12．设函数f（x）定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f（xn），则x2019＝（ B ）
x
1
2
3
4
5
f（x）
4
1
3
5
2
A．1B．2
C．4D．5
[解析] x1＝f（x0）＝f（5）＝2，
x2＝f
（2）＝1，x3＝f
（1）＝4，x4＝f（4）＝5，x5＝f（5）＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2019＝x1＝2，故应选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，则a＝，b＝，c＝．
[解析] 令n＝1、2、3，得
所以a＝，b＝c＝．
14．已知f（x）＝x3＋3x2＋a（a为常数），在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f（x）的最大值是57．
[解析] f′（x）＝3x2＋6x＝3x（x＋2），当x∈[－3，－2）和x∈（0,3]时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈（－2,0）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，∴极大值为f（－2）＝a＋4，极小值为f（0）＝a，又f（－3）＝a，f（3）＝54＋a，由条件知a＝3，∴最大值为f（3）＝54＋3＝57．
15．函数f（x）＝ax3－3x在区间（－1,1）上为单调减函数，则a的取值范围是a≤1．
[解析] f′（x）＝3ax2－3，∵f（x）在（－1,1）上为单调减函数，∴f′（x）≤0在（－1,1）上恒成立，
即3ax2－3≤0在（－1,1）上恒成立，
∴a≤，∵x∈（－1,1），∴a≤1．
16．（2019·洛阳高二检测）观察下列等式：
×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－．
[解析] 由已知中的等式：
×＝1－
×＋×＝1－，
×＋×＋×＝1－，…，
所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知：
a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1．
求证：
a2＋b2＋c2≥．
[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca．
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
∴3（a2＋b2＋c2）≥（a2＋b2＋c2）＋2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b＋c）2．
由a＋b＋c＝1，得3（a2＋b2＋c2）≥1，
即a2＋b2＋c2≥．
18．（本题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋ax2－3bx＋c（b>0），且g（x）＝f（x）－2是奇函数．
（1）求a、c的值；
（2）若函数f（x）有三个零点，求b的取值范围．
[解析]
（1）∵g（x）＝f（x）－2是奇函数，
∴g（－x）＝－g（x）对x∈R成立，
∴f（－x）－2＝－f（x）＋2对x∈R成立，
∴ax2＋c－2＝0对x∈R成立，
∴a＝0且c＝2．
（2）由
（1）知f（x）＝x3－3bx＋2（b>0），
∴f′（x）＝3x2－3b＝3（x－）（x＋），
令f′（x）＝0得x＝±，
x
（－∞，－）
－
（－，）
（，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
增
极大值
减
极小值
增
依题意有∴b>1，
故正数b的取值范围是（1，＋∞）．
19．（本题满分12分）已知函数f（x）＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为3．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解析]
（1）f′（x）＝a2x2－4ax＋b，
由题意f′（0）＝b＝3．
（2）∵函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴f′
（1）＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3．
①当a＝1时，f′（x）＝x2－4x＋3＝（x－1）（x－3），
x、f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，1）
1
（1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
由上表知，函数f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′（x）＝9x2－12x＋3＝3（3x－1）（x－1），
x、f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，）
（，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
由上表知，函数f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f（x）在x＝1处取得极大值，a的值为1．
20．（本题满分12分）若x>0，y>0，用分析法证明：
（x2＋y2）>（x3＋y3）．
[证明] 要证（x2＋y2）>（x3＋y3），
只需证（x2＋y2）3>（x3＋y3）2，
即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3．
又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，
故只需证3x2＋3y2>2xy．
而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，
所以（x2＋y2）>（x3＋y3）成立．
21．（本题满分12分）已知函数f（x）＝ax＋（a>1）．
（1）证明：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）＝0没有负数根．
[解析]
（1）证法1：
任取x1、x2∈（－1，＋∞），不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1（ax2－x1－1）>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f（x2）－f（x1）＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
证法2：
f′（x）＝axlna＋＝axlna＋
∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，
f′（x）>0在（－1，＋∞）上恒成立，
即f（x）在（－1，＋∞）上为增函数
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