离散数学试题带答案六.docx

1、离散数学试题带答案六离散数学考试题(后附详细答案)一、 命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（ PQ） (PR S)b) 我今天进城，除非下雨。设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为： QP或 PQc) 仅当你走，我将留下。设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： QP2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 有些实数不是有理数设R(x)表示“

2、x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x) 或 x(R(x) Q(x)b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) y(R(y) E(f(x,y),1)c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个aA存在唯一的bB，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a

3、),c) E(a,b)二、 简答题（共6道题，共32分）1. 求命题公式(P(QR) (R(QP)的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分）(P(QR) (R(QP) （ P Q R） (P Q R) (（ P Q R）(P Q R) (P Q R) （ P Q R）). (（PQ R） (P Q R) ( PQR) （ P Q R）) (P Q R) ( P Q R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（ P Q R) （ P QR) （ PQ R) （P Q R) （P QR) （PQR)2. 设个体域为1,2,3，

4、求下列命题的真值（4分）a) x y(x+y=4)b) y x (x+y=4)a) T b) F3. 求 x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x)的前束范式。（4分） x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x) x(F(x)G(x)( yF(y) zG(z) x(F(x)G(x) y z(F(y)G(z) x y z(F(x)G(x) (F(y)G(z)4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）a) （AB）C=(A-B) (A-C)b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|B|a) 真命题。因为（AB）C=（AB）C=（AC）（BC）=（A-C）（B-C）b

5、) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故命题成立。5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a) A上有多少种不同的等价关系？b) 从A到A的不同双射函数有多少个？a) 52 b) 5!=1206. 设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B=b,d,e的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g d e b c图1B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. 已知有限集S=a1,a2,an,N为自然数集合，R为实数集合，求下

6、列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,RR,o,1N（写出即可）(6分)KS=n; KP(S)=; KN= 0,KNn= 0, KP(N)= ; KR= , K=RR= ,K0,1N= 三、 证明题（共3小题，共计40分）1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）a) A(BC),(E F) C, B(A S) BEb) x(P(x) Q(x), x(Q(x)R(x)， x R(x) x P(x)a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B(A S) P (3) A S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A(BC) P (6) BC T

7、(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (E F) C P (9) (E F) T(7)(8) I (10) EF T(9) E (11) E T(10) I (12) BE CPb) 证 (1) x R(x) P (2) R(c) ES(1) (3) x(Q(x)R(x) P (4) Q(c)R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) x(P(x) Q(x) P (7) P(c) Q(c) US(6) (8) P(c) T(5)(7) I (9) x P(x) EG(8)2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A且B，关系R满足：,R，当且仅当

8、R1且R2。试证明：R是AB上的等价关系。（10分）证 任取,ABxA yBR1 R2,R，故R是自反的任取,RR1 R2R1 R2,R.故R是对称的。任取,R,RR1 R2 R1 R2(R1 R1) (R2 R2) R1 R2,R, 故R是传递的。综上所述R是AB上的等价关系。3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1和(a,b)等势。（10分）证 构造函数f：（0,1(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数 构造函数g: (a,b)（0,1，,显然g是入射函数， 故（0,1和(a,b)等势。由于，所以4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个

9、元素，证明：rsn2。（10分）证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+mr=n， 由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即四、 应用题（10分）在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有ab, ac, bg, gb, cf, fe, bd, df.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。解 把8个城市作为集合A的元素，即A=a,b,c,d,e,f,g,h，在A上定义二元关系R，R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R=,那么该问

10、题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法，求得t(R)=那么从城市x出发能到达的城市为，故有离散数学 考试题答案一、 命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（ PQ） (PR S)b) 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为： QP或 PQc) 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： QP2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题

11、符号化为： x(R(x) Q(x) 或 x(R(x) Q(x)b) 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) y(R(y) E(f(x,y),1)c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“xA”, B(x)表示“xB”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) E(a,b)二、 简答题（共6道题，共32分）1. (P(QR) (R(QP) （ P Q R） (P Q R) (（ P Q R）(P Q R) (

12、P Q R) （ P Q R）). (（PQ R） (P Q R) ( PQR) （ P Q R）) (P Q R) ( P Q R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（ P Q R) （ P QR) （ PQ R) （P Q R) （P QR) （PQR)2. a) T b) F3. x(F(x)G(x)( xF(x) xG(x) x(F(x)G(x)( yF(y) zG(z) x(F(x)G(x) y z(F(y)G(z) x y z(F(x)G(x) (F(y)G(z)4. a) 真命题。因为（AB）C=（AB）C=（AC）

13、（BC）=（A-C）（B-C）b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故命题成立。5. a) 52 b) 5!=1206. B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是g、下界集合是a,b、上确界是g、下确界是b.7. KS=n; KP(S)=; KN= 0,KNn= 0, KP(N)= ; KR= , K=RR= ,K0,1N= 三、 证明题（共3小题，共计40分）1. a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B(A S) P (3) A S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A(BC) P (6)

14、 BC T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (E F) C P (9) (E F) T(7)(8) I (10) EF T(9) E (11) E T(10) I (12) BE CPb) 证 (1) x R(x) P (2) R(c) ES(1) (3) x(Q(x)R(x) P (4) Q(c)R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) x(P(x) Q(x) P (7) P(c) Q(c) US(6) (8) P(c) T(5)(7) I (9) x P(x) EG(8)2. 证 任取,ABxA yBR1 R2,R，故R是自反的任取,RR1 R2

15、R1 R2,R.故R是对称的。任取,R,RR1 R2 R1 R2(R1 R1) (R2 R2) R1 R2,R, 故R是传递的。综上所述R是AB上的等价关系。3. 证 构造函数f：（0,1(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数 构造函数g: (a,b)（0,1，,显然g是入射函数， 故（0,1和(a,b)等势。由于，所以4. 证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+mr=n， 由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即四、 应用题（10分）解 把8个城市作为集合A的元素，即A=a,b,c,d,e,f,g

16、,h，在A上定义二元关系R，R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R=,那么该问题即变为求R的传递闭包。利用Warshal算法，求得t(R)=那么从城市x出发能到达的城市为，故有离散数学试题第3章一.填空题1. 设A=,B=,则AB=_。2. A，B，C表示三个集合，图中阴影部分的集合表达式为_。 3. 设A=,B=,则AB=_。4. 设A=1，2，3，4，A上二元关系R=，画出R的关系图_。5. 设A=a，b，c，d，其上偏序关系R的哈斯图为 则 R=_。6. 设A=1，2，3，则A上既不是对称的又不是反对称的关系为R=_。7. 设A=1，2，3，则A上既是对称的又是反对称的关系为R=_。8

17、. 设|A|=3，则A上有_个二元关系。9. 偏序集Ρ（a,b），的哈斯图为_。10. 集合A=2，3，6，12，24，36上偏序关系R的Hass图为 则集合B=2，3，6，12的上界是_。11. 对集合X和Y，设|X|=m ，|Y|=n ，则从X到Y的函数有_个。12. 关系R的自反闭包r (R) _。13. 关系R的对称闭包s (R) _。14. 关系R的传递闭包t (R) _。15. 若R是集合A上的偏序关系，则R满足_。16. 若R是集合A上的等价关系，则R满足_。17. 若R是集合A上的相容关系，则R满足_。18. 集合A=2，3，6，12，24，36上偏序关系R的Hass图

18、为 则集合B=2，3，6，12的上确界是_。19. 设A，B是两集合，其中A=a，b，c，B=a，b，则A-B=_。20. 设R=,，则ran(R) =_。21. 设R=,，则dom(R) =_。22. 设R=,，则FLD(R) =_。23. 设A=a，b，B1，2，3，则AB=_。24. 设R是A=1，2，3，4上的二元关系,R=,则R的对称闭包是_。25. 设R是A=1，2，3，4上的二元关系,R=,则R的自反闭包是_。26. 设R是A=1，2，3，4上的二元关系,R=,则R的传递闭包是_。27. 集合A=2，3，6，12，24，36上偏序关系R的Hass图为 则集合B=2，3，6，12的

19、下确界是_。28. 设A,B是集合，|A|=3，|B|=4，|AB|=2，那么|AB|=_。29. 集合A有n个元素，则A的幂集有_个元素。30. 一个集合的非平凡子集包括_和全集。31. 集合A=2，3，6，12，24，36上偏序关系R的Hass图为 则集合B=2，3，6，12的下界是_。32. 集合A=,a，则A的幂集P(A)=_。33. 设A,B为集合，则命题A-B=A=B的真值为（填“真”或“假”或“不可判别”）_。34. 设A=a,b,c,d，A上的等价关系R=IA(b,c),(c,b),(a,d),(d,a)，则对应于R的A的划分是_。35. 给定集合A1,2,3,4,5,R是A上

20、的等价关系，且此关系R能产生划分1,2,3,4,5,则R=_。二.选择题1. 设A=1,2,3，则A上有（ ）个二元关系。 A.23 B.32 C. 223 D.2322. 设X，Y，Z是集合，下列结论不正确的是（ ）。 A若XY,则XY=X B(X-Y)-Z=X-(YZ) CX⊕X= DX-Y=X(Y)3. 设S=1,2,3,4，R=,，则R的性质是（ ）。 A.自反、对称、传递的 B.自反、对称、反对称的 C.对称、反对称、传递的 D.只有对称性4. 设R和S是P上的关系，P是所有人的集合，R=|x,yPx是y的父亲，S=|x,yPx是y的母亲 则S-1 R表示关系 （ ）。

21、A、|x,yPx是y的丈夫 B、|x,yPx是y的孙子或孙女 C、 D、|x,yPx是y的祖父或祖母5. 若X是Y的子集，则一定有（ ）。 A.X不属于Y B.XY C.X真包含于Y D.XY=X6. 下列式子中正确的是（ ）。 A=0 B Ca，b D7. 下面那条不是偏序关系的性质：（ ） A.自反性 B.相容性 C.传递性 D.反对称性8. 关于闭包运算，下面那条性质不对（ ） A.rs(R)=sr(R) B.rt(R)=tr(R) C.st(R)=ts(R) D.rtr(R)=tr(R)9. 划分必然诱导一个（ ） A.等价关系 B.偏序关系 C.同余关系 D.同态关系10. 设某集合

22、有m个元素，则可以构成（ ）个子集。 A.m B.m! C.2m D.2m-111. A, B为两个集合，如果AB，则下面那个是错误的。（ ） A)AB B) BA C) (B-A)A=B D)(B-A)A=A12. 设S=1,2,3，S上关系R的关系图为 则R具有（ ）性质。 A自反性、对称性、传递性； B反自反性、反对称性； C反自反性、反对称性、传递性； D自反性 。 13. 设A=，1，1，3，1，2，3则A上包含关系“”的哈斯图为（ ） 14. 集合A=1，2，3，4上的偏序关系图为 则它的哈斯图为（ ）。15. 集合A=1，2，3，4上的偏序关系为，则它的Hass图为（ ）。 16

23、. 设R，S是集合A上的关系，则下列（ ）断言是正确的。 A、R,S自反的，则RS是自反的； B、若R,S对称的，则RS是对称的； C、若R,S传递的，则RS是传递的； D、若R,S反对称的，则RS是反对称的17. 设X为集合，|X|=n，在X上有（ ）种不同的关系。 A、n2； B、2n； C、22n； D、2n2。18. 下图描述的偏序集中，子集b,e,f的上界为 （ ）。 A、b,c ； B、a,b ； C、 b； D、a,b,c。19. 设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ ）。 A若R，S 是自反的， 则RS是自反的； B若R，S 是反自反的， 则RS是反自反的； C若R，S 是对称的， 则RS是对称的； D若R，S 是传递的， 则RS是传递的。20. 设R是集合A上的二元关系，IA是A上的恒等关系，IAR下面四个命题为真的是 ( )。 A. R是自反的 B. R是传递的 C. R是对称的 D. R是反对称的21. 已知A,B是集合A=15，B=10，AB=20，则AB=（ ） A10 B5 C20 D1322. 设X，Y，Z是集合，下列结论不正确的是（ ）。 A若XY,则XY=X B(X-Y)-Z=X-(YZ) CX ⊕X= DX-Y=X(Y)23. 设A=a,b,c,d，A上的等价关系R=,IA，则对应于R的A的划分是（ ）