P(1X2)=F(2)-F(1)

7、-P(X=2)=1-=0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X=0)=(0.2)3=0.0082P(X=1)=C130.8(0.2)=0.096P(X=2)=C(0.8)0.2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.512232 x00,0.008,0x1F(x)=0.104,1x20.488,2xY)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,

8、Y=2)23223=C130.6(0.4)(0.3)+C3(0.6)0.4(0.3)+22(0.6)3(0.3)3+C3(0.6)20.4C130.7(0.3)+2322(0.6)3C130.7(0.3)+(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有P(XN)0.01即利用

9、泊松近似 k=N+1C200k200(0.02)k(0.98)200-k0.01l=np=2000.02=4.5e-44kP(XN)g0.01 k!k=N+1查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段 p=1 34所以 P(X=4)=C5()134210=. 32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X表示5次独立试验中A

10、发生的次数，则X6（5，0.3）kP(X3)=C5(0.3)k(0.7)5-k=0.16308k=35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3）kP(Y3)=C7(0.3)k(0.7)7-k=0.35293k=3710.某公安局在长度为t的时间间隔 (2) P(X1)=1-P(X=0)=1-e, k=0,1,2 -52 11.设PX=k=C2p(1-p)PY=m=C4p(1-p)mm4-m2-k, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=5，试求PY1. 96【解】因为P(X1)=54，故P(X1)=. 99而 P(X30000)=P(X15

11、)=1-P(X14)由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有7e-55kP(X15)1-0.000069 k!14k=0(2) P(保险公司获利不少于10000)=P(30000-2000X10000)=P(X10) 10e-55k0.986305k=0k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000）=P(30000-2000X20000)=P(X5)5e-55k k=0k!0.615961即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0&

12、lt;X<1; (3) F(x).【解】（1） 由-f(x)dx=1得1=Ae-|x|dx=2-0Ae-xdx=2A故 A=12. (2) p(0X1)=1210e-xdx=1-12(1-e)(3) 当x<0时，F(x)=x1-2exdx=12ex当x0时，F(x)=x1-2e-|x|dx=01-2xdx+x102e-xdx=1-1-x2e1xx0故 F(x)=2e, 1-12e-xx016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为100f(x)=x2,x100,0,x150)3=()3= 32741122(2) p2=C3()= 339（1） P(X150)

13、=150(3) 当x<100时F（x）=0当x100时F(x)=x-100f(t)dt f(t)dt+x100-xf(t)dt 100100t=1- 100t2x100,x1001-故 F(x)= xx00,17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，中任意小区间由题意知X0,a，密度函数为1,0xa f(x)=a其他0,故当x<0时F（x）=0当0xa时F(x)=当x>a时，F（x）=1即分布函数 x-f(t)dt=f(t)dt=0xx01xt= aa0,xF(x)=,a1,xa18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测

14、，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即1,2x5 f(x)=3其他0,9P(X3)=故所求概率为 5312dx= 3323202221p=C3()+C3()= 33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知XE()，即其密度函数为x1-5e,x0 f(x)=50,x01515该顾客未等到服务而离开的概率为x1-5P(X10)=edx=e-2 105Yb(5,e-2),即其分布律为k

15、P(Y=k)=C5(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,2,3,4,5P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-e)=0.5167-2520.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则x-4060-40P(X60)=P=F(2)=0.97727 1010若走第二条路，XN（50，42

16、），则X-5060-50P(X60)=P=F(2.5)=0.9938+ 44故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则X-4045-40P(X45)=P=F(0.5)=0.6915 1010若XN（50，42），则X-5045-50P(X45)=P=F(-1.25) 4410=1-F(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） P(2X5)=P2-3X-35-3 22211=F(1)-F-=F(1)-1+F 22=0.84

17、13-1+0.6915=0.5328-4-3X-310-3P(-4X10)=P2)=P(X2)+P(X+P3)=P(X-33-3)=1-F(0)=0.5 22(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X-10.05|0.12)=PX-10.050.12 0.060.06=1-F(2)+F(-2)=21-F(2)=0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？ 【解】P(120X200)=P12

18、0-160X-160200-160 sss1140-4040 =Fs-Fs=2Fs-10.8故 s401.29=31.2524.设随机变量X分布函数为F（x）=A+Be-xt,x0,0,x0),（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.limF(x)=1【解】（1）由x+得xlim0+F(x)=A=1xlim0-F(x)B=-1（2） P(X2)=F(2)=1-e-2lP(X3)=1-F(3)=1-(1-e-3l)=e-3l(3) f(x)=F(x)=le-lx,x00,x025.设随机变量X的概率密度为0x1,f（x）=x,2-x,1x2,0,其他.求X的分

19、布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x<0时F（x）=0当0x<1时F(x)=xx-f(t)dt=0-f(t)dt+0f(t)dtxx2=0tdt=2当1x<2时F(x)=x-f(t)dt=0f(t)dt=1x-0f(t)dt+1f(t)dt=10tdt+x1(2-t)dt=1+2xx232-2-2-x2=2+2x-112当x2时F(x)=x-f(t)dt=1x00x1 0,2x,2故 F(x)=2-x+2x-1,21,1x2x226.设随机变量X的密度函数为（1） f(x)=ae-l|x|,>0;bx0x1,(2) f(x)=,11x0l2elxx0当x

20、0时F(x)=x-f(x)dx=xl-2lxdx=12elx 当x>0时F(x)=x-f(x)dx=0llx-2lxdx+xl 2-dx=1-1-lx2e 故其分布函数1-1-lxF(x)=2e,x012elx,x0(2) 由1=-f(x)dx=1bxdx+21b01x2dx=2+12得 b=1即X的密度函数为 130x1x,1f(x)=2,1x2x其他0,当x0时F（x）=0x0x当0<x<1时F(x)=-f(x)dx=-f(x)dx+0f(x)dx=x0dx=x2x2当1x<2时F(x)=x-f(x)dx=00dx+1xdx+x1-01x2dx=32-1x当x2时F

21、（x）=1故其分布函数为0,x0x2,0x1F(x)=23-1,1xza)=0.01即 1-F(za)=0.01 即 F(za)=0.09 故 za=2.33（2） 由P(Xza)=0.003得1-F(za)=0.003即 F(za)=0.997 查表得 za=2.75 14由P(Xza/2)=0.0015得1-F(za/2)=0.0015即 F(za/2)=0.9985查表得 za/2=2.96求Y=X的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9P(Y=0)=P(X=0)=15117+=61530 P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=1P(Y=4)=P(X=-2)=511P(Y=9)=

22、P(X=3)=30故Y的分布律为29.设PX=k=(k), k=1,2,令 21,当X取偶数时 Y=-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+L+P(X=2k)+L111=()2+()4+L+()2k+L222 111=()/(1-)=443P(Y=-1)=1-P(Y=1)=30.设XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.15 2 3【解】（1） 当y0时，FY(y)=P(Yy)=0当y>0时，FY(y)=P(Yy)=P(exy)=P(Xlny)=lny-fX(x)dx故fdFY(y)1-ln2y/Y(y)=dy=yf(lny)=2x,y0(2)P(Y=2X2+11)=1当y1时FY(y)=P(Yy)=0 当y>1时FY(y)=P(Yy)=P(2X2+1y)=PX2y-1=P2X =fX(x)dx故fdY(y)=fdyFY(y)=X+fX