学年广东省梅州市高一上学期期末考试数学试题 扫描版.docx
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学年广东省梅州市高一上学期期末考试数学试题扫描版
梅州市高中质量抽测试卷（2019.01）
高一数学参考答案与评分意见
24
一、选择题：
本大题共12题，每小题5分，满分60分.
题号
答案
1
A
2
D
3
A
4
C
5
B
6
A
7
B
8
A
9
C
10
D
11
B
12
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.
2,
14.
1
2
15.
2
16.
15
三、解答题：
本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）
解:
（1）当m1时，Qx|0x1，……………1分
所以
PQx0x2，……………3分
CQxx0或x1.R
……………5分
（2）因为
PQQ，所以QP.……………6分
当
m13m2，即m
1
2
时，Q，满足题意；……………7分
当
m13m2
，即
m
1
2
时，
1m1,43m22,
54
所以m.……………9分43
154
综上，实数m的取值范围为,,.……………10分
243
18.（本小题满分12分）
解:
（1）因为角
的终边经过点
M（1,2）
，
所以
rOM12
（2）2
5
，……………1分
所以
sin
225
55
，……………2分
所以
sin
5cos22
cos
cossin
cos
sin
25
5
.……………6分
（2）因为
tan
2
，所以
cos
0
，……………7分
sin
4cos
所以
cos5sin2cos
tan4241
5tan25226
.
……………12分
cos
19.（本小题满分12分）
解:
（1）∵a//b，∴3x49，∴x12.……………2分
∵
ac
，∴
344y0
，∴
y3
，……………4分
∴
b9,12，c4,3
．
∴
bc（9,12）（4,3）（13,9）
，……………5分
∴
bc13292510
.……………6分
（2）∵
m2ab2（3,4）（9,12）（6,8）（9,12）（3,4）
，……………7分
nac（3,4）（4,3）（7,1）
．……………8分
∴
mn（3）7（4）125
，……………9分
且
m
（3）2（4）25
，
n721252
，……………10分
设m，n的夹角为，则
cos
mn252
mn5522
.……………11分
∵
0,，∴
33
，即m，n的夹角为.……………12分44
20.（本小题满分12分）
解:
（1）因为
f（x）2sin
1
x，
26
所以
f（x）
的最小正周期
T
2
1
4
.……………2分
2
由于
2k
2
1
x2k,kZ262
，……………3分
得
2k
21
x2k,kZ323
，
4x
24（x6）
10
所以
4k
42
x4k,kZ33
，……………5分
所以
f（x）
的单调递增区间为
4k
42
4k,kZ33
.……………6分
（2）∵
x，∴
2
112x，∴x
223263
，…………8分
∴
31sinx1
226
，……………10分
∴
32sin
1
x2.……………11分26
即
3f（x）2，所以f（x）
的值域为
[3,2]
．……………12分
21.（本小题满分12分）
解:
（1）因为
m9
，所以
30
0x6,
y3f（x）
3x
12,6x8.2
……………1分
当
0x6
时，由
30
4x
2
，解得
x11
，此时
0x6
；……………3分
当
6x8
时，由
12
3x20202，解得x，此时6x
233
.………4分
综上所述，
0x
20
3
.……………5分
故若一次服用9克的药剂，则有效治疗的时间可达
20
3
小时．……………6分
（2）当
6x8
时，
x10
y24m8x
10m
x2
，…………8分
方法一：
因为
8x
10m
x2
2对6x8
恒成立，
即
m
x
2
8x1210
对
6x8
恒成立，
等价于
x28x12m
max
，
6x8
.……………9分
令
g（x）
x
2
8x1210
，
2
2
则函数
g（x）
（x4）210
4
在
[6,8]
上是单调递增函数，……………10分
当
x8
时，函数
g（x）
x28x1210
6
取得最大值为，……………11分5
所以
方法二：
m
66
，所以所求的m的最小值为.……………12分55
注意到
y8x
及
y
10m
x2
（
m1
且
mR
）均在
[6,8]
上是单调递减函数，
则
y8x
10m
x2
在
[6,8]
上是单调递减函数，……………10分
所以
y88
10m5m5m6
，由2，得m，……………11分82335
所以所求的m的最小值为
22.（本小题满分12分）
6
5
.……………12分
解:
（1）当a3时，f（x）ln（x1）
，所以
h（x）f（2x
21）f（x2）ln2x2ln（x2
2x2
1）ln（x0）x21
.…………1分
h（x）ln
2x2
x21
在上
（0,）
是增函数.
……………2分
（方法一）
设
u
2x2
x21
xx0.21
则
uu
21
2x
2
x1
2
2x2（xx）（xx）12121
x21（x21）（x21）121
0,
……………3分
uu,lnulnu,2121
xx,h（x）h（x）.2121
……………4分
所以
h（x）ln
2x2
x21
在上
（0,）
是增函数.
（方法二）
当
a3
时，
f（x）ln（x1）
，所以
h（x）f（2x
21）f（x2）ln2x2ln（x2
2x2
1）ln（x0）x21
.…………1分
h（x）ln
2x2
x21
在上
（0,）
是增函数.
……………2分
因为
2x22（x2
x21x
1）222
21x21
，……………3分
因为
2
x21
在
（0,）
上单调递减,
所以
2
x
2
21
在
（0,）
上单调递增.
所以
h（x）ln
2x2
x21
在
（0,）
上是增函数.
……………4分
（2）由
F（x）0
得
f（x）g（x）
，即
ln（4a）x2a5ln
a
1
x
.
若函数
F（x）
有且仅有一个零点，
则方程
ln（4a）x2a5ln
a
1
x
有且仅有一个实根.
化简得
（4a）x2a5a
1
x
，
即
（4a）x2（a5）x10
有且仅有一个实根.
……………5分
①当a4时，（4a）x
2
（a5）x10可化为x10
，
（4a）12a530,
即x1，此时1
a30,
1
满足题意；……………6分
②当a4时，由（4a）x
2
（a5）x10
得
[（4a）x1]（x1）0
.解得
x
1
4a
或
x1
.
……………7分
（i）当
1
4a
1，即a3时，方程（4a）x
2
（a5）x10
有且只有一个实根1.
（4a）12a520,
此时1
a20,
1
满足题意；……………8分
（ii）当
1
4a
1，即a3时，
若x1是
F（x）
（4a）12a50,
的零点，则1
a0,
1
解得a1，……………9分
若
x
1
4a
是
F（x）
1
（4a）2a50,4a
的零点，则1
a0,
1
4a
解得a2.
………………10
分
因为函数
F（x）
有且仅有一个零点，所以
a1,a1,
或a2,a2,
所以
1a2
.
……………11分
综上，实数a的取值范围为
（1,2]
3,4.
……………………12分
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