离散数学试题带答案六.docx
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离散数学试题带答案六
离散数学考试题（后附详细答案）
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：
（P⇄Q）（P⇄RS）
b）我今天进城，除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：
Q→P或P→Q
c）仅当你走，我将留下。
设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：
Q→P
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a）有些实数不是有理数
设R（x）表示“x是实数”，Q（x）表示“x是有理数”，命题符号化为：
x（R（x）Q（x））或x（R（x）→Q（x））
b）对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
设R（x）表示“x是实数”，E（x,y）表示“x=y”,f（x,y）=xy,命题符号化为：
x（R（x）E（x,0）→y（R（y）E（f（x,y）,1））））
c）f是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f（a）=b.
设F（f）表示“f是从A到B的函数”,A（x）表示“x∈A”,B（x）表示“x∈B”,E（x,y）表示“x=y”,命题符号化为：
F（f）⇄a（A（a）→b（B（b）∧E（f（a）,b）∧c（S（c）∧E（f（a）,c）→E（a,b））））
二、简答题（共6道题，共32分）
1.求命题公式（P→（Q→R））（R→（Q→P））的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）
（P→（Q→R））（R→（Q→P））（PQR）（PQR）
（（PQR）→（PQR））∧（（PQR）→（PQR））.
（（P∧Q∧R）（PQR））∧（（P∧Q∧R）（PQR））
（PQR）∧（PQR）这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）
2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a）xy（x+y=4）
b）yx（x+y=4）
a）Tb）F
3.求x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））的前束范式。
（4分）
x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））x（F（x）→G（x））→（yF（y）→zG（z））
x（F（x）→G（x））→yz（F（y）→G（z））xyz（（F（x）→G（x））→（F（y）→G（z）））
4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）
a）（AÈB）－C=（A-B）È（A-C）
b）若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
a）真命题。
因为（AÈB）－C=（AÈB）Ç~C=（AÇ~C）È（BÇ~C）=（A-C）È（B-C）
b）真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfÍB,故命题成立。
5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a）A上有多少种不同的等价关系？
b）从A到A的不同双射函数有多少个？
a）52b）5!
=120
6.设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，（5分）
fg
de
bc
图1
B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.已知有限集S={a1,a2,…,an},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P（S）;N,Nn;P（N）;R,R×R,{o,1}N（写出即可）（6分）
K[S]=n;K[P（S）]=
;K[N]=0,K[Nn]=0,K[P（N）]=;K[R]=,K=[R×R]=,K[{0,1}N]=
三、证明题（共3小题，共计40分）
1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）
a）A→（B∧C）,（E→F）→C,B→（A∧S）B→E
b）x（P（x）→Q（x））,x（Q（x）∨R（x）），xR（x）xP（x）
a）证
（1）BP（附加条件）
（2）B→（A∧S）P
（3）A∧ST
（1）
（2）I
（4）AT（3）I
（5）A→（B∧C）P
（6）B∧CT（4）（5）I
（7）CT（6）I
（8）（E→F）→CP
（9）（E→F）T（7）（8）I
（10）E∧FT（9）E
（11）ET（10）I
（12）B→ECP
b）证
（1）xR（x）P
（2）R（c）ES
（1）
（3）x（Q（x）∨R（x））P
（4）Q（c）∨R（c）US（3）
（5）Q（c）T
（2）（4）I
（6）x（P（x）→Q（x））P
（7）P（c）→Q（c）US（6）
（8）P（c）T（5）（7）I
（9）xP（x）EG（8）
2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠Æ且B≠Æ，关系R满足：
<,>∈R，当且仅当∈R1且∈R2。
试证明：
R是A×B上的等价关系。
（10分）
证任取,
∈A×BÞx∈Ay∈BÞ∈R1∈R2Þ<,>∈R，故R是自反的
任取<,>,
<,>∈RÞ∈R1∈R2Þ∈R1∈R2Þ<,>∈R.故R是对称的。
任取<,>,<,>∈R
<,>,<,>∈RÞ∈R1∈R2∈R1∈R2Þ（∈R1∈R1）（∈R2∈R2）ÞR1∈R2Þ<,>∈R,故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3.用伯恩斯坦定理证明（0,1]和（a,b）等势。
（10分）
证构造函数f：
（0,1]→（a,b），f（x）=
显然f是入射函数
构造函数g:
（a,b）→（0,1]，
显然g是入射函数，
故（0,1]和（a,b）等势。
由于
，所以
4.设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：
rs≥n2。
（10分）
证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+…+mr=n，
由于
（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以
，即
四、应用题（10分）
在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。
城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b,a→c,b→g,g→b,c→f,f→e,b→d,d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。
解把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即
R={,,,,,,,}
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法，求得t（R）=
那么从城市x出发能到达的城市为
，
故有
离散数学考试题答案
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a）设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：
（P⇄Q）（P⇄RS）
b）设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：
Q→P或P→Q
c）设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：
Q→P
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a）设R（x）表示“x是实数”，Q（x）表示“x是有理数”，命题符号化为：
x（R（x）Q（x））或x（R（x）→Q（x））
b）设R（x）表示“x是实数”，E（x,y）表示“x=y”,f（x,y）=xy,命题符号化为：
x（R（x）E（x,0）→y（R（y）E（f（x,y）,1））））
c）设F（f）表示“f是从A到B的函数”,A（x）表示“x∈A”,B（x）表示“x∈B”,E（x,y）表示“x=y”,命题符号化为：
F（f）⇄a（A（a）→b（B（b）∧E（f（a）,b）∧c（S（c）∧E（f（a）,c）→E（a,b））））
二、简答题（共6道题，共32分）
1.（P→（Q→R））（R→（Q→P））（PQR）（PQR）
（（PQR）→（PQR））∧（（PQR）→（PQR））.
（（P∧Q∧R）（PQR））∧（（P∧Q∧R）（PQR））
（PQR）∧（PQR）这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）（P∧Q∧R）
2.a）Tb）F
3.x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））x（F（x）→G（x））→（yF（y）→zG（z））
x（F（x）→G（x））→yz（F（y）→G（z））xyz（（F（x）→G（x））→（F（y）→G（z）））
4.a）真命题。
因为（AÈB）－C=（AÈB）Ç~C=（AÇ~C）È（BÇ~C）=（A-C）È（B-C）
b）真命题。
因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfÍB,故命题成立。
5.a）52b）5!
=120
6.B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7.K[S]=n;K[P（S）]=
;K[N]=0,K[Nn]=0,K[P（N）]=;K[R]=,K=[R×R]=,K[{0,1}N]=
三、证明题（共3小题，共计40分）
1.a）证
（1）BP（附加条件）
（2）B→（A∧S）P
（3）A∧ST
（1）
（2）I
（4）AT（3）I
（5）A→（B∧C）P
（6）B∧CT（4）（5）I
（7）CT（6）I
（8）（E→F）→CP
（9）（E→F）T（7）（8）I
（10）E∧FT（9）E
（11）ET（10）I
（12）B→ECP
b）证
（1）xR（x）P
（2）R（c）ES
（1）
（3）x（Q（x）∨R（x））P
（4）Q（c）∨R（c）US（3）
（5）Q（c）T
（2）（4）I
（6）x（P（x）→Q（x））P
（7）P（c）→Q（c）US（6）
（8）P（c）T（5）（7）I
（9）xP（x）EG（8）
2.证任取,
∈A×BÞx∈Ay∈BÞ∈R1∈R2Þ<,>∈R，故R是自反的
任取<,>,
<,>∈RÞ∈R1∈R2Þ∈R1∈R2Þ<,>∈R.故R是对称的。
任取<,>,<,>∈R
<,>,<,>∈RÞ∈R1∈R2∈R1∈R2Þ（∈R1∈R1）（∈R2∈R2）ÞR1∈R2Þ<,>∈R,故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3.证构造函数f：
（0,1]→（a,b），f（x）=
显然f是入射函数
构造函数g:
（a,b）→（0,1]，
显然g是入射函数，
故（0,1]和（a,b）等势。
由于
，所以
4.证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+…+mr=n，
由于
（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以
，即
四、应用题（10分）
解把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即
R={,,,,,,,}
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法，求得t（R）=
那么从城市x出发能到达的城市为
，
故有
离散数学试题
第3章
一.填空题
1.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则A∪B=_________________。
2.A，B，C表示三个集合，图中阴影部分的集合表达式为____________________。
3.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则A°B=_______________。
4.设A={1，2，3，4}，A上二元关系R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}画出R的关系图_________________。
5.设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为
则R=_______________________。
6.设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系为R=____________________。
7.设A={1，2，3}，则A上既是对称的又是反对称的关系为R=_____________________。
8.设|A|=3，则A上有________________个二元关系。
9.偏序集〈Ρ（{a,b}），⊆〉的哈斯图为________________。
10.集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R的Hass图为
则集合B={2，3，6，12}的上界是_________________。
11.对集合X和Y，设|X|=m，|Y|=n，则从X到Y的函数有__________________个。
12.关系R的自反闭包r（R）＝________________。
13.关系R的对称闭包s（R）＝_________________。
14.关系R的传递闭包t（R）＝_____________________。
15.若R是集合A上的偏序关系，则R满足___________________。
16.若R是集合A上的等价关系，则R满足____________________。
17.若R是集合A上的相容关系，则R满足__________________。
18.集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R的Hass图为
则集合B={2，3，6，12}的上确界是_____________。
19.设A，B是两集合，其中A={a，b，c}，B={a，b}，则A-B=_______________。
20.设R={,,}，则ran（R）=______________。
21.设R={,,}，则dom（R）=________________。
22.设R={,,}，则FLD（R）=_________________。
23.设A={a，b}，B＝｛1，2，3｝，则A×B=__________________。
24.设R是A={1，2，3，4}上的二元关系,R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,4>},则R的对称闭包是__
_______________。
25.设R是A={1，2，3，4}上的二元关系,R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,4>},则R的自反闭包是__
________________。
26.设R是A={1，2，3，4}上的二元关系,R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,4>},则R的传递闭包是__
__________________。
27.集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R的Hass图为
则集合B={2，3，6，12}的下确界是__________________。
28.设A,B是集合，|A|=3，|B|=4，|A∩B|=2，那么|A∪B|=_____________。
29.集合A有n个元素，则A的幂集有___________个元素。
30.一个集合的非平凡子集包括___________和全集。
31.集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R的Hass图为
则集合B={2，3，6，12}的下界是_______________。
32.集合A={∅,a}，则A的幂集P（A）=____________。
33.设A,B为集合，则命题A-B=∅<=>A=B的真值为（填“真”或“假”或“不可判别”）________。
34.设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R=IA∪{（b,c）,（c,b）,（a,d）,（d,a）}，则对
应于R的A的划分是_______________。
35.给定集合A＝{1,2,3,4,5},R是A上的等价关系，且此关系R能产生划分{{1,2},{3,4,5}},
则R=_________________。
二.选择题
1.设A={1,2,3}，则A上有（）个二元关系。
A.23B.32C.22^3D.2
3^2
2.设X，Y，Z是集合，下列结论不正确的是（）。
A．若X⊆Y,则X∩Y=XB．（X-Y）-Z=X-（Y∩Z）
C．X⊕X=∅D．X-Y=X∩（~Y）
3.设S={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R的性质是（）。
A.自反、对称、传递的B.自反、对称、反对称的
C.对称、反对称、传递的D.只有对称性
4.设R和S是P上的关系，P是所有人的集合，R={|x,y∈P∧x是y的父亲}，S={|x,
y∈P∧x是y的母亲}则S-1°R表示关系（）。
A、{|x,y∈P∧x是y的丈夫}B、{|x,y∈P∧x是y的孙子或孙女}
C、∅D、{|x,y∈P∧x是y的祖父或祖母}
5.若X是Y的子集，则一定有（）。
A.X不属于YB.X∈Y
C.X真包含于YD.X∩Y=X
6.下列式子中正确的是（）。
A．∅=0B．∅∈∅C．∅∈{a，b}D．∅∈{∅}
7.下面那条不是偏序关系的性质：
（）
A.自反性B.相容性C.传递性D.反对称性
8.关于闭包运算，下面那条性质不对（）
A.rs（R）=sr（R）B.rt（R）=tr（R）C.st（R）=ts（R）D.rtr（R）=tr（R）
9.划分必然诱导一个（）
A.等价关系B.偏序关系C.同余关系D.同态关系
10.设某集合有m个元素，则可以构成（）个子集。
A.mB.m!
C.2mD.2m-1
11.A,B为两个集合，如果A⊆B，则下面那个是错误的。
（）
A）A∩B≠∅B）~B⊆~AC）（B-A）∪A=BD）（B-A）∪A=A
12.设S={1,2,3}，S上关系R的关系图为
则R具有（）性质。
A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性；
C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。
13.设A={∅，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）
14.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系图为
则它的哈斯图为（）。
15.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系为
，则它的Hass图为（）。
16.设R，S是集合A上的关系，则下列（）断言是正确的。
A、R,S自反的，则R°S是自反的；
B、若R,S对称的，则R°S是对称的；
C、若R,S传递的，则R°S是传递的；
D、若R,S反对称的，则R°S是反对称的
17.设X为集合，|X|=n，在X上有（）种不同的关系。
A、n2；B、2n；C、22^n；D、2n^2。
18.下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为（）。
A、b,c；B、a,b；
C、b；D、a,b,c。
19.设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）。
A．若R，S是自反的，则R°S是自反的；
B．若R，S是反自反的，则R°S是反自反的；
C．若R，S是对称的，则R°S是对称的；
D．若R，S是传递的，则R°S是传递的。
20.设R是集合A上的二元关系，IA是A上的恒等关系，IA⊆R下面四个命题为真的是（）。
A.R是自反的B.R是传递的C.R是对称的D.R是反对称的
21.已知A,B是集合│A│=15，│B│=10，│A∪B│=20，则│A∩B│=（）
A．10B．5C．20D．13
22.设X，Y，Z是集合，下列结论不正确的是（）。
A．若X⊆Y,则X∩Y=XB．（X-Y）-Z=X-（Y∩Z）
C．X⊕X=∅D．X-Y=X∩（~Y）
23.设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪IA，则对应于R的A的划
分是（）
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