数学建模作业.docx
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数学建模作业
文件管理序列号:
[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]
数学建模作业
院系:
数学学院
专业:
信息与计算科学
年级:
2014级
学生姓名:
王继禹
学号:
教师姓名:
徐霞
1、考察温度x对产量y的影响,测得下列10组数据:
温度(℃)
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
产量(kg)
13.2
15.1
16.4
17.1
17.9
18.7
19.6
21.2
22.5
24.3
求y关于x的线性回归方程,检验回归效果是否显着,并预测x=42℃时产量的估值及预测区间(置信度95%).
解:
(1)输入数据:
x=[20253035404550556065]';
X=[ones(10,1)x];
Y=[13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3]';
(2)回归分析及检验:
输入以下命令:
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
得结果:
b=
9.1212
0.2230
bint=
8.021110.2214
0.19850.2476
stats=
0.9821439.83110.00000.2333
即
,
的置信区间为[8.0211,10.2214],
的置信区间为[0.1985,0.2476],
,p<0.05,可知回归模型
成立。
y关于x的线性回归方程的回归效果是显着的。
(3)残差分析,作残差图:
在
(2)输入命令得出结果的基础上,再输入命令:
rcoplot(r,rint)
得到残差图1:
图1
从残差图图1可以看出,所有数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型能较好地符合原始数据。
(4)预测及作图
在(3)的命令基础上,再输入以下命令:
z=b
(1)+b
(2)*x
再输入作图命令:
plot(X,Y,'k+',X,z,'r')
得到各数据点及回归方程的图形如图2.
图2
结论:
由图2可以看出回归直线很好的拟合了所有数据点。
(5)计算当x=42℃时,产量的估值及预测区间:
在(4)的命令基础上,输入以下程序:
x=42;
>>z0=b
(1)+b
(2)*x
得结果:
z0=
18.488
所以,当x=42℃时,产量的估值为18.488kg及预测区间为[16.3581,20.6206](置信度95%)。
2、某零件上有一段曲线,为了在程序控制机床上加工这一零件,需要求这段曲线的解析表达式,在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下:
xi
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
yi
0.6
2.0
4.4
7.5
11.8
17.1
23.3
31.2
39.6
49.7
61.7
求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程.
解:
(1)输入数据:
x=[02468101214161820];
y=[0.62.04.47.511.817.123.331.239.649.761.7];
(2)作二次多项式回归:
[p,s]=polyfit(x,y,2)
得结果:
p=
0.14030.19711.0105
S=
R:
[3x3double]
df:
8
normr:
1.1097
即这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程为
(3)预测及作图
在matlab中输入的程序:
x=[02468101214161820];
y=[0.62.04.47.511.817.123.331.239.649.761.7];
[p,s]=polyfit(x,y,2)
得出结果再输入:
Y=polyconf(p,x,S);
得出结果再输入:
plot(x,y,’k+’,Y,’r’)
得到试验点与回归曲线的图形(图3)。
图3
3.某校60名学生的一次考试成绩如下:
93
75
83
93
91
85
84
82
77
76
77
95
94
89
91
88
86
83
96
81
79
97
78
75
67
69
68
84
83
81
75
66
85
70
94
84
83
82
80
78
74
73
76
70
86
76
90
89
71
66
86
73
80
94
79
78
77
63
53
55
(1)计算均值,标准差,极差,偏度,峰度,画出直方图;
(2)检验分布的正态性;
(3)若检验符合正态分布,估计正态分布的参数并检验参数.
解:
在MATLAB中建立m文件:
Untitled.m输入数据:
x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
(1)计算均值,标准差,极差,偏度,峰度,画出直方图
均值:
j=mean(x)
标准差:
b=std(x)
偏度:
p=skewness(x)
峰度:
f=kurtosis(x)
建立M文件:
Untitled2.m:
x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
j=mean(x)%?
ù?
μ
b=std(x)%±ê×?
2?
p=skewness(x)%?
?
?
è
f=kurtosis(x)%·?
?
è
结果:
Untitled2
j=
80.1000
b=
9.7106
p=
-0.4682
f=
3.1529
极差:
用z表示极差。
编写M文件:
Untitled1.m
x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
X=[min(x1);min(x2);min(x3);min(x4)];
Y=[max(x1);max(x2);max(x3);max(x4)];
z=max(Y)-min(X)
运行结果:
z=
44
画出直方图:
描绘直方图的命令:
hist(data,k);
建立m文件:
Untitled3.m
x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
hist(x,10)
图4频数直方图
从图4可以知道,学生成绩可以大致看作近似服从正态分布。
(2)检验分布的正态性
在Matlab中输入命令:
x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
normplot(x)
运行结果:
从图5可以看出,数据基本分布在一条直线上,故初步可以断定学生考试成绩为正态分布。
图5正态概率图
(3)若检验符合正态分布,估计正态分布的参数并检验参数
在基本确定数据的分布后,就可以进行该数据的参数估计。
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)
在matlab中输入命令:
>>x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
>>[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)
运行结果:
muhat=
80.1000
sigmahat=
9.7106
muci=
77.5915
82.6085
sigmaci=
8.2310
11.8436
估计出学生成绩的均值为80,标准差为10,均值的0.95置信区间为[77.6,82.6],标准差的0.95置信区间为[8.2,11.8]。
已知60名学生的成绩服从正态分布,现在在方差未知的情况下,检验其均值m是否等于80.
在matlab中的命令如下:
[h,sig,ci]=ttest(x,80)
程序:
>>x1=[937583939185848277767795948991];
x2=[888683968179977875676968848381];
x3=[756685709484838280787473767086];
x4=[769089716686738094797877635355];
x=[x1x2x3x4];
>>[h,sig,ci]=ttest(x,80)
结果:
h=
0
sig=
0.9367
ci=
77.591582.6085
说明:
h=0,sig=0.9367,ci=[77.591582.6085]。
检验结果
(1)布尔变量h=0,表示不拒绝零假设,说明提出的假设学生成绩均值80是合理的。
(2)95%的置信区间为[77.6,82.6],它完全包括80,且精度很高。
(3)sig的值为0.9367,远超过0.5,不能拒绝零假设。
所以,可以认为学生成绩的平均成绩为80.