初中数学竞赛指导《分式》竞赛专题训练含答案.docx

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初中数学竞赛指导《分式》竞赛专题训练含答案

《分式》竞赛专题训练

1分式的概念

分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而

分式的分子为零时，分式的值为零.

经典例题

2x2

2

（1）当x为何值时，分式

有意义?

1

1

x

2x2

2

（2）当x为何值时，分式

的值为零?

1

1

x

解题策略

（1）要使分式

2x2

1

2

有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x和1

，它们

1

1

x

x

1

2x2

2

010

x0x1

且

都不为零，即x

且

，于是当

时，分式

有意义，

1

1

x

x

2x2

1

2

2x22010

x1x1

且，于

（2）要使分式

的值为零，应有

且

，即

1

x

1

x

2x2

2

是当x

1时，分式

的值为零

1

1

x

画龙点睛

1.要使分式有意义，分式的分母不能为零.

2.要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺

一不可.

举一反三

x

1.

（1）要使分式

有意义的x的取值范围是（

）

2x4

2

x2

x2

3

x2

（A）x

（B）

（C）

（C）

（D）

（2）若分式的的值为零，则x的值为（

33

）

（A）3

（B）或

（D）0

x3

（x1）16

2.

（1）当x

时，分式

的值为零;

2

2x1

（2）当

3.已知当x

时，分式

x

0

x1

xb

xb

xa

2时，分式

无意义;当

x4

时，分式的值

为零，求ab

.

xa

融会贯通

a2

0

4.若

，求a值的范围.

a1

2分式的基本性质

分式的基本性质是:

分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值

不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这

个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.

经典例题

x

x2

7

若

，求

的值

x1

x

2

3x1

x

4

2

解题策略

因为

x

7

0

，所以x

x

2

3x1

x

1

7

7

，所以有

将等式

的左边分子、分母同时除以x，得

1

x

2

3x1

x3

x

122

x

x7

x

2

1

1

1

49

因此

1

1

（x）

x

22

x

4

x

2

1

435

x

2

1

2

1（）1

2

x

2

7

画龙点睛

1

对于含有x

形式的分式，要注意以下的恒等变形:

x

1

1

（x）x2

2

2

x

x2

1

1

（x）x2

2

2

x

x2

1

1

（x）（x）4

2

2

x

x

举一反三

1.

（1）不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;

1

0.5a0.2bc

2

1

0.2a0.5bc

3

（2）不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:

1a3

a

2

a1

xy

1

3

2x3xy2y

xy2xy

2.已知

，求

的值.

xy

1

x2

3

3.已知x

，求

的值.

x

x

4

x1

2

融会贯通

4.已知

ab

3

ba

a

2

abb

2

，求

的值.

2

4abb2

a

3分式的四则运算

分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时

要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.

经典例题

4y2

4x2

8xy

计算：

（xy

）（xy

）[3（xy）

]

xy

xy

xy

解题策略

原式

（xy）4y（xy）4x3（xy）（xy）8xy

2

2

2

2

g

xy

xy

xy

（xy）（x3y）（3xy）（yx）

xy

（3xy）（x3y）

g

g

xy

xy

yx

画龙点睛

在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方

法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.

举一反三

1.先化简，再求值：

m

6

2

2

，其中m.

m

3m29m3

1

1

2a

b

4a3

2.计算：

ababa

a

b

2

2

4

4

1

a3a2a1

2

a2a80，求

2

3.

（1）已知实数a满足

的值

a1a

1a4a3

2

2

a

b

1

1

1，设M

，N

，试比较

、

（2）已知a、为实数，且ab

b

M

a1b1

a1b1

的大小关系.

N

融会贯通

4.甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位

采购员的购货方式也不同:

甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多

少肥料.请问谁的购货方式更合算?

4分式的运算技巧——裂项法

1

3

4x5

我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如

x1x2（x1）（x2）

反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项

AB11

1

1

1

（n1）nn1

有:

，

BAn

AB

经典例题

已知

5x4

A

B

，求A、B的值

（x1）（2x1）x12x1

解题策略

由

5x4

A

B

A（2x1）B（x1）（2AB）xBA

，可得

（x1）（2x1）x12x1

（x1）（2x1）

（x1）（2x1）

2AB5

A1

BA4，解得B3

画龙点睛

已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A、B

的值即可.

举一反三

MxN

2

c

MxN

1.若在关于x的恒等式

中，

为最简分式，且有

x

2

x2xaxb

x

2

x2

ab，abc，求M，N.

1

1

1

1

2.化简：

3.计算：

x

2

xx

2

3x2x

2

5x6x

2

7x12

2abc

abacbcb

2bca

2cab

acbcab

a

2

2

abbcacc

2

融会贯通

4.已知

x21

（x2）（x3）

b

c

a

x1,2,3

b

时永远成立，求以a、、c

，当

x2x3

为三边长的四边形的第四边d的取值范围.

5含有几个相等分式问题的解法

有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等

的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题

来解决.

经典例题

xyzxyzxyz

（xy（）yz（）zx）

1

，求xyz的

已知

，且

z

y

x

xyz

值

解题策略

xyzxyzxyz

由

z

y

x

xy

xz

yz

1

1

1

得

z

y

x

xyxzyz

从而

z

y

x

xyxzyz

k

，则

设

z

y

x

xykz，xzky，yzkx

2（xyz）k（xyz），即（xyz）（2k）0

xyz0

，

三式相加得

，所以

2

或k

xyxzyz

yz0

g

1，符合条件；

若x

，则

z

y

x

（xy）（yz）（zx）

2

81与题设矛盾，所以k2

不成立

若k

，则

xyz

yz0

因此x

画龙点睛

1.将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.

2（xyz）k（xyz）

xyz

，

2.在得到等式

后.不要直接将等式的两边除以

因为此式可能等于0.

3.在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.

举一反三

xyz

xyz

xy

xyz

1.

（1）已知

，求值①

；②

；③

275

z

z

x

abb2c3c10a

5a6b7c

8a9b

（2）已知

，求

的值

2

5

4

abcd

abcd

abcd

bcaa

2.若

，求

的值

a

b

c

bc0

k，则直线

3.已知实数a、、c满足a

，并且

b

bccaab

ykx3一定通过（

）

（A）第一、二、三象限

（C）第二、三、四象限

（B）第一、二、四象限

（D）第一、三、四象限

融会贯通

p

q

r

pxqyrz

qr9，且

，求

的值

4.已知p

x

2

yzy

2

zxz

2

xy

xyz

6整数指数幂

1

a

（0）

a

一般地，当是正整数时，an

，这就是说an

是n的倒数.引入

n

（a0）

a

n

了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.

经典例题

2y3

（xy）

4的值

已知xm

解题策略

，

，求2m

n

n

81

（xy）x

yng（4）xy（）（）23

xy

2mn4

2mg（4）

8m4n

m

8

n

4

8

4

256

画龙点睛

将所求的代数式转化为以x、y为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.

m

n

举一反三

g（2ab）（ab）

1.计算

（1）a

2

b

2

2

2

42

1

1

1

1

（1）（）（）（）（）

（2）

（3）

5

4

1

3

2

2

10

2

3

（510）（0.210）（200）

10

22

2

2.水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是

31026

kg，8g水中大约有多少个水分子?

通过进一步研究科学家又发现，一个水

分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为

2.6651026

kg，求一个氢原子的质量.

3a10

aa

aa

1；

（2）2

aa

2；（3）4

3.已知a

2

，求

（1）

4

融会贯通

4.如图，点O、在数轴上表示的数分别是0、0.1.将线段（OA分成100等份，其分

A

点由左向右依次为M、M，…，M;再将线OM分成100等份，其分点由左

1

2

99

1

向右依次为N、N，…，N;继续将线段ON分成100等份，其分点由左向右

1

2

99

1

依次为P、P…，P.则点P所表示的数用科学记数法表示为

1

2

99

37

7分式方程的解法

分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方

程来解答.

经典例题

52x43x

解方程

2x33x2

解题策略

解法一去分母，得

（52x）（3x2）（43x）（2x3）

15x6x104x8x6x129x

2

2

1

所以x

验根知x

1为原方程的解.

解法二方程两边加1，得

52x

2x3

43x

1

1

3x2

2

2

即

2x33x2

2x33x2

所以

1

解得x

验根知x

1为原方程的解.

2

2

1

1

解法三原式可化为

2x3

3x2

2

2

所以

2x33x2

以下同解法二

画龙点睛

1.通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方

程的方法来解答.

2.除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个

整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.

3.解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生

增根.

举一反三

7

4

6

1.

（1）解方程

x

2

xx

2

xx1

2

x1

xx

x2

x2

2

（2）解方程

x1xx2

2

5x

2x5

7x10

2.

（1）解方程

x6xx12x6x8

x2

2

2

2x53x33x62x3

（2）解方程

x7x4

x5x6

6

m

1是会有增根，求它的增根

3.若解方程

（x1）（x1）x1

融会贯通

1

1

1

0

4.已知方程

（

是常数，

）的解是

或

，求方程

x

c

x

c

c

c

c

c

1

a3a1

2

x

a

0

）的解.

（是常数，且

a

4x6

a2

8列分式方程解应用题

和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、

经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.

经典例题

某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份

水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月

多6立方米，求该市今年居民用水的价格.

解题策略

（125%）x

设该市去年居民用水价格为元/m3，则今年用水价格为

x

元/m3.根据题意

36

18

6

x1.8

，解得：

得:

（125%）xx

经检验：

x

1.8是原方程的解.所以（125%）x2.25

所以该市今年居民用水的价格为2.25元/m3.

画龙点睛

列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:

审查题

意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.

举一反三

1.某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效

率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:

该厂原来每天加工多少套演出服?

2.便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元

的价格出售，很快售完.又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件

进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生

意共盈利多少元?

3.从甲地到乙地共50km，其中开始的10km是平路，中间的20km是上坡路，余下

的20km又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两

地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度（假设小明在平

路上和上坡路上保持匀速）.

融会贯通

4.某工程队（有甲、乙两组）承包一项工程，规定若干天内完成.

（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所

需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定

的时间完成，那么规定的时间是多少天?

5

（2）实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了新工程，需要抽调

6

一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?

说明理由.

参考答案

1分式的概念

1.

（1）B

2.

（1）x

3.6

（2）C

1

2

3

x1

或

（2）x

2a1

4.

2分式的基本性质

15a6b15c

1.

（1）

6a15b10c

a

3

1

a1

（2）

a

2

y3xy

2.由已知，得x

，所以

2（xy）3xy6xy3xy3xy3

原式

（xy）2xy3xy2xy5xy5

x

2

1

1

1

1

3.

1

1

（x）

x

x

4

x

2

1

3

2

18

x

2

1

2

1

x

2

a

b

a

1

a

2

abb

2

314

b

a

4.将

分子和分母同时除以ab，得

a

2

4abb2

b347

4

b

a

3分式的四则运算

m

6

2

1.

m

3m29m3

m

6

m3

g

m3（m3）（m3）2

m3

m3

m323

2时，原式

5

当m

m323

1

1

2a

b

4a3

2.

ababa

a

b

2

2

4

4

2a

b

2a

b

4a3

a

a

a

2

2

4

a

a

2

2

4

a

4

b

4

4a3

b

4a3

b

4

4

4a7

b

8

8

1

a3a2a1

2

3.

（1）

a1a

1a

4a3

2

2

1

a3

（a1）2

a1（a1）（a1）（a1）（a3）

1

a1

a1（a1）

2

2

（a1）2

2280

（a1）9

2

由a

a

知

2

2

所以原式

（a1）9

2

a

b

1

1

MN（

）（

）

（2）

a1b1

a1b1

a

1

b

1

a1a1b1b1

a1b1

a1b1

（a1）（b1）（b1）（a1）

（a1）（b1）

（abab1）（abba1）

（a1）（b1）

2ab2

0

（a1）（b1）

N

所以M

4.设两次购买肥料的单价分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正数，且a

b

），则

800a800bab

甲两次购买肥料的平均单价为：

乙两次购买肥料的平均单价为：

（元/千克）.

（元/千克）.

800800

2

6006002ab

600600

ab

a

b

ab2ab（ab）

（ab）

2

2

ba0b0

，所以

0

因为

，又a

，

，

2

aba（ab）

a（ab）

所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些

4分式的运算技巧——裂项法

MxN

2x