二次函数培优专题.docx
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二次函数培优专题
二次函数提高训练(12)
一、二次函数的定义
例1、已知函数y=(m—1)xm2+1+5x—3是二次函数,求m的值。
若函数y=(m2+2m—7)x2+4x+5是关于x的二次函数,贝Um的取值范围为
二、图像的应用
125
例2.已知抛物线yx-3x•
22
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
2
1、抛物线y=-2x-8x-1的顶点坐标为()
(A)(-2,7)(B)(-2,-25)(C)(2,7)(D)(2,-9)
2、抛物线y=a(x」)(x-3)(a=0)的对称轴是直线()
A.X=1B.x=TC.X=-3D.x=3
3、把二次函数用配方法化成y二ax-h2・k的形式
4
2
三、a,b,c及b-4ac的符号确定
例3.已知抛物线y二ax2bx'c如图,试确定:
2
(1)a,b,c及b-4ac的符号;
(2)abc与a-bc的符号。
1、已知二次函数y=ax2•bx•c(a0)的图象如图所示,有下列四个结论:
①b0②c-0③b2-4ac0
④a-bc:
:
0,其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
有以下结论:
①abc:
:
0•,②a-bc1:
③abc-0;
④4a-2b•c:
:
:
0:
⑤c-a1其中所有正确结论的序号是()
A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤
二次函数y=ax,bxc的图象如图所示,
av0B.c>0
b2「4ac>0D.abc>0
2
4、图12为二次函数y=ax-bxc的图象,给出下列说法:
①ab:
:
:
0;②方程ax2bx0的根为x^=-1,x2=3:
③abc0;④当x1时,y随x值的增大而
增大;⑤当y0时,-Vx3.
其中,正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号)
五、二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
例5、已知抛物线y=x2-2x-8,
(1)求证:
该抛物线与x轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积
1、二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为_
2、如图所示,二次函数y=x2—4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则MBC的面积为()A.6B.4C.3D.1
3、若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,贝Um的取值范围是
六、直线与二次函数的问题
例6已知:
二次函数为y=x2—x+m,
(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)m为何值时,
顶点在x轴上方,(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB//x轴交抛物线于另一点B,当Szaob=4时,求此二次函数的解析式.
x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(—1,0),试求B点坐标;
(3)在
(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x?
直的增大而减小?
练习如图,在平面直角坐标系中,0B丄OA,且OB=2OA,点A的坐标是(一1,2).
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、0、B的抛物线的表达式;
(3)连接AB,在
(2)中的抛物线上求出点P,使得Szabp=Szabo.
七、用二次函数解决最值问题
例8某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)?
与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表若日销售量y是销售价x的一次函数
x(元)
1
2
3
5
0
0
y(件)
2
2
1
5
0
0
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
?
此时每日销售利润是多少元?
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
八、二次函数应用
(一)经济策略性
1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。
经
检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。
假
定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.
(1)试求y与x的之间的关系式.
⑵在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的
最大利润是多少?
(总利润=总收入一总成本)
2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数
量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放
养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各
种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。
(1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。
(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q关于X的函数关系式。
=销售总额一收购成本一费用),最大利润是
(2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润多少?
自我检测
.选择题。
gx2+3x+2化成a(x+b)2+c的形式(
A.在定义域内,y随x增大而增大B.在定义域内,y随x增大而减小
C.在1-兀,0内,y随x增大而增大D.在0,■二内,y随x增大而增大
2..
3.已知a:
0,b:
:
:
0,c0,那么y=axbxc的图象()
4.已知点(-1,3)(3,3)在抛物线y=ax2bxc上,则抛物线的对称轴是()
a
A.xB.x=2C.x=3D.x=1
b
.填空题。
7.y=(m十1Xm屮+(m—1*+3是二次函数,则m=
52一
8.抛物线y=—x-2-2x的开口向,对称轴是_顶点坐标是_
y2
2
9.抛物线y=ax+bx+c的顶点是(2,3),且过点(3,1),贝Ua=___,b=___,c=。
125
10.函数y=-—x2-3x-—图象沿v轴向下平移2个单位,再沿x轴向右平移3个单位,得到函数
22
的图象。
三•解答题。
2.2
抛物线y--x亠〔2m,2x-m,4m-3,m为非负整数,它的图象与x轴交于A和B,A在原点左边,
B在原点右边。
(1)求这个抛物线解析式。
(2)一次函数y二kxb的图象过A点与这个抛物线交于C,且S「abc=10,
求一次函数解析式。
♦强化训练
一、填空题
1.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像,?
观察图像写出y2>y1时,x的取值范围.
2.已知抛物线y=a2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),?
则该抛物线上纵坐标为一8的
另一点的坐标是
3.已知二次函数y=—x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点(m,0),贝Um的值为.
4.若二次函数y=x2—4x+c的图像与x轴没有交点,其中c为整数,测c=(只要求写出一个)
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)与(一1,4),贝Ua+c?
的值是.
P,羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距
6.甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为
地面高度h(m)之间的关系式为
线段CD表示)扣球的最大高度为
123
h=—s2+s+.如下左图所示,?
B知球网AB距原点5m,乙(用
1232
9m,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙
10
4
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(—2,yi),N(-
1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是()
A.yi12.抛物线y=ax2+bx+c(a丸)的对称轴是x=2,且经过点P(3,0),贝Ua+b+c的值为()
A.—1B.0C.1D.2
13
.如图所示,抛物线的函数表达式是()
A.y=x2—x+2B.y=—x2—x+2C.y=x2+x+2D.y=—x2+x+2
14.抛物线y=—2x2—4x—5经过平移得到y=—2x2,平移方法是()
A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
15.已知二次函数y=x2+bx+3,当x=—1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
16.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是()
1
A.(一,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)
2
三、解答题
17.如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(一1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP?
是什么四边形?
并证明你的结
论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当/APD=ZACP时,求抛物线的解析式.
18.如图所示,m,n是方程x2—6x+5=0的两个实数根,且m0),B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设
(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和厶BCD的面积;
(3)P是线段0C上的一点,过点P作PH丄x轴,与抛物线交于点H,若直线BC?
把APCH分成面积之比
为2:
3的两部分,请求出点P的坐标.
19.某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,?
其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最
高3.5m的厢式货车.按规定,?
机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m.?
为
设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y
轴,?
建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC.
21
20.已知一个二次函数的图像过如图所示三点.
抛物线的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离.求点P的坐标.
.如图5—76所示,二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的图像与x?
轴交于A,B两点,其中A点坐标为(—1,
0),点C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求厶MCB的面积.
22.如图所示,过y轴上一点A(0,1)作AC平行于x轴,交抛物线y=x2(x>0)
(x>0)于点C;过点C作CD平行于y轴,交抛物线y=x2于点D;过点D作DE平行于x轴,交抛物线
y=-x2于点E.
4
(1)求AB:
BC;
(2)判断O,B,E三点是否在同一直线上?
如果在,写出直线解析式;如果不在,请说明理由.
7.二次函数y=x2—2x—3与x轴两交点之间的距离为.
8.兰州市"安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,?
房子的价格y(元/m2)随楼层数x(楼)的变化而变
化(x=1,2,3,4,5,6,7,8),已知点(x,y)?
都在一个二次函数的图像上(如上右图),则6楼房
子的价格为元/m2
、选择题
9.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,狈U下列关系式不正确的是()