初中数学竞赛指导《分式》竞赛专题训练含答案.docx

1、初中数学竞赛指导分式竞赛专题训练含答案 分式竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题2x 22(1)当 x 为何值时，分式有意义?11 x2x 22(2)当 x 为何值时，分式的值为零?11 x解题策略(1) 要使分式2x 212有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母 x 和1 ，它们11 xx12x 22 0 1 0x 0 x 1且都不为零，即 x且，于是当时，分式有意义，11 xx2x 2122x2 2 0 1 0x 1 x 1且 ，于(2) 要使分式的值为零，应有且，即1x1 x2x

2、 22是当 x 1时，分式的值为零11 x画龙点睛1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三x1. (1)要使分式有意义的 x 的取值范围是()2x 4 2x 2x 2 3x 2(A) x(B)( C)(C)(D)(2)若分式的的值为零，则 x 的值为(3 3)(A)3(B) 或(D)0x 3(x 1) 162. (1)当 x时，分式的值为零;2 2x 1(2) 当3. 已知当 x时，分式x 0x 1x bx bx a 2时，分式无意义;当x 4时，分式的值为零，求a b.x a融会贯通a 2 04.

3、 若，求 a 值的范围.a 12 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题xx2 7若，求的值 x 1x2 3x 1x42解题策略因为x 7 0，所以 xx2 3x 1x1 7 7，所以有将等式的左边分子、分母同时除以 x ，得1x2 3x 1x 3 x1 22x x 7x211149 因此11(x )x22x4 x2 1435x2 1 2 1 ( ) 12x27画龙点睛1 对于含有 x形式的分式，

4、要注意以下的恒等变形:x11(x ) x 222xx211(x ) x 222xx211(x ) (x ) 422xx举一反三1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数; 10.5a 0.2b c210.2a 0.5b c3(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:1 a3 a2 a 1xy132x 3xy 2yx y 2xy 2. 已知，求的值.x y1x2 33. 已知 x，求的值.xx4 x 12融会贯通4. 已知a b 3b aa2 ab b2，求的值.2 4ab b2a3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分

5、和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题4y24x28xy计算：(x y )(x y ) 3(x y) x yx yx y解题策略原式(x y) 4y (x y) 4x 3(x y)(x y) 8xy2222 g x yx yx y(x y)(x 3y) (3x y)(y x)x y(3x y)(x 3y) ggx yx y y x画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算. 举一反三1. 先化简，再求值：m62 2，其中m .m 3 m2 9

6、 m 3112a b4a3 2. 计算：a b a b aa b22441a 3 a 2a 12a 2a 8 0，求2 3. (1)已知实数a 满足的值a 1 a 1 a 4a 322ab11 1，设 M ，N ，试比较、(2)已知a 、 为实数，且abbMa 1 b 1a 1 b 1的大小关系.N融会贯通4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买 800 千克;乙每次用去 600 元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧裂项法134x 5 我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如x 1 x

7、 2 (x 1)(x 2)反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项A B 1 1111 (n 1) n n 1有:，B A nAB经典例题已知5x 4AB ，求 A 、 B 的值(x 1)(2x 1) x 1 2x 1解题策略由5x 4ABA(2x 1) B(x 1) (2A B)x B A ，可得(x 1)(2x 1) x 1 2x 1(x 1)(2x 1)(x 1)(2x 1)2A B 5 A 1 B A 4，解得 B 3画龙点睛 已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出 A 、B的值即可.举一反三Mx N2cMx N 1. 若

8、在关于 x 的恒等式中，为最简分式，且有x2 x 2 x a x bx2 x 2a b ， a b c ，求 M ， N .1111 2. 化简：3. 计算：x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 122a b c ab ac bc b2b c a2c a b ac bc ab a22 ab bc ac c2融会贯通4. 已知x2 1(x 2)(x 3)bc a x 1,2,3 b时永远成立，求以a 、 、c，当x 2 x 3为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解

9、决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题x y z x y z x y z(x y()y z ()z x) 1 ，求 x y z 的已知，且zyxxyz值解题策略x y z x y z x y z 由zyxx yx zy z 1 1 1得zyxx y x z y z 从而zyxx y x z y z k，则设zyx x y kz ， x z ky ， y z kx2(x y z) k(x y z) ，即(x y z )(2 k) 0x y z 0，三式相加得，所 以 2或 kx y x z y z y z 0g 1，符合条件；若 x，则zyx(x

10、y)(y z)(z x) 2 8 1与题设矛盾，所以k 2不成立若 k，则xyz y z 0因此 x画龙点睛1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2(x y z) k(x y z)x y z，2. 在得到等式后.不要直接将等式的两边除以因为此式可能等于 0.3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三x y zx y zx yx y z 1. (1)已知，求值；2 7 5zzxa b b 2c 3c 10a5a 6b 7c8a 9b (2)已知，求的值254a b c da b c da b c d b c a a2. 若，求的值abc b c 0

11、k ，则直线3. 已知实数 a 、 、 c 满足 a，并且bb c c a a by kx 3一定通过()(A)第一、二、三象限(C)第二、三、四象限(B)第一、二、四象限(D)第一、三、四象限融会贯通pqrpx qy rz q r 9，且 ，求的值4. 已知 px2 yz y2 zx z2 xyx y z 6 整数指数幂1a( 0)a一般地，当 是正整数时， a n，这就是说 a n是 n的倒数.引入n (a 0)an了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题 2 y 3(x y ) 4 的值已知 x m解题策略，求 2mn n81(x y ) xy ng( 4) x y (

12、 ) ( ) 2 3 x y 2m n 4 2mg( 4)8m 4n m 8n4 84256画龙点睛将所求的代数式转化为以 x 、 y 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算. mn举一反三g( 2a b ) (a b )1. 计算(1) a 2b222 4 2 1111( 1) ( ) ( ) ( ) ( )(2)(3)541 32 21023(5 10 ) ( 0.2 10 ) ( 200)102 222. 水 与我们 日常生 活密不可 分，科 学家研 究发现， 一个水 分子的 质量大约 是3 10 26kg，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分 子是由 2

13、个氢 原子和 一个氧 原子构 成的 . 已 知一个 氧原子 的质量约 为2.665 10 26kg，求一个氢原子的质量. 3a 1 0a aa a1 ；(2) 2a a2 ；(3) 43. 已知 a2，求(1) 4 融会贯通4. 如图，点O 、 在数轴上表示的数分别是 0、0. 1.将线段(OA 分成 100 等份，其分A点由左向右依次为M 、M ，M ;再将线OM 分成 100 等份，其分点由左12991向右依次为 N 、N ，N ;继续将线段ON 分成 100 等份，其分点由左向右12991 依次为 P 、 P ， P .则点 P 所表示的数用科学记数法表示为1299377 分式方程的解法

14、分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题5 2x 4 3x 解方程2x 3 3x 2解题策略解法一 去分母，得(5 2x)(3x 2) (4 3x)(2x 3)15x 6x 10 4x 8x 6x 12 9x22 1所以 x验根知 x 1为原方程的解.解法二 方程两边加 1，得5 2x2x 34 3x 1 13x 222 即2x 3 3x 22x 3 3x 2所以 1解得 x验根知 x 1为原方程的解.22 1 1解法三 原式可化为2x 33x 222 所以2x 3 3x 2以下同解法二画龙点睛1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先

15、将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三746 1. (1)解方程x2 x x2 x x 12 x 1x xx2x22 (2)解方程 x 1 x x 225x2x 57x 10 2. (1)解方程 x 6 x x 12 x 6x 8x2222x 5 3x 3 3x 6 2x 3 (2)解方程x 7 x 4x 5 x 66m 1是会有增根，求它的增根3. 若解方程(x

16、 1)(x 1) x 1融会贯通111 04. 已 知 方 程(是 常 数 ，) 的 解 是或， 求 方 程x c xccccc1a 3a 12x a 0)的解.( 是常数，且a4x 6a28 列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年 12 月份水费是 18 元，而今年 5 月份的水费是 36 元，已知小明家今年 5 月份的用水量比去年 12 月多 6 立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略(1 25%)

17、x设该市去年居民用水价格为 元/m3，则今年用水价格为x元/m3.根据题意3618 6x 1.8，解得：得:(1 25%)x x经检验：x 1.8是原方程的解.所以(1 25%)x 2.25所以该市今年居民用水的价格为 2. 25 元/m3. 画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的 :审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工 300 套演出服，加工 60 套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用了 9 天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2. 便民服装店的老板在株

18、洲看到一种夏季衫，就用8000 元购进若干件，以每件58 元的价格出售，很快售完.又用 17 600 元购进同种衬衫，数量是第一次的 2 倍，每件进价比第一次贵了 4 元，服装店仍按每件 58 元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3. 从甲地到乙地共 50 km，其中开始的 10 km 是平路，中间的 20 km 是上坡路，余下的 20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过 2 小时 10 分钟到达甲、乙两地的中点，再经过 1 小时 50 分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干

19、天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30 天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多 12 天，如果甲乙两组先合做 20 天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?5(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的 后，工程队又承包了新工程，需要抽调6一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1. (1)B2. (1) x3. 6(2) C12 3 x 1或(2) x 2 a 14.2 分式的基本性质15a 6b 15c1. (1)6a 15b 10c a3 1 a 1(2)a2 y 3xy2. 由已知

20、，得 x，所以2(x y) 3xy 6xy 3xy 3xy 3 原式(x y) 2xy 3xy 2xy 5xy 5x21111 3.11(x )xx4 x2 132 1 8x2 1 2 1x2aba 1 a2 ab b23 1 4ba 4. 将分子和分母同时除以ab ，得a2 4ab b2b 3 4 7 4 ba3 分式的四则运算m62 1.m 3 m2 9 m 3m6m 3 gm 3 (m 3)(m 3) 2m 3m 3m 3 2 3 2时，原式 5当 mm 3 2 3112a b4a3 2.a b a b aa b22442a b2a b4a3 aaa224aa224a4 b44a3 b4

21、a3 b444a7 b881a 3 a 2a 12 3. (1)a 1 a 1 a 4a 3221a 3(a 1)2 a 1 (a 1)(a 1) (a 1)(a 3) 1a 1 a 1 (a 1)22(a 1)22 2 8 0(a 1) 92由 aa知22 所以原式(a 1) 92ab11M N ( ) ( )(2)a 1 b 1a 1 b 1a1b1 a 1 a 1 b 1 b 1a 1 b 1 a 1 b 1(a 1)(b 1) (b 1)(a 1)(a 1)(b 1)(ab a b 1) (ab b a 1)(a 1)(b 1) 2ab 2 0 (a 1)(b 1) N所以 M4. 设两次购买肥料的单价分别为a 元/千克和b 元/千克( a 、b 为正数，且a b)，则800a 800b a b 甲两次购买肥料的平均单价为：乙两次购买肥料的平均单价为：(元/千克).(元/千克).800 8002600 600 2ab 600 600a b aba b 2ab (a b)(a b)22 b a 0 b 0，所以 0因为，又 a，2a b a(a b)a(a b)所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧裂项法Mx N2x