CauchySchwarz不等式的证明和应用.docx

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CauchySchwarz不等式的证明和应用

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

摘要:

Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法，并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.

关键词:

Cauchy-Schwarz不等式；向量空间；内积

一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法

1.第一种证明方法

定理1对任意的向量a邙有1（a邙）1<|a||[3|.当且仅当a,3线性相关时，等号才成立.

证明当3=0时，不等式成立.设3工0.令t是一个实变数，作向量Y=a+t3.不论t取何值，一定有

（Y,Y）=（a+t3,a+t3）》0.

即

（a,a）+2（a,3）t+（3,3）t2》0

（1）

取

t=.

代入

（1）式,得

（a,a）-》0,

即

（a,B）2<（a,a）（B邙）.

两边开方便得

|（a,3）|<1a||B|.

当a,B线性相关时，等号显然成立•反过来，如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者B=0,或者

a-B=0,也就是说a,B线性相关.

2.第二种证明方法

引理:

设V是欧氏空间，E,n是V的单位向量，那么,

1（E,n）1<1.

证明E,n既是单位向量，则有（E,E）=1,（n,n）=1,而IE,n|2>0,即

IE,nI2=（E-n,E-n）

=（E,E）+（n,n）-2（E,n）

=2-2（E,n）>0

所以,（E,n）w1；

又|E,n|2>0,即

IE,nI2=（E+n,E+n）=（E,E）+（n,n）+2（E,n）

=2-2（E,n）>0

所以,（E,n）>-1.总之,|E,nI<1.

定理2设a,B是欧氏空间V中的任意两个向量，那么,|（a邙）|<|a||B|,等号成立当且仅当a邙线性相关.证明10若a,B中有一个是零向量，则结论显然成立；20设a邙都不为零，今将a,B单位化，令E=,n=,则由弓I理.知1（E,n）|<1,而（a邙）=（1a|E,|B|n）=1aIIB|（E,n）所以,I（a,B）|

再设E与n的夹角为e,则e的余弦为cose==（E,n）由此可知，I（a,B）IwIaIIBI（E,n）=1cose=±1<1E=±n,此即知a与B线性相关•

3.第三种证明方法

定理3设a,B是欧氏空间V中的任意两个向量，那

么，I（a,B）I0,而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的

行列式》0,即

（a,a）（a,B）（a,B）（B,B）》0

则得I（a,B）I

（a,a）（a,B）（a,B）（B,B）=0a,B线性相关.

二、Cauchy-Schwarz不等式的应用

Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式：

设V是欧氏空

间，若E,n€V,则

（E,n）2w（E飞）（n,n）

（2）

上式等号成立的充要条件是E,n线性相关•

变形一：

取V=Rn令E=（a1,a2,…,an）,n=（b1,b2,…,bn）则有

（a1b1+…+anbn）<（a12+a22+…+an2）（b12+b12+…+bn2）（3）

等号成立的充要条件bi=cai（i=1,2,…n）,c是为常数.

变形二：

取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实

线性空间，设f（x）,g（x）€V则有

[f（x）g（x）dx]2

变形三：

取V为概率空间,对任意属于V的随机变量E与n都有

|EEn|2wEE2En2（5）

等号成立的充要条件是P（n=t0E）=1,t0是某一常数.

例1若x1,x2，…,xn均为正数则有（x1+x2+…+xn）（++…+）

>n2（6）

证明由⑵式令a仁,a2=，…,an=.

b1=,b2=,…,bn=,则有

（•+•+…+•）2=n2.而

（++•••+）（++•••+）

=（x1+x2+…+xn）（++•••+）

所以（x1+x2+…+xn）（++…+）>n2.

显然等号当且仅当x仁x2=—=xn时成立.

a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1

求证：

|ax+by+cz|<1.

证明由不等式（3）有

（ax+by+cz）2W（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）所以,|ax+by+cz|2<1,即|ax+by+cz|<1.

例3当2x+4y=1时，求证

x2+y2>.

证明由不等式（3）有

（2x+4y）2<（22+42）（x2+y2）,

所以1<20（x2+y2）

所以（x2+y2）>

例4已知a、b、c为正数，求证

a2+b2+c2>ab+bc+ca.

证明由不等式（3）有

（ab+bc+ca）2<（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）,即（ab+bc+ca）2<

（a2+b2+c2）2.因为a、b、c为正数，所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.

例5设ai>0,i=1,2,…,n,则ai<⑻2）,且等号成立的充要条

件是a1=a2=・・=an.

证明设二维离散型随机变量E,n的联合概率分布为

P（E=xi,n=yi）=P（E=xj,n=yj）=0（i工j）

i=1,2,…,n;j=1,2,…,n

则E、n的边际概率分布分别为

PE（E=xi）=,Pn（n=yj）=

令xi=ai>0,yj=1有

EEn=ai•=•ai

EE2=ai2•=•ai2

En2=yi•=1=1

求证

由不等式⑸有（ai）2

logxa+logya+logja>1.

证明左边=++.

由不等式（6）有

（loga.x+logay+logaj）（++）>j2

即logaxyj•（++）>9.

有已知logaxyj>9

所以（++）>1

即logxa+logya+logja>1

例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证

（a+）2+（b+）2>.

证明由不等式（7）有

所以（a+）2+（b+）2>.

又因为（a-b）2>0,所以a2+b2-2ab>0.所以（a+b）2-4ab>0.所以1-4ab>0.所以ab<.所以（a+）2+（b+）2>=

例8设a邙是欧氏空间V中的向量，则有|a|-|B|<|a

±B1w丨a|+|B|.

证明由Cauchy-Schwarz不等式得

-|a||B|w（a,B）w|a||B|,

|a|2+|B|2-2|a||B|w|a|2+|B|2+2|（a,B）|w

|a|2+|B|2+2|a||B|,

则（|a|-|B|）2W（a±B,a±B）<（|a|+|B|）2,即得

|a|-|B|w|a±B|w|a|+|B|

例9设有n阶实对称矩阵A,若A>0,则有trA>0和（trA）E

>A.

证明因为A>0,所以A半正定故存在n阶矩阵

Q=q11・_q1nqn1.ynnial…an

其中a1=（qi1,…,qin）是第i个行向量（i=1,2,…,n）,使得A=Q'Q

于是trA=tr（Q'Q）=||Q||F2>0.

又n维列向量X=（x1，…,xn）€Rn,有

X'AX=X'Q'QX=（QX）'（QX）=||QX||22

qn1x1+…+qnn

于是QX=q11x1+…+q1nxn•

xn=（a1,X）…（an,X）

由Cauchy-Schwarz不等式知，|（ai,X）|<||ai||2||X||2

所以||QX||22=|（ai,X）|<（||ai||22）

||X||22=||QX||F2||X||22

即||QX||22<||QX||F2||X||22=（trA）||X||22=（trA）X'X

从而X'AXW（trA）X'X=X'（trA）EX

故有（trA）E>A.

Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛，利用

Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明

（作者单位:

湖南女子职业大学）